HPM微課在初中數學教學中的實踐研究

王亮 王書榮

摘? 要 研究通過微課將數學史教學資源滲透進課堂教學，通過數學史教學激發學生的數學學習興趣，拓展其數學思維。

關鍵詞 HPM;微課;初中數學;數學史;核心素養

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）05-0115-03

1 前言

新課程標準下的初中數學教學，提出了核心素養模式下的教學理念，其中就包括數學史知識的學習。在日常教學中，由于教學任務繁重和應試教學目標的影響，數學史資源沒有很好地在初中數學教學中展開。教材中對數學史知識的陳述，大都是通過拓展閱讀材料來呈現，不僅學生很容易忽視，就連教師也只要求學生課后自己閱讀。大段的文字敘述，對于理解能力較弱的初中生來說具有一定困難。探索數學史呈現的方式，成為新課改背景下初中數學教學的一大任務。

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，意思是數學史和數學教學的融合。HPM微課是將數學史和微課融合，以數學史為主線，結合數學知識制作微課，通過簡短的微課為學生呈現數學知識的發現過程，激發學生學習數學知識的興趣。在新知識的學習過程中，以數學史作為輔助學生學習的載體，能夠培養學生的探究能力[1]。

2 HPM微課在初中數學教學中應用的意義

化枯燥為形象? 初中數學教材所呈現的文本式數學史知識，讓學生感到枯燥無味，而教師由于教學時間緊張，很少會有意識地為學生講解數學史知識。數學史是一部數學發展的歷史。如果通過微課視頻將數學史呈現給學生，教師在課堂上通過播放數學史來向學生講解數學知識，生動和趣味的數學史故事很快就能夠激發學生的學習興趣。同時，科學家的探索歷程也能夠調動學生的思維，讓學生按照科學家的思路去學習新知識。比如關于笛卡爾發明直角坐標系的數學史：

笛卡爾一天臥病在床，思考怎樣將直觀的幾何知識和抽象的代數概念相融合。直到他發現一只蜘蛛在墻角，上下左右跳動著織網，于是產生靈感：是否可以以墻面為參照物來表示蜘蛛的位置？隨后他結合兩條垂直的墻線發明了直角坐標系，通過幾何坐標將平面上任意位置表示出來。

學生發現原來蜘蛛網也是數學知識發現的源泉，生動形象的數學史瞬間激發了學習興趣。

從課堂點綴到主動學習? 傳統課堂上數學史只是作為課堂點綴的內容，教師通過圖片或者口頭向學生介紹數學家的簡介和精神品質。但是在學生眼中，數學史就是課外知識，很少會有學生認真對待。HPM微課將知識教學和數學史相結合，在課前導入、課中教學、課后拓展中融合知識與數學史，同時可以以數學史作為新知識呈現的載體。

如在講授“一元一次方程”時，教師可以將《九章算術》中的“盈不足術”內容展示給學生。其中有一個關于一元一次方程的題目情境：今日有人買羊，人出五，不足四十五;人出七，不足三。要求學生求出人的數量和羊的價格分別為多少？本題和教學內容緊密相連，在新課授課的過程中，教師可以將數學史作為新知識分析的過程，引導學生通過分析歷史資料，對其中的數學問題進行深入研究，在教師的指點下理解知識。因此，數學史成為新知識的載體，是新課教學的重要部分，不再是課堂點綴內容，引起學生對數學史的重視。

在課后拓展中向學生呈現數學史知識，將數學史作為課后學習任務，要求學生在小組學習過程中通過數學史自主鞏固復習，更進一步地體現了數學史價值，讓數學史成為引導學生課后學習的途徑。

3 HPM微課在初中數學教學中的實踐研究

課堂導入中的實踐研究? 對于剛進初中的學生來說，很多數學名詞是非常陌生的，比如無理數、函數、坐標、元等。對于這些新穎的數學名詞，學生常常會出現理解錯誤，甚至在課堂上答非所問，不理解其中內涵。如在講解“無理數”時，班上有學生學習完無理數概念后，還不能區分無理數和有理數;有的學生甚至還認為無理數是有理數中的小數。對于這種現象，教師在課堂導入過程中通過HPM微課引導學生觀看故事，首先對無理數和有理數的區分有一個大致的了解，有助于在新課講解中理解無理數的概念。

教師展示的是關于希帕索斯發現無理數的數學史：

古希臘數學家畢達哥拉斯認為世間所有的事物都可以用數字來表示，1是所有數字的生成元素，用數字表示世間萬物的方法，要么是用1的倍數來表示，要么是通過將兩個1的倍數進行比較，從而用比值來進行表示。畢達哥拉斯的理論受到數學界的廣泛重視。隨著勾股定理的提出，畢達哥拉斯的學生希帕索斯在研究勾股定理時發現，將直角三角形的兩條直角邊確定為1的時候，那么斜邊的平方為2，即兩個1的平方之和，但是無法按照畢達哥拉斯的定理，在自然界中找到一個整數或者兩個整數的比值來表示斜邊的長度。他大膽地打破權威，認為在有理數范圍內無法找到相應的數，并用“”表示斜邊長度。從此，世界上第一個無理數誕生了。

