建模思想在小學數學教學中的運用

周堅強

比較中外小學數學教育發現，我國的小學數學教學大都側重于學生計算能力的培養，而在學生應用能力的培養上面則顯得較為薄弱。因此，《義務教育數學課程標準》不斷改版，逐漸開始出現“模型思想”等詞匯。模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部聯系的基本途徑。

一、充分感知，積累表象，培養建模基礎

數學模型所注意的對象是大多數都具有共性的一類事物。所以，教師要先給學生提供豐富的感性材料，盡量多地讓學生從各個方面去了解事物間的各種關系，從而達到對這類事物全面認識的效果，也為數學模型的正確建立奠定必要的基礎。

比如，“湊十法”這個數學模型的建立過程便是一個持續感知和累積的過程。首先，通過9加一位數的教學，讓學生基本掌握“湊十”的思路和方法，并且引導他們運用不同的方法計算。最后，在進行8、7、6、5加一位數的教學時，要鼓勵學生采用自己最擅長的方法進行計算。讓學生通過觀察、比較、探索、推理等過程，體會到“湊十法”的本質，為建立“湊十法”數學模型打下牢固的基礎，做好充足的準備。

又如，在“割草”問題中，花園公司老板為了選擇優秀員工，獲取了一些員工的部分工作資料作為參考。老板有這些員工在去年12月、今年1月和2月的工作信息，包括每位員工每月的工作時間、除草量、銷售其他產品的銷售額以及每月駕駛除草機的公里數。草坪有三種不同大小的規模，還有其他因素影響。在這個過程中，學生就開始充分感知問題，積累表象。首先，學生們都會不由自主地去觀察所提供的信息，從信息中獲取一些重要的資料。在這個過程中讓學生分組討論，建模過程本身就是一個小組合作學習的過程，它需要具備一定的生活經驗和一些數學知識。有的學生認為一項或幾項表現出色的人就應該被選上。如，有的學生認為趙平應當被選上，因為他的工作時間最長，每月駕駛割草機的公里數也較高，錢賺得也不少……這個想法符合大多數學生的想法。

與此同時，也有部分學生從其他角度分析。例如，有學生從專長的角度來選擇，孫新最適合銷售，因為他的銷售業績高;錢進更適合割小草坪，等等。因為缺少更多信息，學生就用自己的生活經驗去猜測，彌補這些信息。選專門從事某一項自己最專長的工作，如公司主要以除草為主，所以選有除草專長的員工，等等。還有的學生考慮了根據工作任務的重要程度來決定選誰。

在這個階段，學生們各抒己見，因為沒有明確的方法去解決這個問題，學生的思維都局限于過去的學習經驗。從這個方面分析，因為小學生從數學知識的儲備和生活經驗上來說，都是有局限的，他們只能從已知條件中獲得一些有限的信息。

二、組織躍進，抽象本質，完成模型構建

將實際問題抽象成數學模型，是數學教學的任務之一。但詳細生動的數學課堂情境僅僅是為建立數學模型提供了可能，若是忽略了從具體到概括的巧妙過渡，這樣的過程就稱不上是數學模型構建了。

比如“平行與相交”的問題。只讓學生感知路燈、操場跑道、電線桿上的電線、門的左右兩條邊、課桌的桌角、練習本的橫線等例子，而沒有透過現象看本質的過程。當學生從實例中提煉出“平行線”這個數學模型時，展現在大家面前的肯定是那些各種各樣的具體的實物，而不是我們想要他們得到的那些具備概括意義的數學模型。“平行”這個問題的實質就是“在同一平面，使兩條直線之間的距離始終保持不變，這樣的兩條直線稱之為平行”。教師應該把學生注意到的重點從實例變為“平行”問題的實質，讓學生感受到質的飛躍的學習過程。在這一過程中，教師應引導學生通過比較、分析、歸納等一系列的思維活動并從中提取出本質，揭示該對象的本質特征。

在“割草”問題中，學生會在討論的過程中逐漸發現需要計算平均數。根據學生對問題的理解，有的學生從感性的角度去分析，有的學生從理性的角度去分析。這沒有誰對誰錯，只要言之有理，能讓他人信服即可。顯然從感性的角度去分析該問題的學生很難拿出讓別人信服的證據，最終討論出一個合理的假設，進行建模。

有學生想到要將這個過程數學化，并對同組學生的觀點提出了質疑。這個過程雖然像個辯論會，但在這個過程中，實際上是一次思維的碰撞。最終學生們根據自己的經驗和數學知識，做出了用“平均數”模型來解決問題的假設。

三、重視思想，提煉方法，優化建模過程

無論是概念的建立、規律的探索，還是問題的解決，核心問題都在于數學思維方法的建立。在學生討論的過程中，自然而然地就會從實際問題過渡到數學問題。不是必要情況下，教師不要發表自己的觀點，讓學生去爭論。只有這樣，才能使他們對建模感受更深刻、對建模更感興趣。

比如，在“圓的周長”的課堂教學中，在建立“周長公式”數學模型時，要重點突出該模型相對應的“數學思想方法”的建模過程。一是轉化思想，就是將未知的轉變為已知的，這與過去的知識學習經驗相同;二是“化曲為直”思想，該思想是對其他思想的提煉與概括，能夠促進數學模型的建立。

在“割草”問題中，最重要的方法就是運用平均數的知識，幫助解決問題。在逐步討論中，開始有學生通過尋找數據中的各種關系或者是趨勢，來確定選擇哪個員工。如有的學生想到了除草量與工作時間之間的關系，應該選除草量大但工作時間短的員工。有學生認為，應該選擇那種用時少，賺錢多的員工。但是也出現了其他想法，有學生認為，如果給員工更多的工作時間，他們可以賺更多的錢。還有的組把時間用在考慮工作時間和賺錢的關系上。最終，通過學生的激烈討論，得出了一個能讓大多數人信服的結論，就是用比率（駕駛公里數/每小時）來進行建模。

四、回歸生活，變換情境，拓展模型外延

人類的認知過程是從感性認識到理性認識的周而復始、螺旋上升的過程。從實際的問題體驗概括提取，初步建立起對應的數學模型，并非學生認知的結束，還要讓學生將數學模型還原實際問題，使得已經建成的數學模型繼續擴大和升級。

比如，作為一個初步建立的“雞兔同籠”數學模型，它是通過“雞”和“兔子”來研究和解決問題而建立的模型。但是，在建立模型的過程中不能將所有類似的東西耗盡，教師應引導學生繼續擴大調查范圍并分析在不同情況下該模型的穩定性。可以列舉“某班出游劃船，全班共有24人，已知大船坐6人，小船坐4人，該班一共租了5條船，請問大船、小船各租了幾條？”“在數學競賽中，答對一題得10分，答錯一題扣5分，滿分為100分，已知甲學生一共得了85分，請問他答對了幾道題、答錯了幾道題？”等幾個問題供學生研究，使模型不斷豐富和擴展。

又如，“割草”問題模型，可以使用在其他關于平均數的問題模型中。如，算平均人數、平均增長率等。在生活中，有很多實際問題都會用到平均數的知識，只要教師善于發現、歸納、總結，將這些問題收集起來，在教學平均數的時候就可以拿出來加以設計，成為教學實例。

模型思想在小學課堂中的運用，有利于培養學生的建模意識和能力。數學建模可能更適合在數學活動課上進行，讓學生大膽發表自己的想法，有助于培養學生分析問題的能力、模型思想、應用能力，學生的能力會在建模的過程中得到發展。

（作者單位：江蘇省南通市北城小學）

（責任編輯 曉寒）