一種基于微分求積的空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程求解方法

朱曉鋼， 聶玉峰

(1.邵陽學(xué)院 理學(xué)院，邵陽 422000；2.西北工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，西安 710129)

1 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分是微積分理論的重要分支，也是經(jīng)典微積分的任意階推廣，彌補(bǔ)了經(jīng)典微積分理論在應(yīng)用方面的不足。分?jǐn)?shù)階微積分的一個最為突出的特點(diǎn)在于能捕捉動力學(xué)行為的記憶效應(yīng)，更好地反映系統(tǒng)函數(shù)發(fā)展的歷史依賴性。近十幾年，利用帶分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程刻畫自然界中的反常現(xiàn)象一直是學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn)之一，潛在的應(yīng)用已囊括各個學(xué)科領(lǐng)域，如電化學(xué)、金融、生物工程、材料科學(xué)和統(tǒng)計物理等[1-3]。

考慮變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

(1)

式中1 <α≤2，x∈Λ，Λ= [xL,xR]，0

u(x,0) =u0(x)

(x∈Λ) (2)

u(xL,t) =g1(t),u(xR,t) =g2(t)

(0

此處，κ(x)和υ(x)是x的非負(fù)函數(shù)且不同時恒為0，當(dāng)κ(x) ≡ 0時g1(t)可不為0，當(dāng)υ(x) ≡ 0時g2(t)可不為0。在式(1)中,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義為

(4)

式中Γ(·)為歐拉Gamma函數(shù)。

在數(shù)學(xué)物理中，空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程(1～3)可以描述諸多現(xiàn)象，如反常擴(kuò)散、彈性振動和波的傳播等[4，5]。與整數(shù)階偏微分方程相比，其在反映物理系統(tǒng)隨時間演化上更具優(yōu)勢。由于解析技術(shù)的局限性，數(shù)值方法越來越受到人們的重視，并且在研究中獲得了廣泛的應(yīng)用，典型的方法包括有限差分法[6-9]、有限元法FEM[10-12]、無網(wǎng)格點(diǎn)插值法MPIM[13,14]和有限體積法[15]。Xu等[16]給出了分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程的間斷Galerkin方法。Ilic等[17，18]基于導(dǎo)數(shù)的矩陣表示提出了矩陣轉(zhuǎn)換法。文獻(xiàn)[19]討論了一種穩(wěn)定的方向分裂譜Galerkin方法；文獻(xiàn)[20]構(gòu)造了求解變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的徑向基配置法。Ford等[21]將Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化成等價的Hadamard有限部分積分，并運(yùn)用分段二次多項式對被積函數(shù)插值建立了一種新的有效方法。……