由此爆發第一次數學危機，支持畢達哥拉斯定理的人為了捍衛權威，將希帕索斯扔進大海。直到1000年后，人們發現了這一類數，并且被達·芬奇命名為“無理數”。

從充滿神秘和封建權威色彩的數學史中，學生認識到無理數是存在于有理數范圍之外的數，既不能用整數來表示，也不能用比例來表示，并由“”為例可以在頭腦中初步形成無理數概念的輪廓。

新課講授中的實踐研究? 數學史知識表面上是歷史類知識，看似和新知識沒有很大關聯，但是仍然可以作為新知識講授的載體。比如函數問題、三角形幾何證明、路程速度類應用題，都是學生感到非常困難的專題，如果教師整堂課通過大量的例題進行講解，學生很容易感到枯燥，喪失學習興趣;如果教師導入HPM微課，穿插扣人心弦的數學史故事，那么學生的學習興趣將會很快被激發。

如在講授“一元一次方程的應用”時，教師可以將丟番圖的墓志銘作為微課教學的數學史內容（圖1），這是丟番圖臨終前為自己的年齡所設計的墓志銘。數學史微課視頻中向學生詳細介紹丟番圖一生中經歷的重要事情及其時間段，要求學生當一回考古學家，通過一元一次方程對這位數學家的去世年齡進行一次計算。本次新課講解與以往不同的是，將數學問題融入故事中，對于好奇心強、喜歡推理類故事的初中生來說是一個非常好的學習素材。因此，學生非常積極地展開探索，在教師引導下，很快就有學生尋找到本題的未知數，應該是設丟番圖的年齡為x，根據題意分析丟番圖在幼年、青年、成年的時間和一生的時間之間的數量關系可以列出方程：

（1/6）x+（1/12）x+（1/7）x+（1/2）x+5+4=x

最后解得丟番圖活了84歲。在具有推理色彩的數學史故事中，學生的學習積極性和探索欲望會更加強烈，再加上教師的引導，學生懂得解決一元一次方程的應用題，要先從數量關系中尋找設未知數x的量。比如本題中“他的生命的1/6”，學生就應該思考是否可以將生命的年限作為未知數呢？最后讓學生列出完整的一元一次方程并求解。

知識拓展中的實踐研究? 在傳統教學中，教師都會留出幾道思考題讓學生課后思考，作為拓展學生思維的方式。但是由于學生的學習壓力大，再加上題目不能激發學生的興趣，導致知識拓展教學展開得并不順利。

在HPM微課中滲透數學史知識，可以將原本形同虛設、無人關注的數學史閱讀材料作為打造第二課堂的主要素材。如在教學完“整式的乘除”后，教師將“楊輝三角”作為數學史微課教學的主要題材。學生學習完本節內容后，對于（a+b）2、（a+b）3很容易能夠展開，但是如果出現（a+b）4、（a+b）5，或者次方數更加大的時候，就束手無策了。

為了幫助學生化解問題，拓寬學生知識面，在數學史微課中，首先展示的是一位教師非常流利地寫出展開式（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，學生看到后非常驚訝。細致的學生發現展開式中a的次方逐漸遞減，而b的次方逐漸遞增;對于展開式中各項的系數，卻沒有發現任何規律。隨后，教師要求學生繼續觀看視頻，微課視頻開始介紹我國著名數學家楊輝的生平事跡，以及他對我國數學的主要貢獻——“楊輝三角”，如圖2所示。

學生通過觀察發現，三角形兩條斜邊上的數字永遠是1，每一行的中間的數字是上一行與其相對應的左右兩個數字之和，三角形頂端數字為20，第一行為21，第二行為22，以此類推，第n行為2n。學生找出規律后，教師試著要求學生將整式（a+b）n和2n相聯系。學生除了發現當a和b均為1時兩式相等之外，結合“楊輝三角”還發現，（a+b）n

展開后的各項系數和“楊輝三角”第n行的數字一模一樣。比如（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5中，各項系數為1、5、10、10、5、1，正好是“楊輝三角”中第五行的數字。

通過本次數學史微課教學，學生的思維得到拓展，學會了結合“楊輝三角”將（a+b）n展開的方法。

4 結語

數學史是融合數學家探索精神和知識形成過程的資料，而微課以其簡短精練的特征，可以有效開展針對性教學。本次研究探索了將數學史和微課融合后的HPM微課教學，將HPM微課融入教學各個階段，從而有效激發學生的學習興趣，拓展學生思維，讓初中數學課堂更加高效。

參考文獻

[1]羅建國.基于HPM視野，讓數學史與學生美好相遇[J].江西教育，2019（24）：69.

作者：王亮，淄博市周村區王村中學，二級教師，周村區教學先進個人，周村區優秀班主任，研究方向為中小學數學;王書榮，淄博市周村區王村中學副校長，一級教師，研究方向為中學數學（255300）。