元認知：基于思維的數(shù)學學習
——以“三角形的面積”教學為例

江蘇省徐州市賈汪區(qū)江莊鎮(zhèn)中心小學 盧興本

元認知是美國心理學家J.H.弗拉維爾提出的一個關于應用心理學的概念。在日常教學中，有學生會把教材中的認知內(nèi)容納入自己的知識體系，把數(shù)學知識進行前后貫通，橫向理解，這是思維內(nèi)化；也有部分學生讀不明白題意，說不清楚題目中的邏輯關系，得不出正確的結(jié)論。這兩種情況都和元認知水平的高低有密切關系。筆者以《三角形的面積》教學為例，淺談在數(shù)學課堂提高學生元認知水平的具體做法與體會。

一、在教學預設中尋找元認知，讓思維發(fā)生

師：今天，老師給同學們帶來了一則故事，埃及國王想要測量金字塔的高度，有一個叫法涅斯的學者利用太陽的影子測量出了金字塔的準確高度。法涅斯利用自己的身高在某一時刻和影子一致，從而推導出來金字塔的影子在此時和金字塔的高度應該也一致。法涅斯用到的方法在我們的數(shù)學學習中十分常見。請看大屏幕，比一比，這兩個圖形的面積一致嗎？

生1：兩個圖形不一樣，不一定相等。

生2：我感覺是相等的。

師：那么我們來觀察一下，看看這兩個圖形的面積究竟是否相等。（PPT 顯示圖形的切割與組合）

師：相等嗎？

生：相等。

師：我們把原來不一樣的兩個圖形經(jīng)過重新切割與組合，就變成了一樣的圖形，這個過程就叫轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換可以把復雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的圖形，也可以把復雜的關系轉(zhuǎn)化為簡單的關系。那么，《曹沖稱象》的故事是如何轉(zhuǎn)換的？

生：曹沖把大象轉(zhuǎn)換為一塊塊石頭，利用船載重物會沉入水中的原理，測量出了大象的重量。

師：是啊，轉(zhuǎn)換是一種重要的問題解決策略，目的就是化繁為簡，把沒有學過的知識轉(zhuǎn)換為學過的知識。

在這個教學環(huán)節(jié)中，教師通過兩則通俗易懂的小故事讓學生認識了“轉(zhuǎn)換”這個知識點，發(fā)揮元認知的價值，讓每個學生從身邊事例當中發(fā)現(xiàn)認知的意義，感受知識學習的樂趣。

二、在課堂教學中展現(xiàn)元認知，讓思維深入

要讓學生經(jīng)歷對知識的重構(gòu)過程，以“三角形的面積”教學為例。

1.通過操作與比較對知識進行辨析

師：同學們，下面讓我們利用學具來進行探究。選擇兩個一樣的三角形，嘗試進行組合。

學生根據(jù)選擇的材料進行探索，并展示、匯報。

生1：我用兩個一樣的直角三角形拼成了一個長方形。拼成的長方形面積=底×高，每一個直角三角形的面積就等于這個長方形面積的一半，所以這個三角形的面積=底×高÷2。

師：同學們，從他的發(fā)言中，你聽明白了嗎？那么，是不是只要是三角形，面積就是平行四邊形面積的一半呢？（教師拿出兩個不等底等高的三角形和平行四邊形學具，讓學生對比）

生2：我發(fā)現(xiàn)要抓住三角形和平行四邊形的底和高來比較，才能得出正確的結(jié)論。

師：同學們分析得很有道理，我們一起再來回憶拼圖過程。（板書：三角形的面積=底×高÷2）

在這個教學環(huán)節(jié)中，學生通過兩次比較與嘗試，得出了對三角形面積的正確認識，在思維的不斷深入中，經(jīng)歷了對三角形面積進行初步認識的元認知過程。

2.代入符號讓知識經(jīng)歷二次建構(gòu)

師：同學們，三角形面積計算公式當中，“底×高”指什么？ “÷2”指什么？

生1：“底×高”表示平行四邊形的面積，也就是兩個完全一樣的三角形的面積，所以又要 “÷2”。

師：如果我們用“a”表示三角形的底，用“h”表示三角形的高，“S”表示三角形的面積，那么計算三角形面積的字母公式可以寫成什么？

生1：S=ah÷2。（教師補充板書）

學生的認知隨著對數(shù)學問題的探究不斷深入，學生通過對平行四邊形面積向三角形面積的公式轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)了思維向知識深處進發(fā)。

三、在課后實踐中運用元認知，讓思維存在

發(fā)明家富勒曾說：“三角形是宇宙起源的未來形式。”三角形的獨特存在是我們判斷實物之間聯(lián)系的重要基礎之一。在課后實踐中，筆者以“紅領巾”作為測量對象，讓學生搜集有關紅領巾的資料，讓學生根據(jù)三角形面積公式計算其面積。

師：同學們，假如我們想測量紅領巾的面積，你準備怎么做？

生1：我把紅領巾當作一個三角形，首先測量它的底，再測量它的高，然后根據(jù)公式S=ah÷2 計算它的面積。

生2：我會找兩個完全一樣的紅領巾，拼成一個平行四邊形，先得出平行四邊形的面積，然后除以2，就得到紅領巾的面積了。

師：同學們，通過這節(jié)課的學習，課后，你們會利用三角形的面積公式做些什么呢？

生1：利用這個公式測量家中三角形物品的面積。

師：同學們，得出三角形面積公式的途徑有很多，我們可以用推導、切割、“數(shù)格”等許多方法來研究三角形的面積，課后同學們繼續(xù)探究，你們還會有新的收獲。

上面的教學環(huán)節(jié)可以理解為認知與思維的碰撞過程，也是滲透學科“立德樹人”的過程。經(jīng)歷這一過程，有助于凸顯知識的生活應用。

總之，基于元認知，讓學生不斷調(diào)整學習狀態(tài)，在思維視角下去學習知識、積累經(jīng)驗、提高能力。在學習過程中，從學生的元認知著手，鼓勵學生呈現(xiàn)“自我”，逐步提高元認知能力，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。