考慮梗腋影響的箱形梁剪力滯效應分析

張玉元，余劍搏,2，張元海

(1. 蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070；2. 四川公路橋梁建設集團有限公司勘察設計分公司，四川 成都 610041)

箱形梁的剪力滯效應是翼板產生縱向位移時，由于面內不均勻剪切變形引起彎曲正應力沿橫向呈曲線分布的一種力學現象[1-3]。在設計計算時，該效應引起的應力峰值應得到足夠重視，否則將無法保證結構的抗裂性能，甚至引發安全事故。為此，國內外學者基于能量變分法[4-12]開展了大量研究，這些研究工作主要體現在：改進的剪力滯翹曲位移模式分析[5-8]、剪力滯剪切效應的聯合求解方法[9]、考慮剪切變形影響的翹曲位移修正模式研究[10]、基于彈性力學方法的翹曲位移函數合理形式探討[11]、考慮翼板變厚度影響的剪力滯效應變分解析方法[12]等，但這些研究均未考慮箱形梁梗腋加勁的影響。箱形梁設計時為改善截面的受力特性，在翼板和腹板的連接處均設有梗腋。已有文獻對考慮梗腋加勁影響的剪力滯效應分析很少。文獻[13]通過建立MIDAS模型，分析了梗腋對波形鋼腹板預應力混凝土剛構橋剪力滯效應的影響。文獻[14-15]運用ANSYS有限元法分析了梗腋對直線和曲線箱形梁靜力特性的影響。可見，梗腋對箱梁剪力滯效應的理論分析還較缺乏，需要進一步研究和完善。

本文在引入梗腋特性參數的基礎上，選取剪力滯效應引起的撓度變化為廣義位移，運用能量變分法建立考慮梗腋影響的剪力滯效應控制微分方程，導出集中和均布荷載作用下簡支箱梁的剪力滯效應解析解。基于某一預應力混凝土簡支箱梁算例，進一步揭示梗腋及其參數變化對箱梁剪力滯效應的影響規律。

1 考慮梗腋的剪力滯控制微分方程

如圖1所示，考慮梗腋影響時箱形梁在任意豎向分布荷載q(z)作用下發生撓曲變形，其橫截面上任一點的縱向位移u(x,y,z)表達為

u(x,y,z)=u0(x,y,z)+uω(x,y,z)=

( 1 )

圖1 考慮梗腋的箱形梁截面簡圖

圖1中，bi(i=1,2,3)為各翼板的寬度，hu和hb為上、下翼板中面到形心軸的距離，h為頂、底板中面之間的距離，tu為上翼板厚度，tb為下翼板厚度，tw為腹板厚度，θ為腹板俯角。

選取余弦函數[7-8]來描述翹曲位移模式，將各翼板剪力滯基本翹曲位移函數ω選取如下

( 2 )

式中：α為懸臂板翹曲位移修正系數，α=(b3/b1)2；β為底板翹曲位移修正系數，β=(b2/b1)2·(hb/hu)。

由式( 1 )可知，第一項變形在材料力學中已解決，現僅對第二項變形(即剪力滯翹曲變形狀態)進行分析。根據幾何方程及胡克定律，結合式( 1 )可得箱梁橫截面任一點的翹曲正應力σω(x,y,z)為

( 3 )

箱形梁發生翹曲變形時，其截面翹曲正應力滿足自平衡條件，即翹曲正應力在面內不合成軸力和彎矩

( 4 )

( 5 )

將式( 3 )分別代入式( 4 )、式( 5 )，經積分運算可得

( 6 )

( 7 )

式中：A為箱形梁橫截面積；Ai為各翼板的橫截面積；Ix為箱梁橫截面對x軸的慣性矩；Ii為各翼板對x軸的慣性矩。

為了描述梗腋對箱形梁剪力滯效應的影響，特引入梗腋特性參數ξ

( 8 )

假設腹板服從平截面假定，運用能量變分法建立考慮梗腋影響的箱形梁翹曲變形總勢能，即

( 9 )

