積分上限函數的教學設計及其設計理念

康麗坤

（河北省張家口高新區勝利南路50 號張家口職業技術學院基礎部，河北 張家口 075000）

在高職的高等數學課里積分上限函數這一節的內容是抽象程度比較高的一節，鑒于其在微積分內容中的承上啟下作用，始終是教學過程的重點和難點。在多年的教學實踐中發現，由于概念的抽象導致學生學習過程，多數是“照貓畫虎”，并不理解定義定理的涵義。為了使學生學透，學會，學以致用，以降低抽象性為理念做了此教學設計。

首先，復習定積分的幾何意義，為講解積分上限函數的定義做準備。板書過程中，把幾何意義中講解部分畫的清晰規范，在引出積分上限函數時用該圖（如圖1）。

然后，引導學生將函數的自變量由變為，上面提到的函數圖像中坐標橫軸改為軸。在區間[a,b]上，任意選取x，由定積分的幾何意義得，曲邊梯形的面積可以用定積分表示（如圖2）。

強調，隨著x選取的不同，定積分有不同的值，尤其用幾何意義講解，曲邊梯形的面積隨著改變，由函數的定義可以得出，定積分，是一個以x為變量的函數。接著給出積分上限函數的定義：如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則變動上限的積分是上限x的函數，稱為積分上限函數，記為Φ(x)，即(a≤x≤b)。

為了使 Φ(x)的抽象性再次降低，將函數f(t)和積分下限a，積分上限x分別設為具體的函數和數值。令f(t)=2t，列表如下：

講解表格的設計思路，引導學生手繪函數的圖像，結合定積分的幾何意義進行計算。填寫表格如下：

在填寫表格的過程中，學生對這個函數有了進一步的認識，接下來，組織討論以下幾個問題：

通過假設函數和自變量以及定量的取值，填寫表格，一個十分抽象的函數被具體化了。在這個計算填表的過程中，學生用到了前面學習的定積分的幾何意義，用到了函數求值等知識，體現了溫故知新。在給自變量的幾個賦值后，相應計算函數值過程中，體驗定積分隨著上限變化而變化。整個過程，降低了函數的抽象性。

在高等數學課的教學中，由于教學內容抽象難度，邏輯要求嚴謹縝密，而高職學生學習基礎差，理解能力有限，所以，降低抽象性，是整個教學設計的一個重要的理念。一般問題都可以從三個方面入手，一是將定值具體化，二是將函數具體化，而且具簡單的函數為例，三是數形結合，就是將函數圖像做出來，用幾何意義輔助理解。四是，要注重板書授課，展示函數圖像繪制的過程，函數值計算的步驟，減少對多媒體課件的依賴。