高等數(shù)學(xué)數(shù)值逼近解題思路和應(yīng)用探討

侯園

摘 要：數(shù)值逼近是高等數(shù)學(xué)中非常重要的組成部分，更是高等數(shù)學(xué)解題過程中經(jīng)常使用的一種方法。本文將對(duì)高等數(shù)學(xué)中數(shù)值逼近的解題思路進(jìn)行分析，從而提供有效的策略，提升學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)值逼近解題方法的興趣，攻克更多高等數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的問題。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);數(shù)值逼近;解題思路

中圖分類號(hào)：G712?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2020）19-050-1

數(shù)值逼近是高等數(shù)學(xué)解題中的一種方法，通過該解題方法可以有效簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)當(dāng)中的內(nèi)容，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。特別是學(xué)生在解題過程中，有時(shí)會(huì)無法在快速的時(shí)間內(nèi)找到習(xí)題的正確數(shù)值，可以運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中數(shù)字逼近的方式，解決相關(guān)問題。教師在教育的過程中，更應(yīng)注重學(xué)生對(duì)數(shù)字逼近解題法的運(yùn)用，使學(xué)生可以利用該方式讓復(fù)雜的題型簡(jiǎn)單化，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高解題的效率。

一、數(shù)值逼近解題思路的教育意義

在高等數(shù)學(xué)解題過程中，運(yùn)用數(shù)值逼近的解題方式極為廣泛，它的開設(shè)是為了讓學(xué)生運(yùn)用基本的算法解決實(shí)際過程中出現(xiàn)的問題，并能夠熟練運(yùn)用該方式解決問題。運(yùn)用數(shù)字化逼近的方式，幫助學(xué)生建立理論思維，使其理解能力變得更加透徹，了解高等數(shù)學(xué)的解題技巧，并在后續(xù)實(shí)際應(yīng)用過程中，運(yùn)用合適的方式進(jìn)行解題，培養(yǎng)舉一反三的能力，提升教育質(zhì)量。

數(shù)值逼近解題思路的出現(xiàn)，可以使學(xué)生對(duì)數(shù)值逼近有著更清晰的了解，它可以引導(dǎo)學(xué)生帶著疑問走入課堂，在課堂中，將疑問與老師進(jìn)行探索，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在教育教學(xué)的過程中，教師可以就自己的一些解題經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生提供有效的解題思路，使解題變得更加得心應(yīng)手，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的喜愛[1]。

二、數(shù)值逼近在教學(xué)中遇到的問題

數(shù)值逼近的解題思路學(xué)習(xí)中，需要學(xué)習(xí)大量的理論知識(shí)，但對(duì)于一些基礎(chǔ)功底不算扎實(shí)的學(xué)生而言，大量的公式及術(shù)語內(nèi)容的學(xué)習(xí)會(huì)讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的枯燥。同時(shí)，數(shù)值逼近法的學(xué)習(xí)，其知識(shí)跨度是非常大的，需要學(xué)生具備一定的高數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，更涉及微積分、線性方程、代數(shù)、函數(shù)等內(nèi)容，需要學(xué)生對(duì)于這些知識(shí)的掌握得十分牢固，才能為后續(xù)解題思路提供全面的幫助。但學(xué)生在該內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，由于知識(shí)掌握得不全面，面對(duì)后續(xù)針對(duì)性極強(qiáng)的問題時(shí)，將會(huì)無法解析題目，影響該項(xiàng)內(nèi)容的開展。

三、高等數(shù)學(xué)數(shù)值逼近解題思路的有效應(yīng)用

1.利用二分法進(jìn)行高數(shù)中數(shù)值逼近解題

二分法是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的概念，通過不斷地把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫二分法。

通過二分法能判斷出根是否存在于某一個(gè)特定區(qū)間內(nèi)，同時(shí)，我們還可以反復(fù)應(yīng)用二分法將這個(gè)區(qū)間縮小到很小，從而得到方程的近似解。通過區(qū)間端點(diǎn)建立直線，并通過直線與x軸交點(diǎn)繼續(xù)畫直線，核心計(jì)算在于應(yīng)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，不斷地逼近方程的解[2]。