式中：

(10)

(11)

其中：

對總勢能泛函進行一階變分運算，并令δΠ=0，化簡可得考慮梗腋影響的剪力滯撓度變化控制微分方程

(12)

式中：k為考慮梗腋影響的Reissner參數，即

(13)

由微分方程式(12)可得考慮梗腋影響的箱形梁剪力滯撓度變化通解

f=C1+C2z+C3sinh(kz)+C4cosh(kz)+f*

(14)

式中：f*為僅與q(z)荷載分布有關的特解；其余待定系數由具體邊界條件確定。

確定上述4個常數的邊界條件為

(1)固定端：f=0，f′=0。

(2)簡支端：f=0，f″=0。

(3)自由端：f″=0，f?-k2f′=0。

2 考慮梗腋的簡支梁剪力滯效應解答

圖2為跨中受集中荷載P作用的簡支箱梁，對該結構求解剪力滯效應時，根據對稱性，可取左半部分進行分析。

圖2 簡支箱梁跨中作用集中荷載簡圖

由考慮梗腋影響的箱形梁剪力滯撓度變化表達式(14)可知，與分布荷載q(z)相關的特解f*=0。為確定式(14)中的待定系數，可利用以下4個邊界條件求解，即

(15)

聯立上述4個條件確定C1～C4后，代入可得集中荷載作用下考慮梗腋影響的簡支箱梁左半跨撓度變化計算公式

(16)

易知，截面上任一點的縱向應力由初等梁正應力σ0和翹曲正應力σω構成，則集中荷載作用下簡支箱梁左半跨的縱向應力表達為

(17)

根據撓度和應力表達式，可導出箱梁的撓度剪力滯系數λf和應力剪力滯系數λσ表達式

(18)

(19)

圖3為受均布荷載作用的簡支箱梁，由式(14)可知，其撓度變化的特解f*為

(20)

圖3 簡支箱梁作用均布荷載簡圖

為確定式(14)中的待定系數，可利用以下4個邊界條件求解，即

(21)

聯立上述4個條件確定C1～C4后，即可求得均布荷載作用下考慮梗腋影響的簡支箱梁撓度變化計算公式

(22)

均布荷載作用下考慮梗腋影響的簡支箱梁截面任一點縱向應力表達為

(23)

均布荷載作用下考慮梗腋影響的簡支箱梁撓度剪力滯系數λf和應力剪力滯系數λσ計算公式為

(24)

(25)

3 算例分析

以某30 m預應力混凝土簡支箱梁為例，其截面尺寸及計算點位置見圖4。材料為C50混凝土，彈性模量E=3.55×104MPa，泊松比μ=0.167。跨中截面作用集中荷載P=2×800 kN和滿跨均布荷載q=2×80 kN/m；經計算該箱梁的梗腋特性參數ξ=0.133。

圖4 箱梁截面尺寸及計算點位置(單位: m)

3.1 梗腋對剪力滯效應的影響分析

運用Ansys-Solid45單元建立箱梁實體模型，共劃分133 182個節點、114 156個單元，計算并提取跨中截面計算點的縱向應力值；利用本文方法計算考慮和不考慮梗腋時兩種荷載工況下簡支箱梁跨中截面計算點的縱向應力，連同有限元解一同列于表1以便對比；同時列出跨中截面關鍵點的翹曲正應力，如表2所示。

表1 跨中截面縱向應力比較 MPa

由表1可知：集中和均布荷載作用下考慮梗腋的計算結果與有限元數值解吻合更好；集中荷載作用下考慮梗腋影響的箱梁上翼板縱向應力減小了17.0%～20.0%，下翼板縱向應力減小了6.4%～6.7%；均布荷載作用下考慮梗腋影響的箱梁上翼板縱向應力減小了18.4%～19.2%，下翼板縱向應力減小了6.3%～9.0%。

