利用“互聯網+”和雨課堂平臺解決“線性代數”中的教學難點

鄭 晨，張 楠，王 東

(1.桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學 信息科技學院，廣西 桂林 541004)

0 引言

“互聯網+”在教學改革和創新中的應用引起了教育領域的研究熱潮，而且基于“互聯網+”教學模式的理論研究和應用實踐取得了一定的成果。但是，這些研究還不夠深入，大多數研究論文都集中在討論某一課程的教學框架，或者是展示某一具體課程在“互聯網+”教學平臺上的教學過程。研究如何突破教學難點的具體教學方法，從而幫助學生解決在學習中遇到的問題的文獻較少。

基于“互聯網+”的教學模式正在推動著教學管理和教學方式的改革和創新。這種現代教學模式不僅改變了傳統的教學形式，而且改變了傳統的教學理念。基于“互聯網+”的教學模式最顯著的一個特點是利用互聯網及其延伸功能和現代信息通信技術，通過網絡開放課程(慕課，學堂在線、好大學在線等)、社交媒體(QQ、微信等)平臺、雨課堂等在線教學工具提供了多樣化的教學形式和內容，并突破了時間和空間的限制，使學生能夠根據自己的時間安排和知識基礎選擇適合自己的學習內容，為大班授課的教學形式創造了個性化教學的條件，從而實現了傳統教學模式難以實現的教學目標[1]。

當前“互聯網+”教學模式處于起步階段，對于“互聯網+”教學模式的理論研究和應用實踐仍在探索之中。作為理工科最重要的理論基礎課程之一的“高等數學”如何利用“互聯網+”教學模式來提高教學質量引起了教師們的廣泛關注，并提出了許多教學案例。

例如，鄭繼明等[2]提出將高等數學的混合式教學分為4個階段：準備階段、課前導學階段、課中研學階段和課后拓學階段，并通過雨課堂將PPT課件及微信結合在一起，把課前、課中、課后的教學內容放在網上，學生隨時查閱，以此提高學生的學習效率。褚麗娜[3]以“定積分的幾何應用”為例來說明智慧課堂的構建，討論了智慧課堂教學模式中教學活動的3個階段：課前、課中、課后。課前階段包括上傳微課視頻“曲邊梯形面積的求法”及課件，讓學生觀看并完成課前任務。課中階段主要是講解“微元法”的基本思想等教學內容，并與學生的互動，解決學生在學習過程中遇到沒學懂的問題。課后階段包括布置課后作業，學生完成作業后上傳于學習平臺，教師根據學生完成作業的情況進行點評和個性化輔導。

張茵茵等[4]以“計算機操作系統”課程為例探討了藍墨云班課平臺在教學中的應用。其教學過程的3個階段：課前推送教學資源，提前學習；課堂上交流討論，深化理解；課后測試，鞏固學習。文中還介紹了如何解決“經典進程的同步問題”中“生產者-消費者問題”和“讀者-寫者問題”這些教學的重點和教學難點的方法：為了突破這兩個教學重難點，課前將有關這兩個問題的微課及課件上傳到藍墨云班課平臺上，并且將網上搜集到的有關這兩個問題的精華帖子連接到資源中，此外，還討論了基于雨課堂的“高等數學”混合式教學模式，提出了4個階段的教學改革設計：(1)前期準備，制作教學視頻、課件試題，開設“雨課堂”班級。(2)課前引導，以問卷調查的方式發布任務單，要求學生通過視頻、課件進行預習，并完成任務單，教師通過任務單數據來了解學生的預習情況，制定有針對性的課堂教學內容。(3)課堂教學，根據收集到的學生預習中出現的問題，進行針對性教學。(4)課后復習，教師根據課堂教學情況，發布具有針對性指導意見和課后作業，鞏固已學的知識。

然而，從近期發表的教學論文看，大多數關于“互聯網+”教學模式的理論研究都集中在討論針對某一課程的教學框架，以及總結并展示某一課程在“互聯網+”教學平臺上的教學過程。在研究如何突破教學難點的具體教學方法，從而幫助學生解決在學習中遇到的問題的文獻較少。本文以“線性代數”課程為例，提出一種利用“互聯網+”和雨課堂教學平臺解決教學難點的方法。

