積分概念教學中的若干思考

譚莉

（武漢商學院，湖北 武漢 430005）

一、引言

高等數學是理、工科專業學生一門重要的基礎課程，也是很多其他專業的必修課。高等數學一向以其高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性著稱，高等數學主要的研究對象是變量，相對于研究常量和勻變量的初等數學來說，高等數學的難度大大提升了，其中尤其以一些全新概念的出現讓學生感覺困難重重。

數學概念是指數學符號代表的、經過抽象概括的具有共同屬性的數學對象、關系和性質。由于數學概念是抽象思維的產物，所以它具有辯證性、客觀性、合理性等特點；同時數學概念也具有抽象和具體的雙重性，數學概念相互之間也具有邏輯聯系性。而且高等數學的概念基本上都是以運動的面貌出現的，是動態的產物。高等數學中的概念有很多，例如極限、導數、微分、積分等，這其中的很多概念都是貫穿于整個學習過程的，其中積分的概念更是貫穿始終，從一元函數的不定積分到定積分，再到多元函數的二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分，積分的概念和思想在整個高等數學學習中占了很大的比例。在積分概念的講解中應該采取什么樣的方式和手段才能更好地建立概念之間的聯系，幫助學生更好地掌握這個重要的內容是本文主要的研究內容。

二、積分概念講解中應該注意的問題和采取的方法

積分概念的教學要注重建立積分概念的過程，我認為在積分概念的教學過程中應該注意以下幾個問題：

（一）講好積分概念的實際背景

高等數學中的很多概念都是為解決實際問題而產生和發展起來的，有著良好的物理背景或幾何背景，所以在概念引入時利用這些資源，就可以更好地引導和啟發學生在實際問題中理解并掌握概念，進而能夠用所學習的概念解決新的問題。

積分是高等數學中一個重要的概念，是教學的重點，也是難點。定積分的概念起源于求平面圖形的面積和一些其他的實際問題。現行的高等數學教材中一般有兩個實際背景，一個是曲邊梯形的面積，一個是變速直線運動的路程。進行積分概念的教學時，我們需要學生在已知曲線方程的情況下，設法求出以此曲線為一條曲邊的某個曲邊梯形的面積。面對這樣一個問題，我一般首先引導學生和以往學習過的面積問題建立聯系，將已有的知識體系和新的內容鏈接起來。學生們都知道規則圖形的面積的獲得方式，面對復雜圖形，他們也能夠想到用切割的方式來將曲邊梯形的面積轉化成規則圖形的面積和。這里我們會遇到第一個困難，那就是即使對曲邊梯形采取切割手段也不能夠把它全部轉化成規則圖形，因此需要引導學生利用微分的幾何意義考慮小范圍的“以直代曲”。在對曲邊梯形分割之后，在小范圍內將小曲邊梯形近似看作小矩形，這個過程中使用了高等數學中一個常見的處理問題的方式—近似代替，這個方法在引出導數的概念時曾經用過，為了獲得瞬時速度通常會取一較小的時間段，求出在一個較小時間段內的平均速度，用平均速度作為瞬時速度的近似值。這個方法在積分概念的講解中再次出現，也給了同學們啟示，和導數概念中類似，獲得近似值后，分析當分割越來越細會有什么樣的效果，使學生自己意識到通過對分割出的各個小曲邊梯形的近似面積和取極限可以得到曲邊梯形面積的精確值。同理，我們引導學生求出變速直線運動的路程。然后總結一下這兩個不同的實際問題，會發現他們有很多的共同特點，對這些共同特點加以抽象定積分的概念便水到渠成。這樣的處理過程降低了概念講解的難度，同時也讓學生感受到了數學建模的一般過程，有助于學生分析問題和解決問題能力的提升。