由表2可知，梗腋對箱梁上翼板翹曲正應力的影響較顯著；集中和均布荷載作用下，考慮梗腋影響時頂板肋處的翹曲正應力減小了27.6%和27.1%。

圖5為均布荷載作用下考慮和不考慮梗腋影響的箱梁跨中截面應力剪力滯系數橫向分布圖。由圖5可以看出，梗腋對上翼板剪力滯系數的影響明顯大于下翼板；考慮梗腋時頂板肋處的剪力滯系數減小了0.2%，頂板中點處的剪力滯系數增大了0.3%。

圖6為均布荷載作用下考慮和不考慮梗腋影響的箱形梁撓曲線縱向分布圖。由圖6可以看出，考慮梗腋加勁使箱形梁撓度顯著降低；考慮梗腋影響的箱梁跨中截面初等梁撓度、撓度變化及總撓度減小了11.2%、12.4%和11.3%。

圖5 均布荷載作用下跨中截面應力剪力滯系數橫向分布

圖6 均布荷載作用下箱形梁撓曲線縱向分布

圖7為兩種荷載工況下，考慮和不考慮梗腋影響的箱形梁撓度剪力滯系數縱向分布圖。由圖7可以看出，考慮梗腋影響時兩種荷載作用下各截面的撓度剪力滯系數均減小；集中荷載作用時，撓度剪力滯系數由跨中向兩側支點遞減，均布荷載作用時撓度剪力滯系數的分布規律與之相反。

圖7 箱形梁撓度剪力滯系數縱向分布

3.2 梗腋參數變化對剪力滯效應的影響分析

以圖4為例，在保持截面基本參數、跨度、荷載及材料特性不變的情況下，改變上翼板梗腋尺寸。梗腋高度取25 cm，腹板外側梗腋寬度由120 cm減小至50 cm，步長為10 cm，腹板內側梗腋由75 cm減小至40 cm，步長為5 cm，計算得到相應梗腋特性參數為0.133、0.122、0.110、0.099、0.088、0.077、0.066、0.054。利用本文方法，計算均布荷載作用下跨中截面撓度變化及頂板肋處應力剪力滯系數影響分布，見圖8、圖9。

圖8 梗腋特性參數對應力剪力滯系數的影響分布

圖9 梗腋特性參數對剪力滯撓度變化的影響分布

圖8為均布荷載作用下梗腋特性參數對應力剪力滯系數的影響分布圖，可以看出，應力剪力滯系數與梗腋特性參數近似呈線性關系；隨著梗腋特性參數的增加，頂板肋處的剪力滯系數逐漸減小；梗腋特性參數由0.054增大至0.133時，頂板肋處的剪力滯系數減小了0.13%。

圖9為均布荷載作用下梗腋特性參數對跨中截面撓度變化的影響分布圖，可以看出，撓度變化與梗腋特性參數之間近似呈線性關系；隨著梗腋特性參數的增加，跨中截面撓度變化逐漸減小；梗腋特性參數由0.054增大至0.133時，撓度變化減小了5.3%。

4 結論

(1)本文在定義梗腋特性參數的基礎上，應用能量變分法分析了梗腋對箱形梁剪力滯效應的影響，算例分析表明，考慮梗腋的計算結果與有限元數值解吻合更好，進而驗證了本文方法的正確性。

(2)梗腋對箱形梁剪力滯效應有一定的削弱作用；考慮梗腋的撓度和應力剪力滯系數均小于未考慮的計算結果；梗腋對上翼板應力影響較顯著，均布荷載作用下跨中截面頂、底板肋處的縱向應力減小了19.2%和6.4%，翹曲正應力減小了27.1%和5.4%。

(3)考慮梗腋影響的箱形梁撓度顯著降低；均布荷載作用下箱梁跨中截面剪力滯撓度變化和總撓度降低了12.4%和11.3%。

(4)梗腋特性參數對剪力滯效應的影響近似呈線性分布；隨著梗腋特性參數的增加，跨中截面頂板肋處的剪力滯系數減小幅度較小，撓度變化幅度較大。