小學數學問題串為何和何為*

劉賢虎

【摘? ?要】問題串可以作為學生學習的支架，實現“教、學、做”合一，發展學生的思維能力?？偨Y提煉在概念教學、計算教學、規則教學、解決問題教學中設計主題問題串的普遍性規律，能對教師的教學工作起到指導作用。

【關鍵詞】數學問題串;設計;教學

問題解決是20世紀80年代以來國際數學教育界提出的一個重要概念，也是課程標準中課程目標闡述的四大維度之一，已成為廣大數學教育工作者持續關注的熱點。問題解決所指的問題與平常的練習和習題不同，它是具有挑戰性的、需要深入思考和探索才能解決的問題。問題解決的核心在于問題，實質指向學生的思維。

一、問題串為（wéi）何

以問題為主線的教學，是將問題作為教學活動的核心內涵激發學生主動參與的教學活動，“教師和學生都應以問題為中心進行雙向的互動，實現雙主體的雙互動”[1]。如何發揮“問題”的引領作用，教師需要將每節課的教學重點和難點進行整體把握和深入思考，形成層層深入、邏輯關聯的問題串。這有利于學生明確學習目標、整體把握學習內容、提升學習效率和促進思維發展。

“問題串”常常包括what（是什么，即知識技能）、why（為什么，即所包含的知識及知識之間的聯系和結構）、where（從哪里來的，即獲取知識的方法策略和數學活動經驗）、how（怎樣，指向知識的價值意義），這些都是學生學習時應該向自己提出的問題。經常問這些問題是促進學生元認知能力發展的有效手段，而元認知水平的高低正是決定問題解決成功與否的一個重要因素。

二、問題串為（wèi）何

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出，要培養學生發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力。在以問題為主線的教學中恰當應用問題串較為關鍵，問題串將教學內容整合為一體，使目標更明確，結構更清晰，活動更聚焦，能有效培養學生問題解決的能力。各個版本教材不同程度地體現了運用問題串導學導教的特點，如人教版“解決問題”內容從解題步驟上呈現了“閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思”等問題串;北師大版整套教材更是以“情境+問題串”為其主要的編寫特色。在實施過程中，問題串將“學生的學習過程、教師的教學過程、內容的呈現過程、目標的達成過程有機整合在一起”[2]，有效地促進了學生四能和四基的發展。

三、問題串何為

作為教師，要善于在研究一些具體學習內容的基礎上，總結出相關教學問題串的普遍性規律，進而指導新的教學工作。

（一）概念教學，著眼多元表征從直觀到抽象，促進意義建構

數學概念是小學數學中重要的學習內容。學習概念有兩種形式，一種是直接揭示，指從大量的例子出發，以歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性。小學階段的概念大多是描述性的，如乘法的意義、角、分數、小數等。第二種是在已有的知識基礎上得出，屬于概念的同化，即學習者利用已有概念來理解一類事物的本質特征，從而明確概念的方式。如“倍”的概念就是建立在乘法概念的基礎上的。概念的形成需要借助一定問題情境，使“新概念”與學生現有圖式建立實質性的聯系。一般情況下，概念教學需要關注的問題有：概念是什么，為什么要研究這個概念，這個概念和別的概念有什么聯系和區別等[3]。

如人教版四下“小數的意義”一課的問題串如下（本文課例都源于人教版）：

1. 0.4，0.78分別表示什么意思？你能把自己的想法畫出來或記錄下來嗎？（畫一畫，寫一寫）

2. 0.016表示什么意思？你能把自己的想法畫出來或記錄下來嗎？（畫一畫，寫一寫）

3.你發現一位小數、兩位小數、三位小數分別表示什么？相鄰兩個計數單位之間的進率是多少？（比一比，想一想，說一說）

問題串里的問題1、2是“一位、兩位、三位小數分別是什么”的具象化，問題3指向概念之間的聯系，3個問題明確了學習的方向，能讓學生整體把握這節課的教學目標。教師還可設計優質的子問題，不斷追問，逐步觸及數學知識的本質。如學生表示出0.4后，教師追問，你怎么知道這就是0.4？0.7怎樣表示，0.9呢？在0.1，0.4，0.7和0.9中，你認為哪一個小數最重要？這樣的追問，從淺到深，由表及里，指向核心概念——計數單位，能夠促進概念的意義建構和學生的深層理解。

