基于“數學知識、數學能力與核心素養融合”的2020高考試題研究

連曉穎 吳洪生

摘 要：函數是高中數學的靈魂，是高中數學的一條主線，貫穿整個高中數學教學。函數思想是數學解題的靈魂，深受命題者的親睞。本文通過對典型試題的分析研究，提出未來復習的建議。

關鍵詞：試題呈現;分析總結;復習建議

中圖分類號：G633.6????????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2020）19-022-2

2017年版課標對函數的要求是：“會根據不同的需要選擇恰當的方法如圖像、列表、解析法表示函數，理解函數圖像的作用，了解簡單的分段函數;借助圖像會用符號語言表達函數的單調性，最大、小值，了解函數奇偶性、周期性及其幾何意義。理解冪函數的變化規律，理解指、對數函數，探索并理解指、對數函數的單調性與特殊點，知道指數函數與對數函數是互為反函數。”縱觀2020高考數學函數題，不難發現試題既注重考查基礎知識、基本技能，也考查考生對函數性質的靈活應用，突出新課標對考生能力的要求。

一、典型試題再現

1.（B，新高考Ⅱ，8）若定義在R上的奇函數f（x）在（-∞，0）單調遞減，且f（2）=0，則滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是（? ）

A.[-1，1]∪[3，+∞）? B.[-3，-1]∪[0，1]

C.[-1，0]∪[1，+∞）? D.[-1，0]∪[1，3]

分析：本題考查利用函數奇偶性與單調性解抽象函數不等式，考查分類討論思想方法，屬于中檔題。

解答：因為定義在R上的奇函數f（x）在（-∞，0）單調遞減，且f（2）=0，所以f（x）在（0，+∞）上也是單調遞減，且f（-2）=0，f（0）=0，所以當x∈（-∞，-2）∪（0，2）時，f（x）>0，當x∈（-2，0）∪（2，+∞）時，f（x）<0，所以由xf（x-1）≥0可得：

x<0-2≤x-1≤0或x<0x-1≥2或x>00≤x-1≤2或x>0x-1≤-2 或x=0

解得-1≤x≤0或1≤x≤3。所以，滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是[-1，0]∪[1，3]。

2.（B，新課標Ⅱ，文12理11）若2x-2y<3-x-3-y，則（? ）

A.ln（y-x+1）>0B.ln（y-x+1）<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

分析：本題考查對數式的大小判斷問題，解決本題的關鍵是構造函數，利用函數的單調性，屬中檔題。

解答：2x-2y<3-x-3-y，

設f（x）=2x-3-x，則

f′（x）=2xln2+3-xln3>0，所以函數f（x）在R上單調遞增，

因為f（x）1，ln（y-x+1）>0。

3.（C，新課標Ⅰ，理12）若2a+log2a=4b+2log4b，則（? ）

A.a>2b B.a<2bC.a>b2D.a

分析：本題考查構造函數，利用函數的單調性比較大小，屬中檔題。

解答：由指數與對數運算可得：2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b

又因為22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b即2a+log2a<22b+log22b，

令f（x）=2x+log2x，由指對函數單調性可得f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

由f（a）

4.（B，新課標Ⅲ，文理4）Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域。有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累積確診病例數I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：I（t）=K1+e-0.23（t-53），其中K為最大確診病例數。當I（t）=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則t約為（ln19≈3）（?? ）

A.60 B.63C.66 D.69

分析：本題考查對數的運算，考查指數與對數的互化，考查計算能力，屬中等題。

解答：由已知有K1+e-0.23（t-53）=0.95K，得e-0.23（t-53）=119，

兩邊取對數有-0.23（t-53）=-ln19，

解得t=66。

5.（B，江蘇，17）某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線（O′在AB上）。經測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a（米）之間滿足關系式h1=140a2;右側曲線BO上任一點F到MN距離h2（米）與F到OO′的距離b（米）之間滿足關系式h2=-1800b3+6b，已知點B到OO′的距離40米。

（1）求橋AB的長度;

（2）計劃在谷底兩側建造平行于OO′的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上（不包括端點），橋墩EF每米造價k（萬元），橋墩CD每米造價32k（萬元）（k>0），問O′E為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？

分析：本題考查實際成本問題，考查分析問題解決問題的能力，屬中檔題。

解答：（1）過A、B分別作MN的垂線，垂足為A′，B′，則AA′=BB′=-403800+6×40=160，令140a2=160，得a=80，所以AO′=80，AB=AO′+BO′=80+40=120。