問題驅動下方程的教學意義探究

廣州市增城區第二中學 黎燦群

方程是初中數學學習的重要內容，分布在初中階段七、八、九三個年級，涵蓋一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程等內容。在一線教學實踐中，教師認真備課，特別重視各種方程的解法技巧訓練，但是這些都只是方程教學中的技能訓練，學生畢業多年以后，往往很難想起教師講過的解方程技巧，只有真正的數學思想、數學思維才會存留在腦海里，所以必須關注數學的核心。教師要在百忙之中抽出時間來慢慢思考，好好探索一下“為什么要學習方程？”這個問題，不是因為教材內容的安排或是升學學習的需要，而是數學學科內在的需求與必要性，應該是歷史發生的必然結果。本文將在問題驅動理論指導下探究方程教學的意義。

一、方程的知識地位

數學知識并不是孤立的。方程是初中數學的重要學習內容。方程是繼有理數、整式的知識之后學習的進一步深入，又是過渡到不等式、函數部分知識的臺階。方程是學生在學習了第一章“有理數”、第二章“整式的加減”之后的第三章內容，都屬于“數與代數”的知識領域。從代數中關于方程的分類來看，一元一次方程是最簡單的代數方程，也是所有代數方程的基礎。先是在七年級學習一元一次方程，再到八年級學習二元一次方程組、分式方程，最后在九年級學習一元二次方程，知識呈現由簡單到復雜，由易到難，思維呈螺旋式不斷上升發展。方程是比算術式子更有力的數學工具，用字母表示未知數，列出方程進行計算，從而解決問題。這樣既體現出與算式、整式的聯系，又顯示出比算術方法的進步優勢，為后續學生學習函數、不等式做好知識鋪墊。

二、方程產生的歷史意義

人們對方程的研究有悠久的歷史?！毒耪滤阈g》是我國東漢初年編定的一部現有傳本的、最古老的數學經典著作。其中，“方程章”是世界上最早系統研究代數方程的專門論著。14 世紀初，我國數學家朱世杰在《四元玉鑒》中又創立了“四元術”，以天元、地元、人元、物元四個元素（即相當于現代的設未知數x、y、z、w）表示四元高次方程組，這是古代數學研究的一次飛躍。法國數學家笛卡爾在韋達的基礎上，采用小寫字母，用字母表中靠前的字母(如a,b,c等)表示已知數或常量，而靠后的字母(如x,y,z等)表示未知數或變量，標志著符號代數產生。

方程是重要的數學知識，它隨著實踐需要而產生，并且有極其廣泛的應用。從數學學科本身看，方程是代數學的核心內容，其研究推動了代數學的整體發展。方程學習并不只是簡單地認識方程的外在特征，即“含有未知數的等式”，而是要讓學生體會方程的本質特征，即揭示事件中最主要的數量關系。

三、方程的優越性

在學習方程以前，如果只用算式來解決問題，在某些問題中，數理關系不直接，往往就需要采用逆向思維來分析和計算，理清各種量之間的關系才能解決問題。這樣給問題解決帶來了極大不便，數理關系也不容易分析和理解。但是如果運用方程解決問題，可以通過假設若干個未知數，依據相等關系使未知數逐步化歸為用已知數表達的形式。通過列方程分析問題的時候，思路是正向的、直接的，數學線性的思考方式就顯示出其優越性。

例如，七年級數學上冊課本提出的問題：一輛客車和一輛卡車同時從A地出發沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70 km/h，卡車的行駛速度是60 km/h，客車比卡車早1 h 經過B地。A、B兩地間的路程是多少？

對于這個問題，如果用方程來解決，可以設A、B兩地相距xkm，根據問題的條件，即可列出方程，學生可以理解怎樣分別用未知數表示客車和卡車從A地到B地的行駛時間。但是如果用算術的方法來解決這個問題，對于“1 km 的路程，客車比卡車少用的時間”這個數量關系，卻變成學生理解的難點。教材提出的這個典型問題，顯然突出顯示了方程思維在解題方面的優勢。通過列出含未知數的式子表示有關的量，并進一步依據相等關系列出方程，突出方程的根本特征，也使學生能夠順利實現從算式解題思路到方程解題思路的過渡。從算術方法到方程方法，是數學的進步。

列算式是用算術方法進行計算的程序，列算式是依據問題中的數量關系，算術中只含已知數而不含未知數。列方程也是依據問題中的數量關系（特別是相等關系），但它打破了列式時只能用已知數的限制，方程中可以含有相關的已知數和未知數，這是一種進步。正因為如此，一般來說，列方程比列算式有更多的優越性。

曹廣福教授在《問題驅動的中學數學課堂教學》中指出，數學教育是數學的“有限再創造”。學生是在老師的引導之下進行數學的再創造，而不是獨立自主的再創造。課堂教學中要以真正的問題驅動課堂教學，以問題驅動為指導，將驅動教學的問題通過適當的情景展現出來，滲透數學知識中蘊含的數學思想，真正培養學生的核心素養。