變與不變

朱蕾

社會在變革，技術在發展，特別是疫情期間，教學時空的變化，讓我們更深層次地去思考教學的本源是什么，為何而教。本期雜志的導讀，將透過教學中的種種變化，解讀其背后的不變。在變與不變中，厘清教學本質。

一、變的是單位，不變的是“大想法”

本期“專題研究”里有一篇郜舒竹教授的文章《“乘”的想法始于哪兒》。一直以來我們都把“乘”視為“相同加數求和”，也就是“重復加”的過程，乘的目的是使加的過程簡化，這也是小學數學教學中的普遍認識。但郜教授在文章里卻有了不同的結論。郜教授通過論述“重復加的窘境”，發現“乘”作為運算，其意義在小學數學課程內容中，呈現出不斷進化的動態特征，例如在低年級對乘運算形成的認識是重復加，那么到高年級學習小數和分數的運算時就會出現認知困難。郜教授通過分析“‘增加的兩種眼光”，闡述了“乘”的想法始于看待“單位”的眼光的改變：“加”是保持單位不變的運算，而“乘”是使單位改變的運算。例如2米高的植物長到6米，從“加”的眼光看，就是2米+4米=6米，原有高度和增加高度兩個加數可以分別看待，是一種互不影響的并列關系;如果我們換一種眼光，從“乘”的眼光看，這樣的生長過程可以看作是2米×3=6米，這里的3與原有高度不是并列關系，是一種包含關系，表示3個2米。通過這樣的多個例子，進一步說明了從想法上說，“乘”的認識是先于“加”的，而且兩者有本質的差異，“乘”的想法主要體現為“單位化”的眼光以及運算過程中的“單位轉換”。這樣的想法在數數和記數時，就已經出現。郜教授提出“乘”作為數學課程中的重要內容，其意義是動態的、發展的、變化的。認知起點并不限于“加”。乘的想法源于“單位化”的眼光，乘的運算在于實現單位轉化。

這篇文章在幫助我們厘清“乘”和“加”之間關系的同時，也給了我們很好的教學建議。即在計算教學中僅關注算法和算理是遠遠不夠的，還要關注背后的想法，抓住不變的那個具有普遍意義的“大想法（big idea）”，例如“單位化”和“單位轉化”這樣的大想法，對于學生思維發展以及今后的數學學習都將會起到重要的作用，這也是目前我們提倡的基于素養導向的大概念教學，從教授專家結論轉向培養專家思維。

二、變的是內容，不變的是基本取向

本期的“本期話題”是一組有關數學拓展課開發與實施的文章。數學拓展課是基礎性課程的有益補充，在激發學生興趣、關注生活經驗、落實核心素養、實現深度學習上有著不可替代的作用。《人民教育》2020年創刊70周年紀念號上的一篇文章《全球教育變革的六大趨勢與挑戰》中指出“項目式學習深入課程教學改革”是教育變革趨勢之一。面向未來，上好數學拓展課，有著極其重要的價值和意義。

潘紅娟老師和她的團隊經歷區域調研、行動研究后，由點及面類化梳理，初步形成了“數學繪本類”“數學文化類”“數學游戲類”“項目學習類”“綜合實踐類”等各類數學拓展課的基本模型。潘老師的團隊給出了五個案例：《河貍是個修房高手》是數學繪本類的拓展課;《小區垃圾知多少》是項目學習類的拓展課;《共享單車中的數學問題》是現實話題類的拓展課;《測量人體的表面積》是綜合實踐類的拓展課;《腳印的面積有多大》是數學文化類的拓展課。通過閱讀這五個案例，我們發現教學的內容在變，但不同課型的教學結構、教學流程卻有著共性特點。潘老師在文中指出，數學拓展課的基本流程為：首先尋找核心知識，確定素養目標;第二步設計驅動性問題;第三步厘清解決問題的認知策略;第四步設計學習活動或項目任務;第五步設計成果交流與評價方式;最后設計成果展示與延伸任務。但在這些不變中又蘊含著變，不同內容的同類課，一定會有若干種變式，以適應不同的學生、不同的情境和不同的主題。

辯證閱讀這組文章后，我們發現在變與不變中，恒定不變的其實是價值取向，“學科育人”是數學拓展課的立意之本。數學拓展課的基本取向是著眼于綜合素養，堅守學科特質，將“數學認知目標”融于“整體育人目標”，這也是數學拓展課不變的基本取向。

三、變的是方法，不變的是學生立場

作為教師，我們每天面對的是學生，教育是直面人、發展人的事業，當然學科教學也不例外，眼中有學生，心中才會有方法。本期就有這樣的文章說明了變的是方法，不變的是學生立場。

曾根紅老師的《一年級學生“反向等式”掌握情況調查分析》一文，對一年級學生正向與反向計算題掌握情況進行了調查，發現學生對正向等式接觸多、練習多，正確率比較高，計算反向等式正確率偏低。曾老師通過對調查結果的統計分析以及對學生的訪談，發現主要原因是學生對反向等式的意義理解不深，缺少解決問題的方法。曾老師也在文中給出了教師加強反向等式教學的操作建議，運用直觀演示的方法，讓學生經歷學習過程，理解反向等式的意義，掌握解決問題的方法。郜舒竹教授曾在《不同未必是錯誤》一文中指出學生的任何“錯誤”都有其合理性，這種合理性往往體現在學生的認知規律和數學規律兩個方面。在教學過程中，教師的一個重要任務就是基于學生立場，研究這種合理性。首先要有意識地搜集、整理學生的錯誤案例。然后辨別搜集來的案例究竟是不是錯誤的。第三，分析產生錯誤的原因。最后思考如何實施有針對性的教學。這給了我們研究學生“錯誤”的范式，本期曾根紅老師的研究就是這樣基于學生立場，給出教學方法。

研究“錯誤”需要有學生立場，我們的教學設計亦是如此。謝紅英老師和張金河老師在《“變教為學”理念下的有效學習活動設計》一文中指出，有效的教學活動體現在學生的主體性上，要設計有效的學習活動，教師可以在解決問題的關鍵處、生活與數學的結合處、學生的認知沖突處、學生的認知錯誤處這四個方面下功夫，認真做到讓每一位學生都參與，每一位學生都有機會，每一位學生都受到重視，使每一位學生都獲得自由、自主、自信的發展。

此外，本期還有一些基于學生立場的文章值得一讀。《探循環之“源理”? ?定循環之依據——以學定教“循環小數”實錄與評析》一文告訴我們，學生對循環小數的認知不是零起點，教師需要把握學情，尊重學情，學生已經知道的、自學能會的知識，就應該放手讓學生展示，在自學和交流中不斷完善認知。《素材 方法 過程——例談空間想象能力培養應把握的三個要點》一文，利用案例說明了教學中要選擇符合學生認知基礎的素材，才能引發學生主動想象和探究。《從雜亂走向有序——記人教版二年級上冊“用三角尺拼角”一課教學》一文指出，要在分析學生錯誤歸因的基礎上，設計合適的教學環節展開教學，以達成教學目標。

尋找變與不變是一個辯證的過程，有了這樣的辯證閱讀，我們才能撥開迷霧，看到本質，找到教育的初心。這也是這期雜志帶給我們的思考。

（浙江省杭州市崇文教育集團? ?310014）