1 解決數學課程教學難點的方法

本章探討利用“互聯網+”和雨課堂平臺解決數學課程教學難點的方法，并提出解決教學難點的幾項具體措施。

1.1 教學難點的特征

教學難點是指教師在授課過程中難以講好、學生在學習過程中不易理解和掌握的知識點。對于教學難點，教師面臨著幾方面的挑戰：(1)學生預習有困難。學生看不懂教材中的相關內容，也看不懂教師放在網上的PPT。(2)學生聽課有困難。被列為教學難點的內容一定有其難以理解的地方，往往是教師在課堂上對相關知識點進行講解以后，還是有部分學生沒能理解。(3)影響后續內容的教學。數學課程中的內容有著緊密的聯系，前面的知識沒學好會影響后面內容的學習。如果不及時解決課程中的教學難點，就難以達到預定的教學目標。

因此，如何解決課程中的教學難點是教學中的重中之重，也是每一個教師應該深入思考的問題。另一方面，雖然在處理教學難點時有困難，也需要投入更多的時間和精力，但只要能認清教學難點的核心問題所在，并采用恰當的方法，就能夠很好地解決教學難點。數學教學難點所涉及的知識點通常有以下幾個典型特征：有抽象的概念；有多個參數(變量)的計算公式；有復雜的操作過程或計算步驟；有多層次的知識結構，即一個知識點包含有多個概念、多個公式、多個操作過程、多個計算步驟。我們可以針對教學難點的特征找出解決的辦法。

1.2 降低難度

解決教學難點，首先應該降低理解相關知識的難度。人工智能理論中有一種問題求解方法，將一個難度很大的復雜問題分解為幾個難度較小的相對簡單的子問題，然后逐一解決所有的子問題，從而解決整個復雜問題。這種思想方法可以用來處理教學難點，即把一個復雜的知識點分解成幾個部分，教師逐一講解，學生逐一學習、逐一理解，最后經過整合達到理解整個復雜知識點的目標。根據數學教學難點的特征，我們把如何分解教學難點中的知識點歸納如下：

(1)對于包含多個概念的知識點，可以把每一個概念作為一個子問題；

(2)對于層次結構復雜的知識點，可以將各層次的知識點作為一個子問題；

(3)對于包含多個操作(或多個計算步驟)的知識點，可以把若干個聯系緊密的操作(或計算步驟)作為一個子問題；

(4)對于包含抽象概念的知識點，可以首先通過概念的外延屬性列出一些實際例子讓學生形成對抽象概念的初步認識，然后通過概念的內涵屬性給出抽象概念的應用舉例使學生對抽象概念形成完整的理解。

1.3 多層次教學方案

把教學難點分解為若干個子問題后，接下來就是講解這些子問題。由于每個學生的基礎知識各有不同，對知識的理解能力也不一樣，所以學生在接受新知識的時候會出現不同程度的差異。特別是在學習難度較大的知識點時，有些學生聽老師講解一遍就懂了，而有些學生聽了三遍也沒懂。因此，在處理教學難點時要準備多套不同層次的教學方案，進行個性化教學。我們認為，至少應該準備三套不同層次的教學方案：

(1)分解-降難。這是常規教學方案，可在計劃課時內完成教學任務，適用于老師在課堂上對全班同學講解。具體操作如下：按照上文提出的降低難度的方法，將知識點分解為若干個子問題逐一進行講解。采用這一教學方案預計有70%的學生可以完全理解所學內容；另有30%的學生只理解部分知識，沒能完全聽懂的老師所講的內容。因此，需要啟用第二個教學方案。

(2)展開-細化。這是增強型教學方案，針對沒能聽懂全部內容的學生設計的。該方案的實施需要較多時間，因此需要將教學內容做成微課，上傳到“互聯網+”、雨課堂等在線教學平臺上，讓學生課后進一步學習。具體做法是：進一步展開教學知識點，將所教授的知識點分解為更細的小問題，對每一個小問題進行更詳細的講解，并適當增加應用舉例。“展開-細化”教學方案的核心思想是讓學生更清楚地看到知識點的細節部分，提高學生對知識的理解能力。