如，在進(jìn)行解題的過程中，把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間[a，b]（滿足f（a）·f（b）<0）“一分為二”，得到[a，m]和[m，b]。根據(jù)“f（a）·f（m）<0”是否成立，取出零點(diǎn)所在的區(qū)間[a，m]或[m，b]，仍記為[a，b]。所對(duì)得的區(qū)間[a，b]重復(fù)上述步驟，直到包含零點(diǎn)的區(qū)間[a，b]“足夠小”，則[a，b]內(nèi)的數(shù)可以作為方程的近似解。通過這樣的講解方式，加深學(xué)生對(duì)高數(shù)知識(shí)的理解。

2.利用微積分形式進(jìn)行高數(shù)中數(shù)值逼近解題

分?jǐn)?shù)階微積分通常被認(rèn)為是整數(shù)階微積分的一種推廣。因其在科學(xué)和工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，而引起人們的極大興趣。在考慮刻畫反常現(xiàn)象的分?jǐn)?shù)階模型時(shí)，絕大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解難以求得。因此，數(shù)值計(jì)算成為研究反常現(xiàn)象的首選方案。其中，構(gòu)造分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的數(shù)值格式顯得非常重要。

在解決這個(gè)問題時(shí)，我們先引入一個(gè)概念高階小量。無窮小量二次及二次以上的量都稱為高階小量。在做近似處理時(shí)，情況一：式子不含常量時(shí)，把高階小量舍去，保留一階的無窮小量;情況二：式子含常量時(shí)，舍去無窮小量。

例如：∑∞i=1=（ri-ri-1）r2i（i=1，2，3…），其中（ri-ri-1）=Δx，Δx趨于0（即無窮小量），很多人不知道該處理。其實(shí)這里就是舍去含有無窮小量項(xiàng)，用的熟練以后可以直接使用，接下來我們進(jìn)行簡(jiǎn)單推導(dǎo)：

（ri-ri-1）r2i=1ri-ri-1r2i

=1ri-ri-1（ri-1+Δx）2

=1ri-ri-1r2i-1+2riΔx+Δx2

=1ri-1ri-1

到這里已經(jīng)很清楚了，含有Δx的項(xiàng)都需要舍去（因?yàn)橛邢蘖砍艘詿o窮小量還是無窮小量，仍然趨于零），這樣原式求和就變得很簡(jiǎn)單了。

3.利用泰勒公式進(jìn)行高數(shù)中數(shù)值逼近解題

泰勒展開式包含了豐富的信息，譬如單調(diào)性、極值、凸性等等。與微分相應(yīng)，定積分的理論基礎(chǔ)是有限和，其中每一項(xiàng)來自于對(duì)小區(qū)間Δx上函數(shù)下方的面積作矩形近似，這與微分異曲同工。泰勒公式解決了用微分近似計(jì)算函數(shù)值或函數(shù)值增量精度不高問題;提供了誤差的估計(jì)公式，并可實(shí)現(xiàn)對(duì)誤差的有效控制。在進(jìn)行解題的過程中，可以對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行逐一的篩選，運(yùn)用更加合適的方式對(duì)習(xí)題進(jìn)行解析。

在高等數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)值逼近的方式進(jìn)行解題，可以有效將高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)問題變得更加簡(jiǎn)單化，從而提高學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升教育教學(xué)質(zhì)量，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他科學(xué)打好基礎(chǔ)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]楊暢，孫杰寶，吳勃英.新工科背景下“數(shù)值逼近”課程教學(xué)改革探索[J].中國建設(shè)教育，2019（06）.

[2]盧長娜.項(xiàng)目教學(xué)法在數(shù)值分析課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2017（46）.

（作者單位：江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院，江蘇 徐州221011）