數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念下解析幾何的高考分析與教學(xué)思考

蔡開(kāi)拓

【課題項(xiàng)目】本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度課題《基于數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的微課程建設(shè)研究》（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJJKXB18-353）的研究成果之一。

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）44-0013-02

筆者就近幾年高考考查方向及2019年的部分試題分析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下，解析幾何的考查方向，并對(duì)此提出教學(xué)思考與建議。

1.試題分析

表1 2017～2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（理）解析幾何考查內(nèi)容

在近幾年高考中，從考查內(nèi)容上看，解析幾何基本題型分布為兩小一大，覆蓋三種常見(jiàn)的圓錐曲線，解答題以橢圓與拋物線為主。從考查難度身上看，基本屬于中難題，主要考查定點(diǎn)定值，最值等問(wèn)題。

2.真題再現(xiàn)

2.1選填問(wèn)題

例1（2019全國(guó)I卷10）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-1， 0），F(xiàn)2（1，0），過(guò)F2的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若AF2=2F2B，AB=BF1，則C的方程為_(kāi)____。

解析：設(shè)AF2=2F2B=2m，則AB=BF1=3m

因?yàn)锳、B位于橢圓上，因此有2a=AF1+AF2=BF1+BF2=4m

可得AF1=2m，又AF2=2m，由對(duì)稱性可知A位于上頂點(diǎn)。

在△AF1F2中：

小結(jié)：解析幾何選填題在高考中的考查對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的要求較低。更多的是對(duì)于直觀想象素養(yǎng)的考查。主要有以下幾個(gè)方面：（1）能夠根據(jù)題目畫(huà)出正確的示意圖;（2）掌握?qǐng)A錐曲線的定義，能夠利用定義轉(zhuǎn)化點(diǎn)在曲線上的條件;（3）能夠結(jié)合平面幾何知識(shí)，發(fā)現(xiàn)幾何圖形中的幾何關(guān)系。常見(jiàn)的幾何模型為焦點(diǎn)三角形，雙曲線漸近線，拋物線準(zhǔn)線與焦點(diǎn)弦以及相關(guān)垂線段構(gòu)成的直角梯形等，而后利用解三角形的有關(guān)知識(shí)或者中線、角平分線等平面幾何知識(shí)解題。

2.2解答題

例3（2019全國(guó)III卷21）已知曲線C：y=，D為直線y=-上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)。

解法一：

分析：（作圖方法）根據(jù)題目描述進(jìn)行畫(huà)圖：①在y=-上取點(diǎn)D;②過(guò)D做切線，獲得切點(diǎn)A，B;③連接AB發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)。

（以數(shù)解形）將作圖過(guò)程用代數(shù)進(jìn)行描述：①設(shè)點(diǎn)Dd，-;②設(shè)切點(diǎn)，求出切點(diǎn)（這邊切點(diǎn)難求，借助韋達(dá)定理）;③由A，B得直線AB的方程。

解法二：

分析：（作圖方法）重新構(gòu)圖：①畫(huà)出直線AB與拋物線相交;②過(guò)A，B做拋物線切線;③切線交點(diǎn)在y=-上。

（以數(shù)解形）將作圖過(guò)程用代數(shù)進(jìn)行描述：①設(shè)直線AB與拋物線聯(lián)立得到A，B坐標(biāo)（方程難解，借助韋達(dá)定理）;②由切點(diǎn)，求出切線方程;③切線方程聯(lián)立，解得縱坐標(biāo)為-。

