基于空間相關性的混合RSS-AOA 定位*

張 俊，郭道省

（陸軍工程大學，通信工程學院，江蘇 南京 210007）

0 引言

近年來，隨著5G 技術的飛速發展和設備通信范圍的穩定增長，以及對基于位置的服務的需求，目標定位已廣泛用于軍事和民用領域，如環境監控，路由和頻譜共享，物聯網，人群感知，應急服務[1-5]。

為了保持較低的執行成本、計算復雜度和對所有地形的適用性，限制了現有全球導航衛星系統（global navigation satellite system，GNSS) 的 使用。從測量中估計位置信息的方法主要有到達時間（time of arrival，TOA）、到達時差（time difference of arrival，TDOA）、接收信號強度（received signal strength，RSS）和到達角（angle of arrival，AOA)，文獻[6]中對以上方法都有相關介紹。盡管基于單一測量的目標定位估計具有低復雜度、低成本的優點，但估計精度仍有很大的提高空間。因此，為了提高定位系統的精度和可靠性，提出了基于多量測的混合定位系統[7-10]。

使用混合RSS 和AOA 數據定位目標位置是一個非凸優化問題。為了真正解決這個問題，文獻[7]中使用RSS 和AOA 信息從發射器地理位置推導了最小二乘估計和最大似然估計，由于未考慮傳感器的陰影衰落，會導致比較大估計誤差。文獻[8]中作者使用球坐標轉換和可用的AOA 觀測值建立了測量值與未知目標位置之間的新關系，并在未知發射功率下推導了簡單的閉式解。在文獻[9]中，當傳感器在未知的傳輸功率和路徑損耗系數下隨機部署時，作者提出了加權最小二乘法估計器來估計位置。在文獻[10]中，作者通過在非合作和合作定位問題下使用凸松弛技術，將這些混合估計量轉化為半定規劃（semi-definite programming，SDP）和二階錐規劃（second-order cone programming，SOCP）問題。上述研究并未充分考慮實際環境中節點之間陰影衰落的相關性。

在本文中，假設陰影衰落在傳感器之間具有空間相關性，從觀測模型開始，提出的路徑損耗模型考慮了許多因素。通過貝葉斯層次模型，將度量模型轉化為數據模型、過程模型和參數模型三階段模型。該模型能較好地說明空間相關的陰影衰落問題。然后，利用貝葉斯理論得到未知信道模型參數的后驗概率分布，并用馬爾可夫鏈蒙特卡洛（Markov chain Mento Carlor,MCMC）計算出后驗概率分布，并用于估計未知位置的位置。

1 RSS-AOA 定位問題描述

1.1 問題介紹

本文考慮了一個二維混合RSS-AOA 定位網絡結構，規則的節點部署分布如圖1 所示，其中包含一個目標節點、一個初始節點和N個錨節點（ANs）。未知的目標節點為s=[sx,sy]∈?2，已知的隨機初始節點i=[ix,iy]∈?2，錨節點為ai=[aix,aiy]∈?2，i=1,2,…,N,利用一個分層模型來整合距離和角度來估計目標位置，通過結合RSS 和AOA 測量來提高估計精度。

圖1 規則的節點分布圖

初始點l=[lx,ly]∈?2傳輸信號，其他的錨節點接受信號生成訓練集，用于在貝葉斯分層模型匯總計算空間相關性和估計參數。訓練集的結構表示如下：

其中P=[P1,P2,…,PN]，?=[?1,?2,…,?N]分別表示RSSs 和AOAs 的測量值，Pi,?i表示第i個錨節點的RSS 和AOA 值。L=[a1,a2,…,aN]表示錨節點的位置坐標。通過設置不同的初始節點位置和發射功率來生成多組數據集，提高了貝葉斯分層模型中未知參數的準確度，提高了定位精度。

1.2 測量模型

根據發射功率和信號傳播模型，可將錨節點處接收的信號分解為路徑損耗、陰影衰落、小尺度衰落和噪聲。通過長期觀測，可以求出小尺度衰減和噪聲的平均值。RSS 和AOA 測量模型如圖2 所示，由此可得到i的RSS 值：

