黃金分割測量尺的制作與應用

摘? 要 陶行知先生提出“教學做合一”，認為“教”與“學”都應該建立在“做”的基礎之上，而教學工具是輔助學生操作學習的重要物質基礎。以黃金分割測量尺為例，探討此種教具的制作與應用方法。

關鍵詞 高中數學;黃金分割測量尺;教具;實驗工具

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）05-0123-03

1 前言

數學是高中階段的一門重要學科。由于數學知識具有一定的抽象性、邏輯性，單純對學生進行灌輸說教，學生難免會感到困惑與困難。蘇霍姆林斯基曾經說過：“學生的智慧就在他們的指尖上。”這表明“做”是開啟智慧大門的鑰匙，可改變“高耗低效”的高中數學教學現狀。顯然，黃金分割測量尺的運用是符合“做中學”教學理念的，值得對其進行深入的探索研究。

2 高中數學黃金分割測量尺介紹

黃金分割測量尺是為黃金分割知識學習量身定做的實驗工具，對幫助學生了解認識黃金比、黃金矩形等知識具有重要意義。同時可以幫助學生從中認識理解線段的比和成比例的線段，進而幫助學生構建數學與現實生活之間的聯系。在高中數學中有很多幾何知識的學習，在教學中利用黃金分割測量尺這一實驗工具具有重要的現實意義。

1）有助于學生學習興趣的激發。長久以來，由于受到傳統教學思想影響，很多教師習慣于在高中數學教學中對學生進行填鴨灌輸教學，使得課堂教學氣氛沉悶。而黃金分割測量尺的運用，為學生動手學習知識創造了機會，無疑是有助于調動激發學生學習興趣的[1]。

2）可更好地讓學生領略認識幾何之美，培養學生的數學思維品質。借助黃金分割測量尺，學生可運用黃金分割進行優化設計，更好地感受幾何之美，并在研究幾何美的同時挖掘背后的數字密碼，是數學思維品質提升的重要手段。

3 高中數學黃金分割測量尺的制作

黃金分割測量尺制作方法簡單，使用的主要材料是小木條和螺釘，教師可以結合教學需要，針對性地帶領學生進行制作。筆者結合過往的教學經驗，介紹一種工序簡單、易于學生動手操作的黃金分割測量尺。此黃金分割測量尺的制作利用了平行四邊形不穩定的特點，具體制作步驟如下。

1）取兩根小木條，分別標注為木條AB和木條CD，然后使用量尺進行測量，找出兩根木條的黃金分割點，分別設置為E、F，具體如圖1所示。

2）使用螺釘將兩根木條的端點A和C進行固定（圖2），再取一根與EB、FD長度相同的木條HG，并將其固定在F點上，新的結合點標記為H（圖3）。

3）取一根與木條AE、AF長度相等的木條MN，并使用螺釘將其固定在端點E上，形成新的結合點M;將另一端點N與木條FG上的P點進行連接，形成新的結合點N，使木條EP與木條FP相等，具體如圖4所示。考慮到黃金分割測量尺的精度比較差，因此在制作結束后，在條件允許的情況下，可以使用數控機床對制作的黃金分割測量尺進行精細加工，具體如圖5所示。

此黃金分割測量尺在使用過程中，可根據被測量物品的長度進行變化旋轉和伸縮，如圖6所示。使用該實驗工具時，三個齒B、G、D會因平行四邊性的不穩定性而發生長度的變化，但無論怎樣變化，DG/BG=AE/EB=-1/2的比例關系是不會發生任何變化的。且B、G、D總是在一條直線上運動，這樣就可以將黃金分割比例傳遞到測量的另一端，從而為黃金分割比例測量提供保障。在高中數學教學中，此黃金分割測量尺是最為常見，也是應用范圍最廣的一種，教師有必要帶領學生掌握其制作方法。

4 高中數學黃金分割測量尺的應用

使用黃金分割測量尺觀察? 一直以來，很多學生對學習高中數學知識的印象就是抽象、枯燥，而事實并非如此，數學知識也是充滿美感的。在教學過程中，教師若能帶領學生領略發現數學幾何的美感，一定可以較好地激發調動學生的學習興趣，重燃學生學習數學知識的渴望和熱情，而這就可以突破以往教學的瓶頸和弊端。黃金分割測量尺就是讓學生發現數學幾何之美的重要工具。

在高中數學教學過程中，教師可以引領學生走入生活，使用黃金分割測量尺進行測量和觀察，挖掘生活之中的黃金比例。教師可以引導學生使用黃金分割測量尺對圖片和生活中的實際物品進行測量，學生就會發現生活之中到處隱藏著黃金比例。正是因為有了黃金比例，建筑造型才更加美麗，物品使用才更加便利。而當學生有了這樣的認識，他們會對數學產生濃厚的探索興趣。正所謂“知之者不如樂之者”，憑借興趣的引領，學生會更積極地學習數學知識。