小結(jié)：解析幾何解答題在高考中對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng)的考查都較難。對(duì)于直觀想象素養(yǎng)的考查有以下幾個(gè)方面：（1）能夠根據(jù)題目畫(huà)出正確的示意圖;（2）能夠利用平面幾何知識(shí)化簡(jiǎn)題目中的條件與幾何量，簡(jiǎn)化運(yùn)算;（3）能夠利用代數(shù)方法刻畫(huà)幾何中的元素。對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查在于以下幾個(gè)方面：（1）能夠把平面中的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問(wèn)題，例如垂直，可以用向量點(diǎn)乘，可以轉(zhuǎn)化為斜率乘積等;（2）解析幾何中對(duì)于問(wèn)題的解決有較多的思路，要求能夠針對(duì)題目中的條件合理選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，解決問(wèn)題;（3）在方程的運(yùn)算中，除了直接求根以外，要求能夠根據(jù)方程特征，利用韋達(dá)定理解決問(wèn)題，包括得到兩根關(guān)系，或是知道一根求另一根。

3.教學(xué)思考與策略

3.1直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

（1）能夠利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題。高考在考查解析幾何時(shí)，往往不給幾何圖形，要求學(xué)生能夠獨(dú)立作圖，在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)重視作圖能力的培養(yǎng)。首先，教師應(yīng)當(dāng)發(fā)揮示范作用，在做解析幾何題目時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生一起讀題，并在黑板上根據(jù)題目條件呈現(xiàn)作圖過(guò)程，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行作圖;其次，嘗試構(gòu)圖時(shí)，不一定每次都能準(zhǔn)確畫(huà)出題目圖形，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆治龊笸枰獙?duì)圖形進(jìn)行調(diào)整。因此講解分析部分題目時(shí)，不應(yīng)當(dāng)直接給出準(zhǔn)確圖形，而應(yīng)當(dāng)展示圖形的調(diào)整過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析思考。最后，為保證學(xué)生作圖的準(zhǔn)確性，在初學(xué)階段要求學(xué)生利用尺規(guī)作圖，避免學(xué)生因?yàn)樽鲌D隨意而影響后續(xù)對(duì)圖形的觀察。學(xué)生能夠熟練作圖后再進(jìn)行徒手作圖的指導(dǎo)，提高作圖速度。

（2）建立數(shù)與形的聯(lián)系，探索解決問(wèn)題的思路。在解析幾何解答題中，需要將幾何問(wèn)題代數(shù)化，其方法和角度是多種多樣的。在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生積累常見(jiàn)的數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，例如：直角條件的轉(zhuǎn)化，可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到斜邊中點(diǎn)的距離等于斜邊的一半，斜率之積為-1，向量點(diǎn)乘為0等等。積累并加以適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)，拓展學(xué)生從幾何到代數(shù)轉(zhuǎn)化的路徑。同時(shí)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生嘗試根據(jù)不同的順序進(jìn)行作圖，通過(guò)多角度構(gòu)圖的方式，加深對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的理解;講解時(shí)，逐步講解作圖順序，體現(xiàn)其形與數(shù)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，構(gòu)造解題思路。讓學(xué)生體會(huì)解析幾何的解題思路，來(lái)自于對(duì)于圖形的轉(zhuǎn)化。

3.2數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)

（1）對(duì)于運(yùn)算法則與運(yùn)算順序的指導(dǎo)。小學(xué)的算術(shù)及初中的多項(xiàng)式運(yùn)算已經(jīng)教授了數(shù)學(xué)運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，高中不單單是對(duì)法則的強(qiáng)調(diào)，更多是對(duì)細(xì)節(jié)的指導(dǎo)。例如在橢圓+=1與直線y=kx+1聯(lián)立時(shí)，由于分式運(yùn)算較為復(fù)雜容易出錯(cuò)，教師指導(dǎo)其先進(jìn)行通分，利用方程x2+2y2=4進(jìn)行運(yùn)算;再例如對(duì)于向量點(diǎn)乘的結(jié)果x1x2+（y1-2）（y2-2）是先進(jìn)行括號(hào)展開(kāi)，還是先將直線方程代入消元，還是先代入韋達(dá)定理等等，這些細(xì)節(jié)問(wèn)題都是導(dǎo)致學(xué)生運(yùn)算速度慢，運(yùn)算容易出錯(cuò)的原因。因此教師在解析幾何教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)重視對(duì)解析幾何的運(yùn)算講解，多進(jìn)行板書(shū)的展示與運(yùn)算方法選擇的提問(wèn)。