圖2 2D RSS-AOA 測量模型

其中Pt[dBm]是傳輸功率，d0是參考距離，在本文中假設d0=1[m]。λ是輻射的波長，η是路徑損失系數，||ai-s||表示目標節點和錨節點i間的歐式距離。Wi是一個服從高斯分布的陰影衰落，ni是由錨節點造成的測量誤差，是一個服從零均值標準差為σn的高斯隨機變量。

在實際的無線信號觀測環境中，存在著由相似地形或同一障礙物而導致的陰影衰落。由以往的研究中可以得出，陰影衰落的相關性隨著節點間距離的增大而減小。因此，在RSS 測量中有必要考慮錨節點之間的空間相關性。這里我們假設錨節點間的陰影衰落服從一個N維的高斯分布，其均值是零向量，方差由一個函數定義的協方差矩陣表示。這里我們選擇Matérn 協方差函數[11]:

其中dij表示錨節點i,j間的歐式距離，函數Γ(·)是普通的伽馬函數，Kv(·)是改良的v階 Bessel函數，它控制著實現隨機域的平滑度，本文中我們選擇v=3。φ是空間相關性系數，它控制著衰減程度，σw是邊際差，它控制著函數在預期范圍內的輸出。

根據圖2 中的測量模型，假設錨節點處配備（如定向天線、天線陣列等）去獲得AOA 測量值。因此，仰角?可以通過簡單的幾何結構建模為:

其中mi是角度的測量誤差，是一個零均值標準差為σm的高斯隨機變量。在測量向量Y=[P,?]T基礎上，我們可以得到未知目標節點的條件概率密度函數：

由于ML 估計的高度非凸性以及無封閉解，算法可能陷入局部極小值，導致定位誤差較大。因此，引入BHM 來分別考慮空間相關的陰影衰落分量。

2 貝葉斯分層模型和定位估計

在本節中，提出了應用于測量模型的BHM，以及使用空間相關陰影衰落的MCMC 的混合 RSS和AOA 定位方法。

2.1 貝葉斯分層模型

根據RSS和AOA測量模型，錨節點處的 RSS值由路徑損失系數η，測量方差σn2所影響；AOA值由測量方差σm2所約束。且都與目標節點的位置信息有關。與此同時，潛在的陰影衰落過程由相關系數φ和方差σw2所約束。就中的測量模型，引入三層貝葉斯分層模型[2]轉換，詳細模型如下：

● 數據模型：

測量向量Y在隱過程和相關參數下，服從一個多維高斯分布。均值向量μ=[μ1,μ2,…,μ2N]∈?2N×1協方差矩陣為σ=[σn2IN×N,σm2IN×N]∈?2N×2N。均值向量μ為：

這里，假設所有的參數都是相互獨立的，可以得到：

2.2 參數估計

假設我們有一些關于參數的先驗信息。如表1所示，我們可以選擇均值為4，方差為4 的高斯分布作為路徑損失系數的先驗分布。當參數的先驗信息不存在時，可以選擇弱信息的先驗分布。選擇的分布對參數估計的影響不大，參數估計主要是由數據決定的，須將參數的先驗分布控制在合理的范圍內。

表1 不同環境下的路徑損失系數

根據上述貝葉斯分層模型，可以得到參數的后驗分布：

其中p(θ|Y)表示參數的先驗概率密度函數，在測量數據和生成數據下的條件，通過貝葉斯理論，可以得到參數的后驗分布函數，以路徑損失系數η為例：

上式積分難求閉式解，應用MCMC 方法對（12）進行采樣，然后計算采樣結果的均值作為仿真參數。

2.3 RSS-AOA 混合定位估計

根據上述三層貝葉斯分層模型，提出了一種基于MCMC 方法估計目標節點位置信息后驗分布的方法。在初始節點發送功率，在錨節點接收到的測量數據Y和錨節點位置信息已知的條件下，可以得到目標節點在發射功率Pt時位置信息s=[sx,sy]的后驗概率分布：