小學生的思維以直觀形象思維為主，因此概念教學要遵循從直觀到抽象的認知過程。與此同時，概念的學習過程要讓學生經歷情境表征、語言表征、圖形表征、動作表征和符號表征等。多種表征方式之間的轉化越順暢，學生對概念的理解越深刻。

（二）解決問題教學，探索知識應用從一般到特殊，彰顯方法策略

解決問題教學在把“四能”作為目標的同時，體驗解決問題策略的多樣性也是目標之一。數學教育家波利亞在《怎樣解題》中將數學問題解決過程分為四個階段，即弄清問題、擬訂計劃、實現計劃和回顧與反思[4]。人教版“解決問題”內容采用類似結構進行編排，一、二年級教材呈現三個步驟：知道了什么、怎樣解答、解答正確嗎。三、四、五、六年級教材變為：閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思。這樣的編排設計便于學生掌握解決問題的基本步驟與方法，形成模式思維。

解決問題的過程不僅是知識的應用過程，更是學習各種數學思想方法，如歸納、類比、轉化、分類、優化、有序等，以及各種策略，如畫圖、列表、假設等的過程。教學中通過對信息的收集、處理，經歷猜想、嘗試和推理，比較、反思、驗證解決問題的方法，幫助學生提高解決問題的能力，發展數學思維。因此，解決問題教學關注的一般問題有：你是怎樣解決的？你想到了哪些方法策略？解決問題的關鍵是什么？

如五上“分段計費”一課提供的信息：收費標準： 3km以內7元;超過3km，每千米1.5元（不足1km按1km計算）。本課的問題串是：

1.楊叔叔坐了6.3km，他應付多少錢？（想一想，畫一畫，算一算）

2.嘗試完成出租車價格表。除了用表格表示收費情況，你還能用其他的方式表示出分段收費嗎？（填一填，畫一畫，說一說）

3.解決分段計費問題的關鍵是什么？（想一想，寫一寫，說一說）

教學時應根據學生的思維習慣，引導學生以數學的眼光發現、提出問題——發現按照一般的思路無法解決，引發思考“分段計費為什么不是單價×里程數”;以數學的思維分析、解決問題——先分段，再計算;訓練學生掌握常見的問題解決的策略——列表、畫圖等，關注解決問題方法的多樣性。問題解決后，還要督促學生深入思考是否存在某些隱藏的錯誤，能否找到更有效的解題方法，這一解題過程可獲得哪些一般性的結論和啟示等。

（三）計算教學，立足概念意義從特殊到一般，理解算理算法

計算教學在四基的視角下被賦予了新的意義和內涵。算理是四則運算的理論基礎，它是由數和運算概念、運算定律和運算性質等構成的。具體的計算方法是四則運算的基本程序和方法。算理為算法提供理論依據，學生對算理的理解和算法的掌握通常要經歷從直觀到抽象、從特殊到一般的過程。在教學設計時，要關注問題情境、學情以及應給予的學習支持。

如六上“分數除以整數”，教材先安排“把一張紙的[45]平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？自己試著折一折，算一算”。接著計算[45]÷3，最后提出“根據上面的折紙實驗和算式，你能發現什么規律？”教材借助直觀模型（面積），支撐分數除以整數的教學。大部分學生能根據認知基礎和學習經驗，想到豎著分，直觀地感受到4個[15]平均分成2份，每份是2個[15]，即[25]。還有學生會想到橫著分，把5份再平均分2份，相當于把這張紙平均分10份，也就是求[45]的[12]是多少，[45]÷2=[45]×[12]=[410]=[25]。教師要及時引導學生將這兩種方法與分數的意義、運算的意義相聯系，回到知識的起點。學生接著思考“把一張紙的[45]平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？”發現只能用第二種思路。學生對比優化，發現分數除以整數（不為0），當分子是除數的倍數時，直接除比較簡單，但更一般的方法是用分數乘這個整數的倒數。接著應脫離具體情境和動手操作，讓學生計算[712]÷4，并借助數概念及運算意義進行表征，使學生對算理的理解走向深入。這樣可使學生從直觀到抽象、從特殊到一般地認識規律，也有足夠的例子理解算理、歸納算法。