(3)補充-完善。這種方案是針對基礎知識欠缺、理解能力較差的學生設計的。這種教學方案內容多、學習時間長，因此需要將教學視頻、課件等教學資源制作為微課，上傳到“互聯網+”、雨課堂等在線教學平臺上，讓學生根據自己的情況安排學習時間。如果在實施了第一種教學方案和第二種教學方案后，少數學生還是不能完全理解所學知識，那么可以猜測這些學生聽不懂課的原因不僅是本節課所涉及的新概念和新方法難以理解，而且涉及基礎知識欠缺問題，即沒有理解和掌握好在本次課程教授的知識點所需的前導知識。詳細步驟是：設計一個包括講解新知識點所涉及的前導知識且更為詳盡的教學方案，從多視角、多側面去講解新知識點所包含的所有概念和方法(包含前導知識)，并且要多舉例子。必要時教師還就給予適當的指導。經過這一階段的學習，相信學生應該能夠理解和掌握所學的知識點了[5]。

2 應用舉例

本章以丘維聲編著的經典教材《簡明線性代數》[6]中第2章第2節的內容“n階行列式的定義”為例，說明如何利用本文提出的降低難度的方法來解決數學課程中的教學難點。

可參考丘維聲[6]給出的n階行列式的定義。

定義1～n階行列式

是n!項的代數和，其中每一項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積，把這n個元素按照行指標成自然排序排好位置，當列指標所成排列是偶排列時，該項帶正號；奇排列時，該項帶負號。即

(1)

眾所周知，n階行列式的概念是線性代數課程中的教學重點，也是教學難點。該知識點包含有代數式、順序、逆序、偶排列、奇排列、代數項的符號、求和等多個概念，而且n階行列的概念較為抽象。所以在教學過程中需要進行降低難度處理。下面按“分解-降難”教學方案介紹“n階行列式的定義”的教學案例。

按照上文提出的“分解-降難”教學方案，把n階行列式定義分解為4個小問題，并進行展開來講解。

2.1 對n階行列式的初步認識

教學目標：用普通語言來描述n階行列的定義(不能照教材中的定義念)，讓學生對行列式的記號、代數項的構成、完全展開式的代數結構等概念有一個初步的認識。

展開：一個n階行列式是由n行n列共n2個元素

(2)

按一定要求構成的n!項代數和

(3)

(4)

2.2 構成n階行列式(3)中各代數項的條件

教學目標：了解構成n階行列式中各代數項所包含的元素需要滿足什么條件，如何表示這些代數項。

展開：代數和式(3)中的每一項ai1j1ai2j2…ainjn都是由式(2)中位于不同行、不同列的n個元素的乘積構成。即，ai1j1ai2j2…ainjn一定包含有式(2)中第一行的某個元素，第二行的某個元素，…，第n行的某個元素。因此，代數項ai1j1ai2j2…ainjn可寫成行下標固定排序的形式。

(5)

然后，在方框中分別填入不同的列下標就得到具體的代數項。例如，在式(5)的方框中分別填入2，3，4，…，n-1，n，1就得到一個具體的代數項a12a23a34…an-1nan1。

2.3 n階行列式的完全展開式

教學目標：了解n階行列式完全展開式的結構，準確寫出n階行列式完全展開式的所有項，確保沒有重復也沒有遺漏。

展開：把n個列下標1，2，…，n的所有不同排列分別填入式(5)的方框中就得到n階行列式完全展開式的所有項。由于1，2，…，n共有n!個不同的排列，所以n階行列式完全展開式共有n!項。

例如，4階行列式的展開式共有4!項。按以下方法可快速寫出4階行列式的所有項。

1，2，3，4(0) 1，2，4，3(1) 1，3，2，4(1) 1，3，4，2(2) 1，4，2，3(2) 1，4，3，2(3)

2，1，3，4(1) 2，1，4，3(2) 2，3，1，4(2) 2，3，4，1(3) 2，4，1，3(3) 2，4，3，1(4)

3，1，2，4(2) 3，1，4，2(3) 3，2，1，4(3) 3，2，4，1(4) 3，4，1，2(4) 3，4，2，1(5)

4，1，2，3(3) 4，1，3，2(4) 4，2，1，3(4) 4，2，3，1(5) 4，3，1，2(5) 4，3，2，1(6)

(6)

