以“隱”入手，挖掘內(nèi)涵

朱晨晨

【摘要】解題能力提升是當下初中生數(shù)學教學的重難點所在，是學生數(shù)學綜合素質眾多反映指標中最直觀的一個，加強解題教學，傳授有效的解題技巧與方法，促進學生數(shù)學解題能力不斷提升是當下教學的核心任務.本文立足初中數(shù)學解題教學現(xiàn)狀，重點對隱含條件的挖掘意義與策略進行了討論，旨在促進學生數(shù)學解題能力不斷提升.

【關鍵詞】初中數(shù)學；解題教學；隱含條件

在進入初中階段后，數(shù)學課程不僅需要學生牢固掌握相關數(shù)學知識點，同樣要在思維能力、推斷能力和抽象概括能力等方面有所建樹.其中隱含條件挖掘是數(shù)學問題求解中經(jīng)常容易被學生忽視的一個地方，許多學生容易因為無法全面、準確地挖掘及利用數(shù)學問題當中的隱含條件而無法順利求解問題[1].為了全面發(fā)展初中生的數(shù)學解題能力，必須要結合典型數(shù)學例題，強化學生挖掘及利用題干中隱含條件來求解數(shù)學問題的能力.

1 初中數(shù)學解題中隱含條件的挖掘意義

隱含條件主要是指在解題中隱藏在題干信息中關系解題的信息，相應的解題條件可以包含在某些數(shù)學的概念、性質、公式和符號等眾多方面，它們都是解決數(shù)學問題中不可或缺的解題條件及信息.在求解數(shù)學問題中，如果無法根據(jù)題干信息挖掘出有價值的隱含條件及信息，那么會因為解題條件不足而無法順利求解問題，又或者因為隱含條件挖掘應用不到位而造成錯解，這些都是學生在求解數(shù)學問題中容易遇到的解題問題[2].

在初中數(shù)學解題教學中指導學生深入挖掘其中的隱含條件，主要意義體現(xiàn)在如下幾個方面：

其一，有利于促進思維能力發(fā)展.解題教學無疑是很好錘煉學生思維能力的教學環(huán)節(jié)，尤其是在引導學生對數(shù)學題目中的隱含條件進行挖掘過程中，初中生需要相應地經(jīng)歷關鍵詞把握，思維變換及推理等眾多思維活動，保證可以對他們邏輯思維能力進行有效鍛煉，增強了思維的嚴謹性和靈活性特性.

其二，有利于培養(yǎng)良好解題習慣.在整個數(shù)學問題求解中要確保解題思路的嚴謹性，即要做到嚴謹審題，避免粗心大意.指導學生學會在解題中對題干信息中的隱含條件進行挖掘的過程實際上就是指導他們開展認真審題的過程，以此可以借助明確的隱含條件挖掘方式來促使學生形成良好解題習慣.

2 初中數(shù)學解題中隱含條件的挖掘策略

2.1 立足數(shù)學概念解析，挖掘隱含條件

概念是構成數(shù)學之樹的細胞，是學生數(shù)學綜合素質發(fā)展的基礎，如數(shù)學核心素養(yǎng)養(yǎng)成及數(shù)學解題能力發(fā)展都離不開數(shù)學概念知識的基礎.所謂的數(shù)學概念，主要是對數(shù)學領域中的那些標志性或者代表性的元素、符號等的集中解釋[3].而在數(shù)學概念當中也會涉及一些具有限制作用或者界定性質的條件，既要滿足數(shù)學概念的應用需求，需要遵從特定的應用條件及要求，它們是某些數(shù)學問題求解中必不可少也不容忽視的重要解題條件.比如，平方、根式、絕對值等這些數(shù)學概念的界定中都涉及某些明確的界定，如根式成立的基本條件等等.在求解某些數(shù)學問題時，針對其中給出的數(shù)學概念，可以通過對數(shù)學概念進行認真解析，深入挖掘其中有助于解題的隱含條件.

例1 已知x+2與（y-1）二者互為相反數(shù)，試求x+y2022的取值.