使用黃金分割測量尺作圖? 在高中階段的數學學習中會涉及很多與畫圖有關的知識，若不借助任何工具，單一靠手動做圖，難免會有所失誤，容易出現作圖不準確的問題。黃金分割測量尺的使用，可以幫助學生避免這些失誤，畫出更加標準的圖形。例如，學生可以使用黃金分割測量尺作黃金矩形、黃金三角形等。以黃金矩形為例，筆者對使用黃金分割測量尺的畫圖方法進行具體闡述。

1）將黃金分割測量尺打開（圖7），然后畫任意一條射線OP，其中O是圓心點，BC為該圓的半徑;在射線OP上截取一點M，確保OM=BC，具體如圖8所示。

2）過O作OP的垂線OQ，同時以O為圓心，以圖7中的AB長為半徑，在OQ上截取點N，并確保ON=AB，具體如圖9和圖10所示。然后就會獲得如圖11所示的矩形ONEM，而這就是一個黃金矩形。依照這樣的方法，教師還可以引導學生使用黃金分割測量尺作出黃金三角形圖形，而借助黃金分割測量尺所做出的圖形顯然是更加標準的[2]。

利用黃金分割測量尺解題? 在高中數學教學過程中，對于一些特定的數學問題，教師可以引導學生使用黃金分割測量尺解題，不僅可以提升學生解題的速度，還可以更好地保障學生解題的準確性。筆者以這樣的問題為例：

令線段存在美感的是黃金分割點，那么在平面之中是否也存在黃金分割線呢？若存在，是否能夠類比黃金分割點對黃金分割線作出定義并了解相關應用？

對于這一問題，教師可以引導學生使用黃金分割測量尺進行研究探索。在筆者執教的班級之中，就有學生給出了這樣的答案：如圖12所示，AB是已知的線段，使用黃金分割測量尺在線段AB上作正方形ABCD，并通過黃金分割測量尺的應用，在AD上取中點E，將EB連接在一起，并延長DA至F，這樣EF就與EB相等;再以AF為邊，使用黃金分割測量尺作正方形AFGH，這樣所獲得的點H就是線段AB的黃金分割點。

由這個例子可以看出，在高中數學學習過程中，學生是可以借助黃金分割測量尺解題的。黃金分割測量尺的使用拓寬了學生的解題思路，促使學生的解題能力得到更好的提升，彰顯出黃金分割測量尺在高中數學教學中的應用價值。

5 高中數學黃金分割測量尺的相關思考

筆者以黃金分割測量尺的制作應用為例，進行了相關研究，而通過對黃金分割測量尺的研究，也從中獲得一定的教學體會和認識，具體可總結為以下兩點。

課堂是實驗工具制作的發源地? 在教學改革不斷推進的過程中，高中數學課堂發生巨大改變，越來越多的具有趣味性、操作性和科學性的教學實驗工具進入課堂，為高中數學教學注入無限的生機和活力，而這些教具的制作無不源自課堂實踐，課堂是教學工具制作的發源地。以黃金分割測量尺教學制作為例，該實驗工具制作的初衷，就是為了彌補傳統教學重傳授、輕過程的不足，可以讓學生在自主操作的過程中發現物質尺寸變化中所蘊含的比例關系，增強知識學習的代入感，促使學生的知識探索興趣得到更好的調動和激發。由此可以看出，實驗教學工具的制作要著眼于課堂實踐和學生的問題解決，有效的教學工具制作必須要體現課程價值，注重課程資源的挖掘和利用，確保學生的學習能力得到提升。因此，在今后的教學中，實驗工具的制作與運用必須要將課堂作為發源地，教師要強化對課堂教學的實踐和反思。

生活是實驗工具使用的歸宿地? 著名教育家陶行知先生曾經說過“生活即教育”“生活即學校”。在教學中，教師一定要認識到數學與生活之間是共通聯系的，生活是實驗工具使用的歸宿地。在實踐教學過程中，只有以學生的生活經驗為基礎，才能實現良好的教學效果。以黃金分割測量尺教學使用為例，當教師將這把尺用作畫圖工具時，黃金分割測量尺所產生的價值其實就已經超脫出了課堂。教師可以借此引導學生進一步思考和改良，從而使黃金分割測量尺成為生活的應用工具，這無疑可以更好地培養與發展學生的數學思維。如通過改變黃金分割測量尺的材料、螺釘的位置、木條的形狀及朝向等，可以將其改良為兼具測量和度量兩種功能的尺子，從而為生活提供服務和便利，這樣黃金分割測量尺將更具價值。

6 結語

教具是支持以“做”為架構的“教”“學”的重要一環。在高中數學教學中，教師帶領學生制作并應用教具，可使數學課堂更具趣味，加深學生對知識原理的本質認識。在本課題研究過程中，以黃金分割測量尺為例，闡述了教具制作和應用的方法，希望通過本課題研究能夠為教師同仁提供借鑒啟示，讓更多的學生從中受益。

參考文獻

[1]惠宇.重視滲透數學文化 培養學生數學素養：以知識點“黃金分割”為例[J].中學教研：數學，2019（10）：30-33.

[2]冉彥.實驗工具“黃金分割測量尺”的制作與應用[J].中學數學教學參考，2019（14）：63-65.

作者：王海燕，鄒平市長山中學（256206）。