因此，“分數除以整數”的問題串可設計如下：

1.把一張紙的[45]平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？（折一折，算一算）

2.把一張紙的[45]平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？（折一折，算一算，比一比）

3. [712]÷4怎么計算呢？說說你的解釋。（算一算，說一說）

4.結合以上計算，請你說說分數除以整數該怎么計算。（想一想，說一說）

計算教學的一般問題是：具體情境下如何計算，你是怎么想的？脫離情境變成抽象的數如何解釋計算過程？這一類計算的方法是什么？

（四）規則教學，經歷探究發現從猜想到驗證，體驗變與不變

小學數學中的定律、性質、公式及規律等教學，簡稱為規則教學（不包括計算教學）。教學中可創設問題情境，引導學生合情推理，形成猜想，然后驗證得出定律、性質、公式及規律等?！皻w納”和“類比”是合情推理的重要方式，如教學“加法和乘法的交換律”“乘法分配律”“比例的基本性質”“商不變性質”“小數的基本性質”“小數點移動引起小數大小變化的規律”等常常利用歸納或類比推理。一般情況下，規則教學應提出的問題是：發現了什么？如何驗證自己的發現是否正確？前后之間有什么聯系？還需再舉例嗎？發現規則后，合情推理還需往前走一步。學生既要借助合情推理來發現問題、提出問題，還要利用演繹推理來分析問題、解決問題。

如“平行四邊形的面積”，對如何計算平行四邊形的面積學生的表現主要有三種，第一種是（底邊+鄰邊）×2，第二種是鄰邊相乘，第三種是底×高。組織學生討論，發現第一種計算的是平行四邊形的周長，第二種計算的是長方形的面積，這兩種都不對。第三種學生一下子解釋不清楚，引發猜想：平行四邊形的面積計算是不是底×高呢。通過以下問題串引導學生進行驗證。

1.借助數方格的方法，你發現平行四邊形的面積等于什么？（數一數，算一算，比一比）

2.你打算把平行四邊形轉化成什么圖形？平行四邊形與轉化后的圖形有什么聯系？（剪一剪，比一比，說一說）

3.平行四邊形的面積計算，你還能想到其他的驗證方法嗎？（想一想，說一說）

學生先借助數方格直觀感受，接著進行探究，通過畫、剪、移、拼，把平行四邊形轉化成長方形，發現平行四邊形與拼成的長方形之間的聯系，即形狀變了，面積大小沒變，進而得出面積計算公式。其間教師要導學生進行抽象，思考感悟數學思想方法。

問題串的設計要環環相扣、由淺入深，激勵學生思考。在設計問題串時，要把握數學的本質，還要善于將數學問題由原來的“學術形態”轉化為適合學生學習的“教育形態”。如六上“圓的初步認識”一課的問題串是：什么是圓？圓有什么作用？圓與其他圖形有什么聯系和區別？可以進行適當完善：什么樣的圖形是圓？生活中哪些物體是圓，能換成別的圖形嗎？圓和其他平面圖形有什么聯系和區別？正如張奠宙先生所言，把數學知識轉化為教育形態，一是靠對數學的深入理解，二是要借助人文精神的融合。

參考文獻：

[1]楊麗芳.問題鏈，鏈出精彩課堂：小學高年級數學課堂“問題鏈”設計探析[J].數學學習與研究，2015（2）.

[2]鄭毓信.中國數學教育的“問題特色”[J].數學教育學報，2018（1）.

[3]王月華.大膽猜想? ?小心論證：淺析數學教學中學生合情推理能力的培養[J].中學教學參考，2012（22）.

[4]吳正憲，武維民.在“好吃”中享受“有營養”的兒童數學教育實踐探索[J].中國教師，2017（14）.

[5]張奠宙.關于數學知識的教育形態[J].數學通報，2001（4）.

（廣東省東莞松山湖中心小學? ? 523808）