數(shù)學(xué)建模：讓學(xué)習(xí)向深處發(fā)生

鐘斌鼎

【摘要】本文結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，以“植樹問題”這一經(jīng)典案例的教學(xué)為例，從學(xué)生的實(shí)際生活中提煉模型，讓學(xué)生充分經(jīng)歷與感受建模的過程，并引導(dǎo)他們將所建模型最終運(yùn)用到實(shí)踐中去，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);建模思想;植樹問題

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：0493-2099（2020）23-0143-02

Mathematical modeling：let learning happen deeper

——Taking the"Planting Tree Problem"in the Fifth Grade Book of the People's Education Edition as an Example to Explore the Construction of a Mathematical Model

（Teacher Training School，Changting County，Longyan City，F(xiàn)ujian Province，China）ZHONG Binding

【Abstract】This article combines the teaching practice of mathematics with the teaching of the classic case of"tree planting problem"as an example to extract models from students'actual lives，let students fully experience and feel the process of modeling，and guide them to finally apply the built models to In practice，improve stu‐dents'mathematics learning ability.

【Keywords】Primary school mathematics;Modeling ideas;Tree planting problems

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

小學(xué)生的思維特點(diǎn)主要以感性思維為主，其能夠理解的數(shù)學(xué)知識(shí)是建立在現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)之上的，是以過往知識(shí)作為基礎(chǔ)的一種認(rèn)知?dú)v程。所以，在教學(xué)片段中，將教材內(nèi)容以學(xué)生熟悉的“手指指間間隔現(xiàn)象”呈現(xiàn)，再通過列舉生活中存在的間隔現(xiàn)象，讓學(xué)生初步感受到親切、真實(shí)、有趣的數(shù)學(xué)模型，感知數(shù)學(xué)模型的存在。

二、提煉信息，抽象模型

出示練習(xí)1：一條長(zhǎng)為20米的路，5米一段，可以分為幾段？1.學(xué)生獨(dú)立解題，教師了解學(xué)生的解題情況。2.學(xué)生匯報(bào)解題思路。讓學(xué)生在問題解答中抽象出“包含除法”模型，即：總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)。因?yàn)椤爸矘鋯栴}”模型就是“包含除法”模型的拓展，“植樹問題”中的“樹”是植在“段”對(duì)應(yīng)的“點(diǎn)”上。明白了這一點(diǎn)，就為學(xué)生構(gòu)建點(diǎn)段關(guān)系的“植樹問題”模型奠定了基礎(chǔ)。

出示練習(xí)2：一條公路長(zhǎng)為20米，在其一側(cè)植樹，樹與樹的間隔為5米，公路的兩邊均植樹，請(qǐng)問一共需要植多少棵樹？1.學(xué)生讀題審題，提取有關(guān)“植樹”模型的數(shù)學(xué)信息。2.學(xué)生反饋。學(xué)生1：公路長(zhǎng)是多少米？20米（總量）。學(xué)生2：每隔多少米植一棵？5（每份數(shù)）。學(xué)生3：有幾段？4（份數(shù)）。學(xué)生4：植樹的要求？（兩端都植）。學(xué)生5：一共要植多少棵？（算一共有幾個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)？）。數(shù)學(xué)問題與人們的生活密不可分，又充滿著無窮趣味。以上的習(xí)題設(shè)計(jì)，最重要的一個(gè)目的就是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)中的植樹問題，“樹”與“間隔”可以抽象為數(shù)學(xué)模型中的“點(diǎn)”和“段”。

三、嘗試探索，建立模型

對(duì)“練習(xí)2”作進(jìn)一步分析、歸納。教師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考公路的總長(zhǎng)、間隔距離以及段數(shù)三者之間的關(guān)系，并畫出相應(yīng)的植樹方案示意圖。學(xué)生：總長(zhǎng)÷間隔距離=間隔數(shù)（段數(shù)）。教師：說說你是怎么想的？那要求出植樹的棵數(shù)該怎么算？學(xué)生：先求出間隔數(shù)，即：20÷5=4（個(gè)）。這道練習(xí)題，每一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)了一棵樹，則需要4棵樹。4棵樹植完之后，發(fā)現(xiàn)還有一棵樹沒有間隔與之對(duì)應(yīng)，則棵數(shù)比間隔多1。這樣，在進(jìn)行棵數(shù)計(jì)算時(shí)，需要用相應(yīng)的間隔數(shù)加1。教師：那怎么列式計(jì)算呢？學(xué)生：20÷5=4（個(gè)）;4+1=5（棵）。小學(xué)生無論是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)還是思維水平，都相當(dāng)有限，所以教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷并感知觀察、分析、實(shí)踐、推理、解決問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的全過程。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生在畫示意圖中了解植樹的過程，建立“段”“點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生體會(huì)到了從生活原型轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型的過程與方法，也在此過程中掌握了問題解決的方式方法，為后續(xù)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)打下了基礎(chǔ)。

