基于對偶變量變分原理的完整約束系統保辛算法

滿淑敏， 高 強， 鐘萬勰

(大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室,工程力學系，大連 116023)

1 引 言

哈密頓系統的一個主要性質是其相流保持辛結構[1,2]，因此其近似積分的數值方法也應該具有保辛的性質[3]。在完整約束哈密頓動力系統中，約束的存在給數值積分帶來了許多問題。如一些傳統算法在處理完整約束系統時，約束不是直接施加，而是由等價的加速度約束所代替。在這個過程中，數值積分帶來的誤差會使得結果無法滿足系統原有的約束條件，導致硬曲面下沉這種不真實現象的產生。為解決這類誤差，引入了復原力的概念，但這類任意添加的參數必須要根據每一個計算過程進行調整，并要引入人工的能量損失。對于高度受限的系統，這類損失在最終所生成的動力系統中將占據支配作用[4]。而保辛算法能保持系統的固有特性，其數值結果具有能量和動量守恒等特點[5,6]。因此，研究完整約束系統的保辛算法具有重要意義。

變分積分法是構造保辛算法的一類重要手段[7,8]。在一類變量表示的拉格朗日體系內，利用哈密頓原理，文獻[7,9]通過對作用量進行近似，給出了構造保辛算法的通用方法。文獻[10]討論了積分點個數與廣義位移近似多項式階數不相同時算法的收斂階數。在完整約束系統中，為提高算法精度，Wenger等[11]同時使用Gauss積分和Lobatto積分，得到一種高精度的Galerkin變分積分法。

上述保辛算法都是基于拉格朗日函數構造的，但實際有些問題只能獲得哈密頓函數，而無法給出拉格朗日函數。……