（二）數形結合，建立積分概念的幾何意義和物理意義

盡管抽象性是數學概念的突出特點，但是直觀性在高等數學教學中也占有重要地位。在日常的教學中應重視學生數學直觀力的培養與訓練，因為直觀有助于概念的理解和掌握。介紹了定積分的概念之后，為了避免學生把定積分的定義僅停留于機械記憶上，需引導學生根據使用的曲邊梯形的面積這個實例，由易到難逐步尋找到定積分的幾何意義，幫助學生理解概念，讓學生能夠從直觀上把握定積分所表達的內容。在老師的引導下學生完全可以將變速直線運動的路程也用幾何的方式進行表達，學生把定積分的幾何意義理解清楚了才能夠進行知識遷移進而用這樣的方法去理解二重積分的幾何意義。對于幾何意義不好展示的三重積分和曲線曲面積分，可以考慮使用物理意義幫助學生理解概念。

（三）把握積分概念的本質

由以上的討論可以看出，借助于直觀的幾何意義，能很好地幫助學生促進概念由抽象到具體的轉化。但是，想要正確而全面地理解和掌握概念，我們就一定要透過概念的形式揭示出積分概念的內在本質，從而使其成為非常透明的東西，這樣也有助于學生在后續的學習中很好地進行知識遷移。就定積分概念而言，我們在教學中必須適時引導學生跳出狹義的圈子，使學生認識到，定積分與真實現象之間有著一般和特殊的關系，作為抽象思維的產物的定積分具有普遍的意義，它所反映的不是某一種特定事物或現象的量性特征，而是一類事物或現象在量的方面的共同特征。除了曲邊梯形的面積，變速直線的路程以外，它還可以表示曲線的弧長、旋轉體的體積、變力對物體做的功等，事實上，定積分的本質就是無限細分和無限求和，它實際上表達的是一個乘積。在后續的學習中，學生再遇到和乘積有關的量，如果不是均勻變化的，定積分都有類似的意義。理解了這一點學生在后面學習定積分的應用中就能更好地理解和運用相關的方法，也能夠更深刻地體會二重積分、三重積分以及曲線曲面積分的定義。理解了積分的本質，學生就能理解為什么二重積分、曲線曲面積分也可以用類似定積分的過程來解決。

（四）注重積分概念體系的建立

數學中的概念始終是高校教師授課的難點，往往讓學生感覺枯燥，難懂。但是概念不是孤立的，在實際教學工作中幫助學生理清概念之間的聯系，既可以達到更好地理解新概念的目標，同時也有助于建立整個概念體系。筆者認為一個概念體系的建立對于學生把握所學課程有著至關重要的意義。從定積分到重積分、曲線積分、曲面積分，這些積分概念本質上有很多類似的地方，教學過程中教師可以前后聯系，將整個積分概念當作一個完整體系進行介紹，這樣對重積分、曲線積分、曲面積分的概念講解難度就會下降，學生在學習中需重點把握這些積分概念中的不同之處。通常可以使用類比的方法建立概念間的聯系、異同。依靠類比與聯想，可以幫助學生從二維空間進入三維空間直至更高維空間，從有形進入無形，從現實世界進入虛擬世界。

（五）將積分概念的發展史融入概念的講解中

在目前的高等數學教材中，微分內容的學習是在積分內容之前的。但實際上在歷史發展的過程中，積分思想的出現可以追溯到公元前5 世紀的古希臘數學，積分思想的起源要遠遠早于微分思想。現代研究者認為數學概念的學習是學生主體主動利用已有認知結構去構建的過程，在這個建構過程中，應深入到概念形成過程的內部，對數學概念本身獨有的基本發展特征做細致的認知分析。因此在定積分概念的教學中可以借助數學史來設計定積分的概念教學。教學開始之前可以介紹微積分的發展史，著重介紹積分思想的發展過程，通過這個工作可以讓學生對積分概念的形成歷史有一個清晰的認識。再根據老師設置的相關實際問題讓學生逐步把握積分的思想本質，接下來基于這個構建過程就可以水到渠成地抽象概括出定積分的概念。整個教學過程形象而具體，能夠很好地加深學生對積分概念的理解。

數學概念的教學是一個動態過程，也是一種創造性活動。在積分教學的過程中，教師要多思考，善于利用各種方式和手段揭示數學概念的本質，充分調動學生的學習興趣，加深學生對概念的理解，建立完整的概念體系，幫助學生更好地理解和掌握數學概念。