解析 本道題考查的是學生對于指數(shù)函數(shù)等幾種函數(shù)的理解與認識情況，問題的題干信息非常簡潔，內(nèi)容相對較少.但是為了順利求解，必須要對其中涉及的一些基本數(shù)學概念進行明確，即“相反數(shù)”“絕對值”與“平方式”.鑒于本題中給定的x+2與y-12二者本身表現(xiàn)為相反數(shù)的關系，并且根據(jù)自身的代數(shù)形式，可以判定二者都應該屬于非負數(shù)范疇.在抓住相應數(shù)學概念的基礎上，可以相應地通過推算分析得到如下的隱含條件：兩個非負數(shù)之間實現(xiàn)互為相反數(shù)的唯一可能是二者都是0，即：x+2=0與y-12=0.如此一來就可以相應地求解得到x=-2，y=1.在挖掘出上述這些數(shù)學概念中的隱含條件后，可以將x與y的取值相應地代入到x+y2022中即可快速求解出本道題的正確答案是：x+y2022=-2+12022=1.

2.2 立足代數(shù)公式解析，挖掘隱含條件

數(shù)學學科是圍繞“數(shù)”開展的一門學科，如有理數(shù)、無理數(shù)等等，這些都屬于數(shù)學領域的知識點.其中代數(shù)則是初中階段有關“數(shù)”的一類重要的數(shù)學知識點，不僅是中考數(shù)學考試的熱點，也是學生學習的重難點所在[4].在學生平時求解數(shù)學問題中經(jīng)常遇到各種關于代數(shù)的類型題，實際的求解中也需要對它們之中的隱含條件進行有效挖掘及深入分析.因此，在指導學生平時開展自主或隨堂練習中遇到有關代數(shù)公式運用的數(shù)學問題中要多留一個心，對其中所包含的隱含條件進行深入挖掘及有效運用，保證可以支持整個數(shù)學問題求解中關鍵信息的順利融入.

例2 現(xiàn)有如下一個方程式：（a2+b2）2-3（a2+b2）—10=0，根據(jù)該方程式試求a2+b2的取值是.

解析 本題是一道考查學生對方程題目求解能力的簡單類型題.通過對問題給出的題干信息及條件進行解析，可以發(fā)現(xiàn)整體的題干信息表述比較簡單，主要采用字母及符號的形式來呈現(xiàn)題意.這使得許多初中生實際解題中容易因為忽視了其中有價值的解題隱含條件而造成錯誤解題.比如，有的學生可能會直接確定利用換元法進行解題，即：假定a2+b2=y，那么原有題干給出的方程可以相應轉換成：y2-3y-10=0，之后可以由因式分解相應地得到y(tǒng)=5或-2這一結果.實際上，上述這種解題思路以及最終得到的結果都是不準確的.因為根據(jù)a2+b2這一公式，可以確定如下這一關鍵的隱含條件：a2+b2這本身是非負數(shù).根據(jù)這一解題的隱含條件，可以將上述學生求解出的a2+b2=-2這一結果相應地排除掉，最終只得到a2+b2=5這一個正確的答案.由此可見，根據(jù)題目給定的解題信息，本著實事求是的原則，針對不同的數(shù)學類型題求解都可以做到具體問題具體分析，避免因為缺乏可靠、真實解題條件而對最終的數(shù)學問題順利求解帶來不利影響.

2.3 立足結構特征解析，挖掘隱含條件

在數(shù)學問題求解中，許多數(shù)學問題中給出的已知條件本身是借助關系式的方式進行呈現(xiàn)，這些關系式本身都有其固有的結構特征，而隱含條件往往隱藏在這些結構特征當中.在求解數(shù)學問題期間，如果可以指導學生立足整體來關注這些關系式或算式等的固有結構，而不是局限于對數(shù)學問題中的“字眼”進行把控，那么可以幫助初中生更好地確定自身的解題思路與突破口，避免因為解題思路不明確直接影響他們自身的解題能力的提升.

例3 現(xiàn)有一個方程（x2+5x+4）2+（x2+5x+4）－8=0，試求（x2+5x+4）的值.

