“工程有限元與數值計算”實驗教學模式探索與實踐

郭艷婕，楊立娟，張留洋，孫 瑜，陳雪峰，李 兵，權雙璐

（西安交通大學 機械工程學院，陜西 西安 710049）

有限元是利用數學近似的方法對真實系統進行模擬的一種分析方法，廣泛應用在機械、材料、航空等各個領域。“工程有限元與數值計算”是機械工程專業的一門專業必修課，旨在培養學生運用科學工具和數學思維進行系統分析和設計的能力[1-3]，以及解決復雜工程問題能力[4-6]。但是，由于課程內容抽象、知識點多，學生在學習過程中往往不能將計算方法和有限元思路有機結合，不熟悉有限元的基本方法和手段，難以將理論知識應用于實際問題[7-8]。我們對“工程有限元與數值計算”的實驗教學進行了改革，建立了工程案例驅動的四層次實驗教學體系。以下對改革思路和改革實踐進行介紹。

1 四層次實驗教學改革思路和實驗教學體系

“工程有限元與數值計算”實驗教學的改革思路如圖1所示。實驗教學是課堂教學與實踐之間的橋梁[9]，針對有限元課程難點，我們在實驗教學環節設立了四層次實驗教學體系，同時結合學生課外實踐項目開設了自主選題環節，讓學生在實踐中理解有限元精髓，學會使用有限元分析的方法。

圖1 “工程有限元與數值計算”實驗教學改革思路

四層次實驗教學體系是指，根據課程教學要求、實驗教學定位，以及學生的能力、興趣[10-12]和對有限元知識的掌握程度，將實驗分為四個層次：MATLAB上機實驗、ANSYS基礎性實驗、綜合性實驗以及自主選題開放上機實驗。其中，MATLAB上機實驗和ANSYS基礎性實驗旨在幫助學生理解有限元理論知識，包括理解不同單元、不同節點劃分對計算結果的影響，從而理解有限元中單剛陣、總剛陣的含義[13]；在綜合性實驗中引入實際工程案例，即將工程對象小型化，旨在培養學生利用有限元方法解決工程問題的能力[14]；在自主選題開放上機實驗中，要求學生自主選擇案例，例如針對CDIO項目、全國大學生機械產品數字化設計大賽、機器人大賽等競賽中遇到的問題等，旨在培養學生發現問題、分析問題及解決問題的能力[15]。

“工程有限元與數值計算”的實驗教學體系如圖2所示。其中，MATLAB上機實驗2學時、ANSYS基礎性實驗為每個實驗2學時，綜合性實驗8學時，開放性實驗4學時，均為必做實驗。

圖2 “工程有限元與數值計算”四層次實驗教學體系

2 四層次實驗教學體系的具體實踐

近三年來，對“工程有限元與數值計算”四層次實驗教學體系進行了初步實踐，取得了較好的成效。

2.1 MATLAB上機實驗

要求學生參考課本例題對三桿桁架進行受力分析，如圖3所示。桁架參數如表1所示。

首先將該結構劃分為3個節點及3個桿件單元，根據桿件的要求構建每個單元的單剛陣，再根據節點及單元之間的關系建立總剛陣，然后根據節點的固定方式及受力情況確定每一個節點的約束條件，引入數值計算方法并對矩陣求解，得到各節點的受力數據，為進一步的應力分析做好準備。學生在求解過程中，可以先通過 MATLAB求出節點位移，對此求解結果進行進一步分析，可以得出各個桿件的受力情況。

通過 MATLAB編程，學生能夠了解數值計算與有限元之間的關系，以及有限元求解的基本步驟，從而為后續實驗打下基礎。

圖3 MATLAB上機例題

表1 桁架參數

2.2 ANSYS基礎性實驗

ANSYS基礎性實驗包括經典 ANSYS分析和Workbench使用，有兩次上機過程。其中，第一次上機采用經典 ANSYS界面針對典型的桿、梁單元進行分析；第二次上機則包括ANSYS Workbench的使用，主要針對汽車驅動橋橋殼等進行分析，從而理解等參元等概念。ANSYS基礎性實驗上機步驟如圖4所示。

在有限元上機中，可以引入常見的機械結構，如圖5所示的龍門結構，通過軟件上機流程，可對結構位移和受力變化情況進行分析，并可直觀看到分析結果（見圖5(b)）。在這個過程中，學生能夠理解和掌握有限元的結構離散、單元矩陣、節點位移等在軟件分析中的應用。

圖4 ANSYS基礎性實驗上機步驟

在Workbench上機中，引入對減速器軸剛度和強度的分析。單級減速器從動軸的二維零件圖如圖 6(a)所示。通過分析可以看到（見圖 6(a)、(b)和(c)），最大應力為70 MPa，小于許用應力105 MPa，因此結構設計合理。通過 ANSYS基礎性實驗，能夠使學生理解有限元在實際中的應用，并掌握有限元的分析過程。