其中，括號內的數字為排序的逆序數。所以4階行列式完全展開式的不帶符號的所有項為：

a11a22a33a44，a11a22a34a43，…，a14a23a31a42，a14a23a32a41

因為n階行列式是n!項的代數和，所以還要確定每個代數項的符號。

2.4 確定n階行列式(3)中各項的符號

教學目標：掌握根據代數項ai1j1ai2j2…ainjn中元素行下標和列下標排列的逆序數確定該代數項的符號。

展開：n階行列式中代數項ai1j1ai2j2…ainjn的符號由(-1)τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)確定，其中τ(i1i2…in)為行下標排列(i1i2…in)的逆序數，τ(j1j2…jn)為列下標排列(j1j2…jn)的逆序數。

(-1)τ(12…n)+τ(j1j2…jn)=(-1)τ(0)+τ(j1j2…jn)=(-1)τ(j1j2…jn)

因此，上文討論的4階行列式的完全展開式為

a11a22a33a44+a11a23a34a42+a11a24a32a43+a12a21a34a43+a12a23a31a44+a12a24a33a41+a13a21a32a44+a13a22a34a41+a13a24a31a42+a14a21a33a42+a14a22a31a43+a14a23a32a41-a11a22a34a43-a11a23a32a44-a11a24a33a42-a12a21a33a44-a12a23a34a41-a12a24a31a43-a13a21a34a42-a13a22a31a44-a13a24a32a41-a14a21a32a43-a14a22a33a41-a14a23a31a42

(7)

在以上4階行列式完全展開式中，因為每個代數項的行下標排列都是1，2，3，4，即每個代數項的行下標排列的逆序數τ(i1i2…in)都是0。又因為τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)=0+τ(j1j2…jn)=τ(j1j2…jn)，所以a1j1a2j2…anjn的符號由列下標排列的逆序數τ(j1j2…jn)確定。τ(j1j2…jn)為偶數時，a1j1a2j2…anjn的符號為正；τ(j1j2…jn)為奇數時，a1j1a2j2…anjn的符號為負。

在n階行列式的實際計算中，可以按照式(5)的格式填入所有列下標的排列，然后根據行列下標找到對應的元素，再根據列下標排列的逆序數確定各代數項的符號就可以得到n階行列式的完全展開式。例如：

=

(2×2×1×2)+(2×1×2×1)+

(2×3×1×2)+(1×1×2×2)+

(1×1×3×2)+(1×3×1×1)+

(3×1×1×2)+(3×2×2×1)+

(3×3×3×1)+(1×1×1×1)+

(1×2×3×2)+(1×1×1×2)-

(2×2×2×2)-(2×1×1×2)-

(2×1×1×2)-(2×3×1×1)-

(1×1×1×2)-(1×3×3×2)-

(3×1×2×1)-(3×2×3×2)-

(3×3×1×1)-(1×1×1×2)-

(1×2×1×1)-(1×1×3×1)

=-11

最后，由于篇幅太長，本文只討論了“分解-降難”的教學方案，沒有給出“展開-細化”和“補充-完善”的教學方案，讀者可以繼續探討或把這些教學方案應用到其他內容。

3 結語

本文提出一種利用“互聯網+”和雨課堂教學平臺解決教學難點的方法。利用人工智能中問題求解的思想方法來處理教學難點，即把一個復雜的知識點分解成幾個部分，教師逐一講解，學生逐一學習、逐一理解，在理解了各部分知識點的基礎上，最后經過整合達到理解整個復雜知識點的目標。針對基礎知識不同、理解能力有差異的學生，本文提出基于“互聯網+”和雨課堂教學平臺的多版本、多層次的教學方案，實施個性化教學。把經過分解細化的不同版本的教學視頻、課件放到在線教學平臺上，學生可以靈活安排自己的時間并根據自己的需要學習這些以知識點為單元的微課。此外，本文還以“線性代數”課程中的“n階行列式的定義”為例展示了如何處理教學難點的案例。

本文提出的利用“互聯網+”和雨課堂教學平臺解決教學難點的方法可以為其他課程提供借鑒。雖然舉的是數學課程的例子，但其解決問題的方法具有普適性，可以推廣到其他課程。從教學實踐的經驗獲知，降低對知識點理解的難度是解決教學難點的最重要的基礎，沒有捷徑可走，高質量的教學需要在這一部分下功夫。利用“互聯網+”和雨課堂教學平臺實施個性化教學是高校大班教學最有效的辦法之一，值得進一步探討和實踐。