解析 針對本道題，經(jīng)過指導學生對題干信息進行認真解讀，他們可以從整體上觀察得到待求解部分公式本身的結構同給定條件中的內(nèi)容保持一致，并且這些結構都是采用了一元二次方程的方式呈現(xiàn)，所以在指導學生進行求解過程中可以利用整體替換的方式來簡化問題求解過程，即將（x2+5x+4）當成一個整體t，這樣題目給定的解題條件實際上就可以轉換為t2+t－8=0，同時要注意結合t≥-9/4這一隱含條件，保證可以使學生快速簡化整個數(shù)學問題求解過程.

2.4 立足圖形元素解析，挖掘隱含條件

數(shù)與形是構成數(shù)學知識的重要形式，除了“數(shù)”中包含著與解題有關的隱含條件外，“形”中同樣包含著有關數(shù)學問題求解的有價值隱含條件.在某些關于圖形元素的數(shù)學問題求解中，已經(jīng)給出的解題條件可能并不是相應數(shù)學問題求解的關鍵信息，而題干給出的某些圖形元素則可能蘊含著關于問題求解的隱含條件[5].因此，在指導學生解題中挖掘隱含條件同樣不可忽視對圖形元素中所包含的隱含條件進行解析、挖掘及運用，如對數(shù)學問題中給出的圖形信息進行解讀，找到它們同最終問題求解條件之間的聯(lián)系性，這是順利構建解題“橋梁”的重要保障，也是最終解題質量進行有效控制的關鍵所在.特別是融合數(shù)形結合思想，讓學生可以將圖形元素相應地向文本信息方式轉化，這樣可以起到化繁為簡，提高學生解題準確度的作用.

例4 如圖1，已知ED=OB，CF和BE二者交于D點，∠DCB=∠EFO，∠DBC=∠EOF，并且E點、F點與A點位于同一直線上，試求證：∠AFD=2∠OEF.

解析 針對本道幾何問題的求解，要指導學生在求解中首先對題干信息進行分析，由于題干條件有限，為了順利解決問題，可以讓學生在運用數(shù)形結合思想的情況下對圖形中包含的隱含條件進行有效挖掘和合理運用.

經(jīng)過認真閱讀，可以確定本道題中相應圖形知識中包含的隱含條件如下：∠AFD本身為△FDE的一個外角.基于三角形外角本身的特性，可知：∠AFD=∠DEF+∠FDE，之后可以借此來將本道題的求證相應地轉化為求證∠OEF=∠FDE.

基于題干給定的條件∠OFE=∠BCD∠EOF=∠DBCDE=BO→OE=BD，可得△BCD≌△OFE，之后可以調用三角形全等方面的數(shù)學性質求得：∠OEF=∠BDC.由于∠FDE本身同∠BDC二者是互為對頂角關系，故有∠FDE=∠BDC，進而可以得到∠FDE=∠OEF，最終可以求證∠AFD=2∠OEF.

綜上所述，隱含條件的挖掘及利用是提高初中生數(shù)學解題能力、思維能力等關鍵學科能力，助力良好解題習慣和數(shù)學核心素養(yǎng)養(yǎng)成中必不可少的一個教學內(nèi)容.在數(shù)學問題求解中挖掘隱含條件中，可以指導學生重點關注其中的數(shù)學概念、代數(shù)公式、圖形元素等眾多類型數(shù)學知識的本質含義及特征解題，明確潛在影響數(shù)學問題求解的各種條件，確保可以在隱含條件有效支撐下使得數(shù)學問題順利求解.

參考文獻：

[1]王根全，孫蕾.初中數(shù)學解題中隱形條件的挖掘[J].數(shù)理天地（初中版），2022，42（6）：15-16.

[2]陳海平.“隱”為明巧解題——談隱含條件在初中數(shù)學解題中的價值[J].數(shù)理化解題研究，2022，11（17）：59-61.

[3]劉楠楠.淺析初中數(shù)學解題中隱含條件的應用[J].數(shù)理化解題研究，2022，23（11）：14-15.

[4]鄒艷秀.核心素養(yǎng)下初中數(shù)學解題反思方法與途徑[J].數(shù)理天地（初中版），2022，（17）：48-50.

[5]王根全，孫蕾.初中數(shù)學解題中隱形條件的挖掘[J].數(shù)理天地（初中版），2022，（6）：15-16.