四、歸納分析，驗(yàn)證模型

出示練習(xí)3：公路全長(zhǎng)為20米，在其一側(cè)進(jìn)行植樹，每隔5米1棵樹，則可以怎樣植樹，植多少棵樹？教師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)以上問題，畫出相應(yīng)的示意圖，并列出算式進(jìn)行計(jì)算，可以植幾棵樹。學(xué)生1：我植的是5棵。學(xué)生2：我植的是4棵。學(xué)生3：我植的是3棵。教師：為什么同一個(gè)題目，同學(xué)們會(huì)得出不同的結(jié)果呢？學(xué)生通過交流和討論得出：在植樹的過程中，如果植樹的要求不同，則即使其他條件一樣，所植棵樹也是不同的。植5棵樹，是因?yàn)樵诠返膬啥硕加兄矘?植4棵樹，是因?yàn)橹辉诠返囊欢酥矘?植3棵樹，則是因?yàn)樵诠返膬啥司粗矘洹＝處煟赫?qǐng)同學(xué)們分別列出三種植樹方法的算式。學(xué)生：兩端都植，20÷5=4，4+1=5。一端植，20÷5=4。兩端都不植，20÷5=4，4-1=3。教師：同學(xué)們請(qǐng)仔細(xì)思考以上三種情況，看看其中蘊(yùn)含了什么規(guī)律？學(xué)生：兩端都植，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。一端植，棵數(shù)=間隔數(shù)。兩端均不植，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生認(rèn)為，對(duì)于教材中所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)公式、定理等，學(xué)生僅記住結(jié)論是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的是要明確其從何而來，知其然并知其所以然。所以，教師讓學(xué)生在模型構(gòu)建的過程中發(fā)現(xiàn)植樹的三種情況，并且掌握這三種植樹方法的計(jì)算道理，從中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。出示例題：一條山間小路長(zhǎng)為100米，現(xiàn)決定在靠近山的一側(cè)植樹，每棵樹的間隔距離為5米，路的兩端都需要植，需要多少棵樹？教師：根據(jù)剛才已經(jīng)掌握的三種植樹的極端方法，我們能快速地解決這道題嗎？學(xué)生：先求出間隔數(shù)，100÷5=20，有20個(gè)間隔;兩端都植，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。列式計(jì)算：100÷5=20（個(gè)），20+1=21（棵）。

課堂教學(xué)中，為保證學(xué)生良好的學(xué)習(xí)效果，教師要注重課堂教學(xué)的“留白”，給予學(xué)生充足的思考時(shí)間，并引導(dǎo)他們利用已經(jīng)掌握的知識(shí)去解決新的問題，尋找科學(xué)的解題辦法，使學(xué)生明白“植樹問題”就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其本質(zhì)就是一一對(duì)應(yīng)。

五、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用模型

出示練習(xí)4：一圓形花壇周長(zhǎng)為30米，現(xiàn)要在花壇周圍種一圈月季，為控制好月季的密度，每5米種一棵，一共需要多少棵月季？教師：想一想，這又是屬于哪一種植樹方式？學(xué)生：假如把環(huán)形植樹的線路拉直，這一種植樹方式就是屬于一端植的現(xiàn)象，所以，植樹的棵數(shù)=間隔數(shù)，即：30÷5=6（棵）。出示練習(xí)5：為迎接國(guó)慶節(jié)的到來，古城墻的正面共插了50面小彩旗，彩旗之間的間隔均為4米，則古城墻長(zhǎng)度為多少？教師：以小組為單位，討論以上問題的解決思路、方法與步驟。學(xué)生1：即已知棵樹與間距，求總長(zhǎng)。學(xué)生2：兩端都植的計(jì)算方法是“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，由“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”推算出“間隔數(shù)=棵數(shù)-1”，所以，古城墻插彩旗間的間隔數(shù)是“50-1=49個(gè)”。學(xué)生3：總長(zhǎng)=間隔數(shù)×間隔距離。列式計(jì)算：（50-1）×4=196（米）。

數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，最終也將運(yùn)用于生活，數(shù)學(xué)建模思想的宗旨也是要最終回歸到生活之中，引導(dǎo)學(xué)生解決生活中遇到的實(shí)際問題。從而實(shí)現(xiàn)從解決一個(gè)問題到解決一類問題（一般問題）的轉(zhuǎn)變，認(rèn)識(shí)到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的重要性。

六、結(jié)語(yǔ)

綜上，小學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)建模仍處于探索階段，教師要善于挖掘?qū)W生的建模潛能，關(guān)注學(xué)生的建模過程，并在關(guān)鍵問題上及時(shí)給予學(xué)生點(diǎn)撥與幫助，創(chuàng)設(shè)真實(shí)有效的建模情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷并感受建模的過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向深處發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉曉棠.基于數(shù)學(xué)建模的小學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].重慶師范大學(xué)，2017.

（責(zé)任編輯 袁霜）