2.3 綜合性實驗

綜合性實驗由科研項目轉化而來，實驗對象為工程實際中的蒸壓釜開門結構簡化模型，要求學生首先采用材料力學知識對簡化結構進行應力計算；再對結構進行測繪建模，建立有限元模型并進行有限元分析，進而搭建應力應變測試實驗系統進行應力應變測試；最后進行綜合分析，對比理論計算結果、測試結果與有限元分析結果，提出結構優化建議并進行有限元計算。有限元綜合性實驗流程如圖7所示。

在實驗過程中，利用理論知識對結構進行受力分析，能夠使學生基本掌握結構的應力分布；將工程實際結構轉化為有限元模型，再利用有限元軟件ANSYS Workbench進行有限元仿真，能夠幫助學生理解有限元的本質，掌握有限元的分析方法。此外，學生可以掌握多種綜合實驗能力，鍛煉工程實踐能力，培養分析問題、解決問題的系統性思維能力，提升解決復雜工程問題能力、自我學習能力和團隊合作能力。

圖5 經典有限元分析案例

圖6 Workbench分析案例

圖7 有限元綜合性實驗流程

2.4 自主選題的開放實驗

在自主選題環節，學生可以針對自己的CDIO項目或所參加的科技競賽的內容等進行有限元分析，旨在引導學生對結構進行改進，提高作品的可靠性。

1）與CDIO項目相結合。

我校機械工程學院大三開設了機械創新設計CDIO課程，該課程為必修課程，要求學生制作或設計一款實物。在上機實驗環節，學生對自己CDIO課題中的結構進行分析，以問題驅動方式提升學習積極性。例如，學生通過對CDIO項目中設計的機械手爪進行應力分析，找出了機械手爪抖動的原因，將結構改成雙層機械手爪，降低了手爪末端的應變，滿足了應變要求，如圖8所示。學生用3D打印制作完成了機械手爪，實驗驗證表明，該手爪成功實現了夾取功能。

圖8 單片機控制的氣動機械手優化分析結果

2）與競賽相結合。

在科技競賽中，為了保證作品的可靠性，學生也積極采用有限元方法對作品進行分析。全國大學生機械產品數字化設計大賽的流程是項目調研、方案設計、結構設計、產品優化以及項目答辯。學生在結構設計和產品優化環節進行有限元分析，能使作品具有更高的可靠性。

我校學生 2018年全國大學生機械產品數字化設計大賽特等獎作品“網球大師發球裝置”利用了對轉雙輪原理，其中輪子采用塑料結構，是本設計中的重要部件。采用有限元對該部件進行應力分析（見圖9），以保證設計的穩定可靠。

圖9 摩擦輪計算結果

3 實驗教學方法

3.1 實驗環節設置

根據各有限元實驗不同的目標定位，設置了不同的實驗環節。

（1）MATLAB上機及ANSYS基礎實驗。在教師指導下，學生按照實驗指導書上的實驗步驟完成實驗。這些實驗為必做實驗，難度較低，通過實驗學生可以定性地了解有限元方法的相關基礎知識。

（2）綜合實驗。該實驗具有一定的探索性，共分為五步。一是預習：查閱教師提供的有限元分析資料，采用材料力學方法計算應力，查閱傳感器測量電路和軟件操作，并進行小組分工；二是講解：由教師講解應力應變測量方式、應力計算方法及有限元模型建立方法等；三是討論答疑：學生對不理解的內容進行提問，教師現場解答學生問題；四是實驗操作：學生根據提供的不同砝碼、測量環節等進行測試，利用三維軟件建立模型，利用Workbench軟件及建好的模型進行靜力學分析和結構優化分析；五是總結和撰寫報告：將理論分析與實物測試結果進行對比，判斷有限元計算結果與實物測試結果之間的差別，分析有限元計算過程中的影響因素。

（3）開放實驗。該實驗分為三步。一是提煉問題：根據學生的CDIO項目或參賽項目分析機構或零件的薄弱環節并選擇所需要的分析類型；二是問題分析：根據使用場景、分析對象對模型進行分析，對設計結構進行改進，或進行材料選擇等；三是實物分析：在有條件的情況下，要求學生對制作出來的模型實物進行測試，并與分析結果進行對比。

3.2 實驗考核

實驗考核按照OBE原則，對學生每一部分的實驗結果進行定量評分。每部分采用百分制，隨后按比例折合，其中，MATLAB上機實驗和ANSYS基礎性實驗占比為 30%，綜合性實驗占 50%，開放性實驗占20%。三類實驗考核評價量規表如表2、表3和表4。

表2 MATLAB和ANSYS實驗考核評價量規表

表3 綜合性實驗考核評價量規表

表4 開放性實驗考核評價量規表

4 結語

“工程有限元與數值計算”是一門與實際結合緊密、但又比較抽象的課程，通過實驗教學可以幫助學生掌握和加深理解課程知識。MATLAB和ANSYS實驗注重理解有限元的基本概念和基本方法；綜合性實驗注重運用有限元方法分析、解決問題，在理論與實物之間建立橋梁；創新性實驗注重將有限元分析應用到實際的機械對象上。通過構建四層次有限元實驗教學體系，克服了現有實驗模式的不足，改進了實驗教學方法和組織管理，使實驗教學體系得到完善。其中，對不同層次實驗的考評標準進行了詳細規定，使實驗考核得以過程化、具體化，收到了良好的教學效果。