（2）對(duì)于常見(jiàn)幾何量與運(yùn)算過(guò)程總結(jié)形成固定的運(yùn)算程序，從而提高運(yùn)算速度，減少錯(cuò)誤率。在解析幾何中常見(jiàn)的幾何量包括弦長(zhǎng)，面積，常見(jiàn)的運(yùn)算包括向量點(diǎn)乘，斜率之和，方程之間的聯(lián)立等等。可以讓學(xué)生多次進(jìn)行單一運(yùn)算的練習(xí)，例如只考查弦長(zhǎng)的運(yùn)算，一方面深入講解，讓學(xué)生形成算弦長(zhǎng)的步驟算法，另一方面簡(jiǎn)單的解析幾何題目能夠培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算信心，熟悉了弦長(zhǎng)的運(yùn)算，在遇到與弦長(zhǎng)有關(guān)問(wèn)題時(shí)不容易產(chǎn)生畏懼心理。

（3）指導(dǎo)選擇合適的方式將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問(wèn)題。在解析幾何中強(qiáng)調(diào)，先思后算，多思少算。解析幾何問(wèn)題代數(shù)化的方向往往很多，部分學(xué)生不考慮運(yùn)算量，有所思路便悶頭運(yùn)算，浪費(fèi)時(shí)間，后期也算不出來(lái)。因此在解析幾何的講解中，可以先將多種思路進(jìn)行羅列，讓學(xué)生進(jìn)行選擇，并嘗試運(yùn)算，從而養(yǎng)成先思后算的習(xí)慣，同時(shí)學(xué)會(huì)對(duì)各種方法的運(yùn)算量進(jìn)行判斷。

3.3素養(yǎng)培養(yǎng)的階段分解

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，什么環(huán)節(jié)培養(yǎng)什么素養(yǎng)，培養(yǎng)到什么程度，如何培養(yǎng)需要進(jìn)行整體的規(guī)劃與設(shè)計(jì)。在這里筆者提出一些想法與建議。

在直線與圓的位置關(guān)系中，由于圓有許多性質(zhì)，更多培養(yǎng)學(xué)生能夠通過(guò)圓的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。同時(shí)也不應(yīng)該規(guī)避一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算問(wèn)題，對(duì)于向量點(diǎn)乘以及簡(jiǎn)單的弦長(zhǎng)問(wèn)題，可以逐步滲透，避免由圓過(guò)渡到圓錐曲線時(shí)，因運(yùn)算難度的突然提升而產(chǎn)生的畏懼心理;在圓錐曲線的初步教學(xué)中，不應(yīng)刻意強(qiáng)化運(yùn)算，應(yīng)當(dāng)依舊以簡(jiǎn)單的弦長(zhǎng)，面積或是簡(jiǎn)單的數(shù)量積問(wèn)題作為練習(xí)，知識(shí)點(diǎn)相對(duì)單一一些 ，運(yùn)算量小一些。一是不斷重復(fù)，強(qiáng)化對(duì)于常見(jiàn)運(yùn)算的熟悉熟練程度，二是逐步提升運(yùn)算量，讓學(xué)生慢慢接受解析幾何的運(yùn)算量，提高做題信心。

最后，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及后期練習(xí)中再逐步引入定點(diǎn)定值以及最值問(wèn)題等運(yùn)算量較大的問(wèn)題，如果前期問(wèn)題掌握不到位也不建議加大難度。

4.結(jié)語(yǔ)

解析幾何作為高考熱點(diǎn)，是直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體。然而其考查難度往往較大，學(xué)生容易喪失信心。在教學(xué)中，做好統(tǒng)籌規(guī)劃，做好素養(yǎng)的滲透，步步為營(yíng)，不可故意加大難度。教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生合理作圖、運(yùn)用圖形、用代數(shù)解決幾何問(wèn)題逐步培養(yǎng)其直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.