“MPCK”：圖形與幾何教學研究的全新視角

侯正奎

（鹽城市尚莊小學江蘇鹽城 224023）

20世紀80年代，美國著名學者舒爾曼提出了“學科教學知識”（Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK）概念。通過這一概念，人們認識到教師教學工作的專業性、獨特性，認識到教師在教學中不僅需要學科的本體性知識，更需要教育學、心理學等方面的教學法知識。而且，從某種意義上說，教師的教學法知識比本體性知識更為重要。而“MPCK”就是數學（Maths）學科知識與教學法知識的結合體，“MPCK”知識為教師的數學教學提供了全新的研究視角。本文以小學數學圖形與幾何知識板塊教學為例，介紹“MPCK”視角下的教學實踐操作。

一、基于“MK”視角，用“高觀點”統領數學知識

“MPCK”知識可以初步分為數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、關于學生的知識（CK）等。對于學生的數學學習來說，首要的問題就是“學什么”的問題，這是數學課程本體的問題，也是最為核心的問題。著名數學教育家張奠宙先生認為，“學什么”永遠比“怎樣學”更為重要。因為“學什么”牽涉的是教學的方向問題，而“怎樣學”牽涉的是教學的方法問題、策略問題、路徑問題。基于“MK”視角，教師要引導學生從“高觀點”視角來統領數學知識。

數學知識不僅包括顯性的數學知識，而且包括隱性的數學知識，如數學思想方法、核心觀念等。就圖形與幾何知識而言，其外在的特征、面積公式、體積公式等就是顯性知識，而推導過程所蘊含的思想、方法、策略等就是隱性知識。對于圖形與幾何知識，教師不僅要引導學生認識其本質，更要認識到數學知識之間的關聯，要從高觀點、大思想的視角認識數學知識。比如，教學“多邊形的面積”時，從“MK”視角看，不僅包括長方形知識、正方形知識、平行四邊形知識、三角形知識和梯形知識，而且包括長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形面積的推導過程。換言之，數學知識教學不僅包括結果性知識，而且包括過程性知識。通過引導學生經歷推導過程，讓學生形成圖形面積推導的轉化思想，形成剪拼、平移、旋轉、分割等的圖形面積的推導策略。不僅如此，教師可以從知識視角對多邊形的面積進行統整。比如，動態地展示長方形的面積、正方形的面積、平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積，就能通過梯形的面積公式將其他圖形的面積公式進行有效整合。如“三角形的面積可以看成是上底為0的梯形面積公式”“平行四邊形的面積可以看成是上底和下底相等的梯形面積公式”“長方形的面積可以看成是上底和下底相等、高與寬相等的梯形的面積公式”，等等。這樣的一種高觀點，有助于學生深刻理解數學知識本質，把握數學本質知識之間的關聯。

基于“MK”視角的數學知識，表征了教師對數學本體性知識的基本看法，包括數學的核心概念、思想方法等，教師要對數學知識進行統攬、組織。教學中，尤其要把握數學知識中蘊含的數學思想方法。因為數學思想方法是數學本體性知識的靈魂，是最具活力的數學知識，能夠發揮遷移、統領、概括等作用。

二、基于“CK”視角，用“學生立場”觀照數學學習

學生數學學習的效能，不僅取決于教師對數學本體性知識的解讀，更取決于對學生具體學情的把握。基于“CK”視角，教師要努力站到“學生立場”上去，從“學生立場”“學生視角”去觀照數學知識。只有從“學生立場”來觀照數學知識，數學教學才能取得應有的實效。因而，教師不僅要了解學生普遍性的年齡特征、心理規律等，更要把握每個學生的認知特質、認知傾向，把握學生的學習態度、相異構想等。

對于圖形與幾何這一部分內容，不同的學生會做出不同的解讀、探索。有學生喜歡對圖形與幾何進行動手操作，有學生習慣于對圖形與幾何直觀認知，有學生能夠對圖形與幾何進行有效推理，等等。因此，在圖形與幾何這部分內容的教學中，我們常常發現一部分學生擅長于圖形的變換，另一部分學生擅長于公式推導等。學生對不同的圖形與幾何板塊內容的學習適應性是不同的。比如，教學蘇教版四年級“三角形的內角和”時，有學生進行撕角法的直觀操作，讓三角形的3個內角拼成一個平角；也有學生過三角形的一個頂點畫出對邊的平行線，根據直覺判斷相等關系的角（同位角、內錯角等），從而洞察三角形內角和是180°；還有學生通過畫三角形的高，將銳角三角形、鈍角三角形分割成兩個直角三角形進行推理等。不同的學生顯示出認知的差異，在教學中教師只有把握好學生的認知差異，才能有效地培養學生的數學學習態度、學習能力，才能提升數學教學的效能。

基于“CK”視角，教師要把握學生的已有知識經驗，把握學生的可能認知路徑，把握學生理解的發展歷程，認識到學生學習數學知識的優勢、障礙等。只有這樣，才能讓圖形與幾何教學切入學生的最近發展區，才能讓學生以積極的態度融入數學學習之中來。

三、基于“PK”視角，從“教學法”來審視教學

傳統的數學教學，往往著眼于學生是否掌握數學知識，這種掌握主要是對結果性知識的掌握。基于“PK”視角，從“教學法”來審視教學，我們不僅要考量學生對結果性知識的掌握，更要考量學生獲得數學知識的合理性。在數學教學中，教師要注重學生對數學問題的表征，注重學生對問題解決策略的選擇。

因而，如何將“學術形態的數學”轉化成“教育形態的數學”，如何有效選擇和組織教學內容、確定教學方法，如何盤活學生的數學思維、催生學生的數學想象，如何激發學生的學習動機、評價學生的學習結果等，就成為“PK”視角下教師教學應當注重的問題。由于教學法知識的差異，同一個數學知識，不同教師會做出不同的教學設計，有的教師課堂教學平平淡淡，而有的教師課堂教學則風生水起。比如，教學蘇教版六年級“圓錐的體積”時，有的教師會將這部分內容研發成“探究性教學”，有的教師將這部分內容研發成“驗證性教學”，不同的教學有著不同的旨趣。一般來說，“經驗性知識”適合于“探究性教學”，而“超經驗性知識”適合于“驗證性教學”。“探究性教學”注重的是讓學生進行思考、探究，注重的是讓學生進行發現。而“驗證性教學”注重的是讓學生大膽地猜想、小心地求證。以“驗證性教學”為例，首先讓學生提出猜想，有的學生猜想圓錐的體積應當是等底等高圓柱體積的一半，因為等底等高的直角三角形面積是長方形面積的一半，而直角三角形沿著直角邊旋轉形成圓錐，長方形沿著長或寬旋轉形成圓柱。但通過實驗驗證后，學生很快就否定了自己的猜想，進而形成新的猜想：圓錐的體積是等底等高圓柱體積的三分之一。在通過實驗驗證之后，學生獲得的猜想并不一定正確，必須進行有效的驗證。

在小學數學教學中，從“MK”視角分析，教師對數學本體性知識有清晰的認知；從“CK”的視角分析，教師要盡可能深入了解學生，掌握學生具體學情，關注學生學習差異；從“PK”視角分析，教師結合學生認知特點，選擇適當的方法進行教學。通過不斷的學習研究，教師不斷完善自身的“MPCK”，逐步建構最佳的“MPCK”結構，進而促進自身的專業發展。