初中數學“數形結合”思想教學研究與案例分析

王旻

摘要：數學作為一門具有較強實踐性的學科，初中階段數學學習對學生未來的數學學習起著決定性作用。“數形結合”思想在初中數學教學中應用廣泛，并且貫穿整個初中數學的始終。數學教師應積極有效地進行“數形結合”的教學方式，幫助學生培養“數形結合”思維，通過“數形結合”的方式解題，以此降低學生的解題難度，提高學生對數學學科的興趣和積極性，讓學生能夠憑借自己已有的數學知識解決數學問題。本文將通過對初中“數形結合”思想進行闡述，論述“數形結合”在解決實際問題中的作用優勢，并通過案例對“數形結合”的應用進行解析。

關鍵詞：初中數學;“數形結合”;優勢作用;實際應用

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）20-062-2

新課標對新時期的初中數學進行了更加深入的研究，提出了更高的要求。對于初中數學，學生除了要求掌握基礎的理論知識外，還要求形成明確的數學思想，具有一定的數學思維方式，并且能夠依據已獲得的數學知識來分析和解決生活中的實際問題。而這些思想以“數形結合”為核心。學生要想完全且有效地掌握并應用“數形結合”思想，并非是一朝一夕的課程就能達到的，這需要數學教師在日常的教學中不斷滲透“數形結合”思想，在知識理論和實際應用中潛移默化地引導學生，才能幫助學生在解題中應用自如。

一、“數形結合”思想概論

“數形結合”作為一種直觀數學模型，通過“數形結合”，能夠在兩種方法及理論之間進行轉換，從而幫助學生更加清晰地理解和應用所學知識。所謂“數形結合”，可以理解對于同一數學現象，能夠分別從代數和幾何兩個角度進行分析和理解。

二、“數形結合”思想在教學中的優勢

在日常數學教學中應用“數形結合”思想，能夠讓晦澀難懂的數學概念，更易理解，并且理解得更為透徹;能夠將復雜繁瑣的問題變得更清晰，更簡單;能夠讓抽象的數學問題更具體。

1.有助于對新概念的理解和記憶

數學概念是學生學習數學知識的基礎，是對數學知識高度概括后的升華。要正確認識一個數學概念，就必須要理解這個數學概念的內涵。在教學中可以通過“數形結合”方法，化抽象為具象，化文字為圖形，有助于強化學生對數學概念的感知和理解，直觀圖像更加一目了然。“數形結合”的應用可將抽象的文字信息轉化為具象的幾何圖形、數軸、函數圖像等，并通過與原有知識的關系，建立起新的聯系，更加深刻地幫助學生對新數學概念的理解記憶。

2.有助于數學解題能力的提高

“數形結合”是一種重要又便于應用的數學思想。學生如果能形成這種思想，就能夠靈活地應用于解題中，在空間想象力不足的情況下，可將題干轉化為圖形展現出來，解題思路就能更加清晰明了，能夠更有效地獲取有用信息，找到解題的突破口，增強對數學的學習自信。

3.有助于數學思維能力的培養

“數形結合”思想有助于增強對學生空間想象力的培養，從而激發和形成學生形象思維能力。對同一數學問題從多角度進行“數形結合”的方法教學，能夠幫助學生尋找多種解題思路，拓展思維靈活性，促進學生養成多向思維的良好習慣，進而提升解題效率。

4.有助于數學學習興趣的激發

數學不單單抽象、復雜，而且形式化、符號化，在大多數學生心中是枯燥、乏味又難學，因此不受學生歡迎。而在日常教學中，通過“數形結合”的方式來解釋數學概念，解決數學問題，將使概念清晰化、形象化，使數學問題簡單化、具體化，讓學生感到輕松，避免產生畏難情緒和厭學心理，幫助學生將數學學習看做是一種樂趣，一種挑戰，激發學生對數學的熱情與興趣，從而促進數學成績和數學能力的提升。

三、初中數學“數形結合”思想應用案例

1.數學概念中的應用

“概念”是將對事物的感性認知升華到理性認識，具有較為抽象，難以理解的特點。例如：圓與圓的位置關系、平面直角坐標系等，在教學中不僅需要學生掌握概念的內涵，還需要學生理解隱藏在概念形成過程中的所應用的“數形結合”思想。如“圓與圓的位置關系”的概念，單純把字面的理論知識描繪給學生，學生無法理清具體的位置關系，若通過圖形的形式展現給學生，不但可以培養學生數形轉換的能力，還能鍛煉學生的思維遷移能力，而且有利于學生形成多角度，多方面思考問題，解決問題的好習慣。

