建立模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維

江蘇省淮安經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)啟明中學(xué) 邵 君

數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的教學(xué)理念是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的案例進(jìn)行聯(lián)系和類比，分散難點(diǎn)，通過多元合作和分享，幫助同學(xué)們形成抽象的理性思考模式。雖然數(shù)學(xué)模型的概念在數(shù)學(xué)知識體系中比較常見，但目前大部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂忽略了數(shù)學(xué)模型的重要性，許多教師沒有認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型對于培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的重要性。下面本文將從幾個經(jīng)典案例入手，談一談如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中利用模型構(gòu)建發(fā)展學(xué)生的抽象思維。

一、發(fā)現(xiàn)問題，提出猜想

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型不需要同學(xué)們具備十分全面的知識體系。每一個數(shù)學(xué)模型都具備一個典型的突破點(diǎn)，因此，教師要注重培養(yǎng)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)問題、理解抽象性問題的能力。階段性問答的方式會給同學(xué)們一定的啟發(fā)性，幫助同學(xué)們提出想法。教師在教學(xué)數(shù)學(xué)模型時要考慮同學(xué)們的心理，從低難度的問題入手打消同學(xué)們對于未知領(lǐng)域的陌生感和恐懼感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信。

例如在教學(xué)“二元一次方程”時，我認(rèn)為函數(shù)意識的培養(yǎng)最好的基點(diǎn)就是實(shí)際問題，所以我針對函數(shù)問題展開了實(shí)際問題的探討。比如題目：“同一款式的衣服L 碼，衣長為56cm，袖長為40cm，M碼衣長為44.5cm，袖長為35cm，已知S 碼衣長33.2cm，求問S 碼袖長為多少？”同學(xué)們看到衣服的尺碼問題，無法把這個抽象的生活概念同函數(shù)聯(lián)系起來。我向同學(xué)們拋出第一個問題：衣長和袖長之間存在一定的數(shù)量關(guān)系嗎？通過閱讀題干，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)衣服的袖長和衣長之間存在一定的比例關(guān)系。我又接著提問：如果存在一個方程可以把這聯(lián)系起來，需要設(shè)定幾個未知數(shù)？同學(xué)們發(fā)現(xiàn)通過引入一次函數(shù)y=kx+b，就可以從方程組的計(jì)算中得出衣長和袖長的關(guān)系。

把設(shè)置階段性問答作為同學(xué)們開展數(shù)學(xué)建模的突破口，可以很大程度地減輕同學(xué)的心理壓力，幫助學(xué)生高效解決問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的提升和優(yōu)化。階段性問答從淺入深的教學(xué)設(shè)計(jì)可以給同學(xué)們提供合理的推理思路，并且從實(shí)際問題出發(fā)的典型題目可以讓同學(xué)們更全面地理解生活中的抽象關(guān)系，從而更好地理解數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義，為學(xué)生更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型奠定良好的基礎(chǔ)。

二、多元發(fā)散，分別驗(yàn)證

多元化的模型構(gòu)建途徑不僅可以拓寬同學(xué)們的思維廣度，還可以加深同學(xué)們的思維深度。數(shù)學(xué)模型的建立往往需要涉及多個方面的知識體系，在逐層解析的時候，教師可以鼓勵同學(xué)們進(jìn)行多方面的假設(shè)和推理，把復(fù)雜抽象的問題拆分成小節(jié)。這樣做既降低了模型構(gòu)建的難度，還可以幫助同學(xué)們更為全面地思考問題。

例如在進(jìn)行“銳角三角函數(shù)”的教學(xué)過程中，我認(rèn)為掌握三角函數(shù)的關(guān)系和推定原理要比熟記特定的三角函數(shù)值更有幫助。比如例題：“AC是樓梯的垂直高度，BC是地面的水平線，BA與CA的夾角為a?，F(xiàn)要在樓梯上鋪廣告，已知BC=4 米，樓梯寬度1 米，則廣告的面積至少需要多少平方米？”在進(jìn)行這個問題的建模過程中，我要求同學(xué)們先繪制一個簡圖，針對簡圖進(jìn)行思考。在繪制圖像的時候，有細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，廣告紙的長度并不是樓梯斜面的長度，而是BA與CA的長度之和。在明白了這個關(guān)鍵點(diǎn)之后，同學(xué)們可以根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系逐步進(jìn)行建模、計(jì)算、解題。

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的通路有很多條，依靠簡單的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法，同學(xué)們可以獲得模型構(gòu)建的部分思路。從全面發(fā)展的角度來說，讓同學(xué)們進(jìn)行多元思考，從更為深入的方面考慮數(shù)學(xué)模型的格局，會幫助同學(xué)們更好地建立抽象思維，更多地考慮脫離數(shù)學(xué)情境，回歸到順序的概念和本質(zhì)。

三、梳理歸納，形成體系

初中階段的抽象思維主要體現(xiàn)在幾何關(guān)系上。傳統(tǒng)平面的抽象關(guān)系可以通過賦予熟悉含義而具有數(shù)學(xué)關(guān)系，并且?guī)缀沃械某橄髥栴}要求同學(xué)們具備全面的幾何知識，熟知點(diǎn)線面的關(guān)系和幾何定理。因此，在進(jìn)行相關(guān)建模時，同學(xué)們就需要不斷對幾何知識進(jìn)行歸納整理，形成自我的知識體系。

例如，我在進(jìn)行“平行四邊形”的備課過程中，對于平行四邊形的幾條定理進(jìn)行了思考。同學(xué)們對于定理的記憶基本依靠死記硬背，但是我希望在課堂上通過練習(xí)平行四邊形相關(guān)的幾個幾何系統(tǒng)幫助同學(xué)們理解和記憶定理。例如，在講解平行四邊形和菱形在證明上的不同點(diǎn)時，同學(xué)們的思維很活躍，一些同學(xué)從二者的對邊關(guān)系出發(fā)，菱形有四條邊全等的特點(diǎn)，而平行四邊形只具備一組對邊相等的特質(zhì)。還有一些同學(xué)另辟蹊徑，從角度上考量二者的推定關(guān)系，但結(jié)果證明，角度的關(guān)系理論只有在特殊的圖形之間才有實(shí)踐意義。在針對平行四邊形進(jìn)行的建模活動中，我要求同學(xué)們把平行四邊形的網(wǎng)絡(luò)繪制在一張圖譜上，并注明這些幾何圖形與平行四邊形之間的平面關(guān)聯(lián)，我認(rèn)為數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的建立需要多個系統(tǒng)之間進(jìn)行聯(lián)系和融合。

數(shù)學(xué)知識體系的歸納建立不僅對于同學(xué)們記憶知識點(diǎn)和概念具有極大的促進(jìn)作用，更對學(xué)生形成系統(tǒng)、全面的知識體系也具有至關(guān)重要的影響，同樣，教會學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識體系的歸納，還可以幫助同學(xué)們回歸到概念和原理，更為深入地理解數(shù)學(xué)知識。在幾何問題中，相似幾何圖形之間的交叉聯(lián)系對于抽象思維的建立也有重要意義。

初中階段的模型構(gòu)建可以為同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維建立打下基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的目的在于教授同學(xué)們一種研習(xí)數(shù)學(xué)問題、拓展數(shù)學(xué)思維的通路，以期同學(xué)們可以從數(shù)學(xué)建模中獲得抽象思維的啟發(fā)和靈感。教師在選取數(shù)學(xué)模型教材的時候也要注意數(shù)學(xué)模型的實(shí)際性與典型性，以期達(dá)到輔助同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法的目的。