小學數學中的“數學思維”淺析

劉滿

（河北省保定市清苑區大莊鎮東孟莊小學，河北 保定 071100）

一、“數學思維”的基本形式

現代關于數學思維研究的一項重要成果指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉化構成了算術以及代數思維的基本形式，這也就是說，在數學特別是算術和代數中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質，也可以此為直接對象去實行進一步的運算。對于所說的“凝聚”可進一步分析如下：

（一）“凝聚”事實上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說集中地體現了數學的高度抽象性，即“是把已發現結構中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構”。這正如著名哲學家、心理學家皮亞杰所指出的：“全部數學都可以按照結構的建構來考慮，而這種建構始終是完全開放的……當數學實體從一個水平轉移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變；對這類‘實體’進行的演示，反過來，又成為理論研究的對象，這個過程在一直重復下去，直到我們達到了一種結構為止，這種結構或者正在形成‘更強’的結構，或者在由‘更強的’結構來予以結構化。”例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構”。

（二）“凝聚”主要包括以下三個階段：1.內化；2.壓縮；3.客體化。其中，“內化”和“壓縮”可視為必要的準備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程做出描述或進行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關的運作，還可從更高的抽象水平對整個過程的性質做出分析；另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現在變成了一個靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進教學也具有重要的指導意義。例如，所說的“內化”就清楚地表明了這樣一點：我們既應積極提倡學生的動手實踐，但又不應停留于“實際操作”，而應十分重視“活動的內化”，因為，不然的話，就不可能形成任何真正的數學思維。另外，在不少學者看來，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳統做法的合理性。

（三）由“過程”向“對象”的過渡不應被看成一種單向的運動；恰恰相反，這兩者應被看成同一概念心理表征的不同側面，我們應善于依據不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉換，包括由“過程”轉向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。

綜上可見，在算術的教學中我們應自覺地應用和體現“凝聚”這樣一種思維方式。

二、數學思維的互補與整合

首先，互補與整合的數學思維形式對于小學數學具有特殊的重要性。我們應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。具體地說，與加減法一樣，有理數的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關系，商，算子或函數，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認識到了的，就有理數的理解而言，關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關、彼此獨立的；而應對有理數的各種解釋很好地加以整合，也即應當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側面，并能根據情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉換。

其次，我們應注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用。這也正是新一輪數學課程改革的一個重要特征，即突出強調學生的動手實踐、主動探索與合作交流：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式……教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”由于實踐活動（包括感性經驗）構成了數學認識活動的重要基礎，合作交流顯然應被看成學習活動社會性質的直接體現和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調的是，除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外，我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯系與必要互補。

最后，我們應清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補關系。特別是，就由“日常數學”向“學校數學”的過渡而言，不應被看成對于學生原先所已發展起來的樸素直覺的徹底否定；毋寧說，在此所需要的就是如何通過學校的數學學習使之“精致化”，以及隨著認識的深化不斷發展起新的數學直覺。在筆者看來，我們應當從這樣的角度去理解《課程標準》中有關“數感”的論述，這就是，課程內容的學習應當努力“發展學生的數感”，而后者又并非僅僅是指各種相關的能力，如計算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現象數量方面的某種敏感性，包括能對數的相對大小做出迅速、直接的判斷，以及能夠根據需要做出迅速地估算。當然，作為問題的另一方面，我們又應明確地肯定幫助學生牢固地掌握相應的數學基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客觀事物和現象的數量方面做出準確的刻畫和計算，并能對運算的合理性做出適當的說明──顯然，后者事實上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

綜上可見，即使是小學數學的教學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特征性質，因此，在教學中我們應做出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數學思想方法”這一重要目標。