一些特殊圖的算術(shù)-幾何能量

劉夢(mèng)甜，梅銀珍，高玉斌

（中北大學(xué)理學(xué)院，山西 太原 030051）

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè) G是具有頂點(diǎn)集 V（G）=｛v1，v2，…，vn｝和邊集E（G）的簡(jiǎn)單圖。若頂點(diǎn) vi和vj在G中相鄰，則記作vivj∈E（G）。G中頂點(diǎn) vi的度是與vi相鄰的頂點(diǎn)數(shù)，用di表示。并分別用Δ和δ表示G的最大度和最小度。用A（G）=（aij）表示的G的鄰接矩陣，其中。顯然它是一個(gè)n階的實(shí)對(duì)稱矩陣，所以它的所有特征值都是實(shí)數(shù)。圖G的譜是指其鄰接矩陣A（G）的所有特征值的集合。設(shè)A（G）的特征值為λi（i=1，2，…，n），不妨設(shè) λ1≥λ2≥…≥λn，最大值 λ1通常被稱為圖G的譜半徑。對(duì)于鄰接譜［1-3］，一個(gè)含有n個(gè)頂點(diǎn)，n條邊的簡(jiǎn)單連通圖稱為單圈圖；含有n個(gè)頂點(diǎn)n+1條邊的簡(jiǎn)單連通圖稱為雙圈圖［4］。圖 G的能量定義為：［4-8］

1994年，Yang等［9］提出了圖G的擴(kuò)展鄰接矩陣，定 義 為 Aex=（），其 中=在文獻(xiàn)［9］中定義擴(kuò)展的圖能量為：

其是對(duì)鄰接能量最早的修改［10-11］。2015年，Shegehalli等［12-14］提出了圖G的基于度的鄰接矩陣 Aag（G）。它被定義為 Aag=（aagij）=，稱其為算術(shù)-幾何鄰接矩陣。它是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，因此它的所有特征值都是實(shí)數(shù)，用 ρi（G）表示，將其排列為ρ1（G）≥ρ2（G）≥…≥ρn（G），其中最大的特征值ρ1（G）稱為圖G的算術(shù)-幾何譜半徑。圖G的算術(shù)-幾何能量定義為：

用 Kp，q（p+q=n），Kn和 K1，n-1表示在 n個(gè)頂點(diǎn)上的完全二部圖、完全圖和星圖。對(duì)于來自圖論和矩陣?yán)碚摰钠渌炊x的符號(hào)和術(shù)語參見文獻(xiàn)［15-16］。

2 引理

為證明本文的定理，首先介紹下面幾個(gè)必需的引理。

設(shè)M為 m×n矩陣。用 si（M）（i=1，2，…，m）表示 M的奇異值，令 s1（M）≥s2（M）≥…≥sm（M）。值得注意的是，A（G）（Aag（G））的所有奇異值之和是G的能量（算術(shù)-幾何能量）。

引理1［17-18］設(shè)矩陣A和矩陣B是n×n階復(fù)矩陣，則有：

引理 2［17-18］設(shè)矩陣 A1，A2，…，Am是 n×n復(fù) 數(shù) 矩 陣， 則 有

引理3［19］設(shè)矩陣C是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，Ck是它的k×k主子矩陣。則有：

其中ξi（C）是C的第i大特征值。

引理4［19］設(shè)圖 G是 n（n≥2）階連通圖，則ρ1＞ρ2。

引理5［19］設(shè)圖G為n階連通圖。則當(dāng)且僅

引理6［20］設(shè)G是m條邊n個(gè)頂點(diǎn)的連通非奇異圖。則有：

其中det A代表矩陣A的行列式，等式成立當(dāng)且僅當(dāng) G?Kn。

引理7［21］設(shè)G是m條邊n個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖，其度序列為 d1，d2，…，dn，則有：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G是完全二部圖Kp，q或G?（其中n是偶數(shù)）。

引理8［22］設(shè)G是具有m邊的n階簡(jiǎn)單圖。則有以下2種情況：

1）若2m≥n，則有：

2）若2m≤n，則 ε（G）≤2m，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G是一個(gè)邊不相交的集合或者只有一個(gè)孤立點(diǎn)。

3 圖的算術(shù)-幾何能量的上界

在下面的定理中，用圖的鄰接能量ε（G）、最大度Δ和最小度δ給出了圖的算術(shù)-幾何能量的一個(gè)上限。

定理1 設(shè)G是一個(gè)n階圖，則有：

4 一些特殊圖的算術(shù)-幾何能量的上界

首先研究關(guān)于樹圖的算術(shù)-幾何能量的一些

證畢。

以圖1為例，計(jì)算其算術(shù)-幾何能量。

利用Matlab軟件計(jì)算出該雙圈圖的算術(shù)-幾何鄰接矩陣特征值的譜為｛-8.932 9，-1，-1，0，0.932 9，1，9｝，因此它的算術(shù) -幾何能量為εag（G）=21.865 8。圖 G的最大度 Δ=6，最小度δ=1，因此由定理7可以得到：① εag（G）≤40.416 6，② εag（G）≤26.244 5。同樣的原理，用定理8計(jì)算得到②εag（G）≤63.498。上述2個(gè)定理都是成立的，從這個(gè)例子可以得知定理7中②的結(jié)果比其他2個(gè)結(jié)果都要精確一些。

對(duì)于單圈圖利用上述研究辦法，發(fā)現(xiàn)關(guān)于單圈圖的算術(shù)-幾何圖能量上界結(jié)果相同，因此將其放在這部分的最后。以下定理給出了其算術(shù)-幾何能量的上屆。

定理9 設(shè)G是具有m條邊n個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖，它的最大度Δ，最小度δ，則有：

證明：因?yàn)镚是單圈圖，所以其邊數(shù)m與其頂點(diǎn)數(shù)n相等，即 m=n。下面分2種情況進(jìn)行討論：

5 結(jié)論

通過上述研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于樹、單圈圖、雙圈圖利用定理2計(jì)算，盡管式（7）和式（8）的原理不同，都可以得到相同的結(jié)果，但這些結(jié)果依舊屬于平凡結(jié)果的范疇，還可以進(jìn)一步研究，使其更加精確。