2.在統計中的應用

“數形結合”在初中“概率和統計”的學習中，是非常典型的應用。在統計的教學過程中，可以把數字轉化為圖形，既直觀清晰，又簡單方便。例如要考察一個月內，某中學的財政金額中支出金額的變化，可以通過“數形結合”的思想，將支出金額的變化通過一個折線統計圖來表示，這樣支出金額的變化在折線統計圖上就反映得一清二楚，所有的信息一目了然。再例如，在“統計”相關知識點的教學中，由于“離散點”是通過坐標上的一組數字來表示的，為了能快速計算出這組離散點的平均數、眾數和中位數，以及這組數據的波動大小而產生出的標準差、方差，教師可以通過這種“數形結合”的方式循序漸進，讓學生逐漸清楚地認識到知識之間的相互聯系。對于“概率”而言，需要引導學生看，依據題意畫出“數形圖”，將題干中有用信息通過圖像表現出來，這樣概率的問題往往就能夠迎刃而解了。

3.在不等式中的應用

在求解一元一次不等式、不等式組的問題中，可以應用數軸進行解題。數軸是“數形結合”的具體表現之一，在面對不等式組問題時，可以在同一數軸之上，分別表示出兩個不等式的解集，這兩個解集的公共部分便是該不等式的解集。數軸上表示的是實數與該數軸上點的對應關系，它構建起了數和形之間的聯系，提供一個實用的解題工具，讓抽象的數量關系，具有了既形象又直觀的幾何意義，因而利用數軸解不等式組，既簡單又快捷。在進行一元二次不等式教學中，可以通過利用一元二次方程、一元二次不等式與二次函數之間的聯系，解決一元二次不等式的問題。二次函數圖像同x軸的交點對應的數便是一元二次方程的解，而該二次函數圖像位于x軸上方圖像對應的自變量取值范圍，就是該一元二次不等>0的解集;同理，二次函數圖像位于x軸下方圖像對應的自變量取值范圍，就是該一元二次不等<0的解集，在解題過程中學生通過二次函數圖像，讓問題變得更加直白簡單，學生解答起來也更加得心應手，省時省力。

4.在代數問題解答上的應用

面對代數問題的時候，很多學生都是抓耳撓腮，十分頭疼，因為代數問題往往非常得抽象，理解起來非常困難，但是如果學生能夠掌握“數形結合”的方法，通過“數形結合”的方式來解題，難度就能大大降低，通過幾何圖形來解決代數問題，可以起到事半功倍的效果。例如：“在拋物線y=（x+1）（x-3a）與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于C點，能夠使△ABC為等腰三角形的拋物線一共有幾條？”這是一道典型的代數題，當學生面對這樣的問題時，通常難以入手。這時候，采用“數形結合”的思想，學生可以通過圖形將題干中的內容變成直觀的圖像，再通過圖像對滿足題意要求的等腰三角形進行觀察和分析，最后可以得出結果。由此可見，“數形結合”的思想能夠把復雜又抽象的問題轉化為簡單、清晰的圖形，對學生理解題意，提取有效信息有很大的幫助，能夠在很大程度上幫助學生提高解題的效率和保證正確率。

四、結語

數學教學的目的是更好地幫助學生形成數學思維，掌握更有效的數學方法。數學思想的形成在一定程度上更加能夠幫助學生提高自身的學習能力，相對于傳統教學模式，思想方法的傳授更符合當前學生的學習要求，更益于開發學生的創造能力，提升學生的學習能力。“數形結合”思想在初中數學教學中，是一種十分重要且行之有效的指導思想，學生一旦形成了這種思想，就能夠在數學學習中養成更為高效的解題習慣，能夠更加快捷、更加準確地解答很多原本復雜困難的數學題。在今后教學工作中，初中數學教師應加深對“數形結合”思想重要性的新的認識及重視，在日常的數學教學中不斷地向學生滲透、傳遞“數形結合”思想，幫助學生樹立“數形結合”思想，并通過不斷地鍛煉加強學生對“數形結合”思想的應用，提升教師的教學能力及學生的學習能力。

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（作者單位：安徽省合肥市肥東縣城關中學，安徽 合肥 231600）