由參數的先驗分布p(θ|Y,L)，采樣一組參數θ的樣本{θ(i)},i=1,2,…,K。根據采樣的參數樣本在p(s|Y,θ(i),Pt)上對每一組θ(i)采樣{s(i),Pt(i)}。考慮在實際監測環境中，目標節點的發射功率未知，因此，在上述貝葉斯分層模型中，將Pt當作一個未知參數去估計。新的參數模型如下：

由于陰影衰落受錨節點間的距離和相關系數影響，因此，數據模型和過程模型沒有改變。根據在未知目標節點發送功率，以及接收到的測量數據，應用MCMC 算法去估計參數模型θ^ 中的s,Pt的后驗預測分布：

首先，從p(θ|Y,L)中采樣{θ(i)}，然后對每一個θ(i)從p(s,Pt|Y,L)中采一組，最后計算目標節點的估計信息：

3 仿真結果與分析

在本節中，考慮在500m×500m 的二維區域中的定位問題。如圖1 所示，在觀測區域中均勻部署100 個錨節點。

3.1 仿真數據

根據隨機生成的初始節點i位置發射功率設置為Pt=30[dBm]，生成用于估計參數模型中的相關參數的M=100 組數據，格式如（1）所示。表2 中給出了相關參數先驗信息，并對其進行MCMC 采樣得出其參數的后驗預測分布，如圖3 所示，描述了四條采樣樣本鏈收斂于同一分布。左列為5000 個有效樣本的估計參數核密度，從上至下分別表示η,φ,σw,σn,σm；右列為有效樣本的軌跡圖，說明了算法的收斂性。根據得出采樣有效樣本，計算出樣本均值，作為位置估計的仿真參考數值。

表2 參數的預設先驗信息

3.2 性能指標

（1）均方根誤差

定位性能由均方根誤差 (Root Mean Squares Error，RMSE)來給出：

其中s′表示目標節點的估計位置，Mc的有效采樣次數為5000。

（2）累積分布函數

用預先設定的定位精度，去衡量位置估計的成功概率，選用累計分布函數來評價算法的精度：

CDF(e)=P(||s′-s||

其中e表示目標節點和估計節點間的定位誤差距離。

圖3 參數的后驗預測核密度圖以及采樣跡圖

3.3 仿真結果

使用Python 環境下的PyStan 包在Jupyter Lab上進行建模仿真工作，實驗參數設置如下：已知位置信息的錨節點數N=100，隨機位置的初始節點發射功率Pt=30[dBm]，參數先驗分布如表2 所示，在位置估計仿真中，位置坐標sx,sy是[0,500]上的均勻分布，其他參數設置為表2 中的后驗預測分布的均值。

（1）圖4 為單一RSS、AOA 定位方法和混合RSS-AOA 定位方法在RSS 測量標準差σn的對比圖，如圖所示，在較低的標準差下，單RSS 和混合方法誤差較低，達到6m 左右，隨著標準差的變化，混合方法有較好的穩定性，在較大的RSS 測量標準下，可以結合角度信息對目標節點進行較高精度的定位。由圖5 可以看出，在定位誤差e=16.5m 下，即可達到精確定位。

圖4 定位誤差隨標準差σn 變化趨勢

圖5 定位誤差的累計分布變化

（2）圖6 為在AOA 測量標準差σm下的對比圖，混合定位方法有更高的精度，由于定位場景存在的陰影衰落，導致AOA 測量偏差較大，單一的方法無法進行較為精確的估計。考慮空間相關性的混合定位方法更有效。

圖6 定位誤差隨標準差σm 變化趨勢

圖7 可以看出，混合定位在更低的定位誤差下，可達到精確定位。

圖7 定位誤差累計分布變化

4 結語

在本文中，提出了一種基于貝葉斯分層模型的混合RSS-AOA 定位方法，通過將陰影衰落轉換成過程模型，考慮了節點間的空間相關性，提高了對目標節點的位置估計精度。仿真結果驗證了定位方法的有效性。