數學教學中滲透直觀想象素養的三重境界

常國良

摘要 直觀想象是數學學科六大核心素養之一，其著重從幾何直觀的視角引導學生感知事物的形態和變化，是核心素養的重要組成部分。但對直觀想象的認知，現階段一線教師往往停留在某一層面，如以“形”輔“數”等認識，忽視了培養直觀想象素養的層次性。

關鍵詞 直觀想象? 以形輔數? 數形結合? 直觀模型

新一輪課改，課程標準制定組確定了數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模、數據分析六條學科核心素養，從思維視角的各個層面，體現了數學教學應該關注的抽象能力、圖形感知、推理能力、運算能力等等發展過程，也預示著數學教學需要從純粹的解題教學轉向數學素養的教學，從問題的解決中去提升學生的數學能力。一線教師應盡可能地在學科教學中滲透學科核心素養，本文以直觀想象素養為例，談一談數學教學中的滲透直觀想象素養的三層境界。

一、形——直面感官想象的能力

新課程標準對于直觀想象的水平認知分三個層次，第一是建立簡單的圖形和實物關系，體會圖形和數量的關系。這一水平層次是引導學生在有圖形結構的前提下，能獲取圖形和數量關系，屬于直觀想象素養培養的第一層次境界，就是對于形的理解、形的繪制、形的思考，也可以稱之為“識圖解題”。

案例1：空間幾何中最小角定理和二面角最大值性質

（2018年浙江8）已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點），設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（? ? ?）。

A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1

分析：本題考查空間幾何中的線線角、線面角、二面角，在同一個幾何體中將三種角置于其中，統一考查。本題的解法多樣，對于未知思維直觀的學生來說，基本是以特殊取值或運算進行求解。

（1）∠SEO即是SE與平面ABCD所成的角θ2，BC是平面ABCD內的一條線，由線面角的最小角特征可知：θ2≤θ1;（2）如圖1，取AB中點M，則∠SMO即是二面角S-AB-C的平面角θ3，OM≤OE，tanθ3=≥=tanθ2，所以有θ2≤θ3;（3）如圖2，過點O作AB的平行線PQ，過點E作BC的平行線，交PQ于點N，易證∠SEN即是θ1，由，SN≥SO，EN=MO，而tanθ3=≤=tanθ1，可知θ1≤θ3，故選D。

價值：直面感官想象，要弄清楚問題的本質，自然需要不斷地加強直觀想象能力的培養。如圖3，從思維直觀的感受來說，教材習題中囊括了最小角定理：平面外直線與平面內直線所成角最小值即為線面角，對于圖1來說，即θ2≤θ1;當點A在棱l滑動時，該線面角∠PAH的最大值即為二面角，即θ2≤θ3，故選D。所以有直面感官想象的能力，我們自然獲得了“興于形”的基本能力，也符合了浙江卷選擇題命題的基本思路：選擇題是選出來的，即排除錯誤的，獲得正確選項的命題理念。

直觀想象素養的起源是以圖形化問題為載體，從圖形中去獲得直面感官想象的能力，即能從圖中獲取合理的思維、減少運算，讓思考從形中入手、讓思維從形端起步、讓思想從形態掌握。

二、思——形成數形結合的思想

中學數學難題的解決，不外乎幾何方法和代數方式，縱觀高考命題不難發現，幾何方法的巧妙往往更受命題者歡喜。高考是選拔性考試，能從兩小時的思維含量中區分更為優秀的學生，幾何比代數來得更為有優勢，而且中學生的代數論證工具和能力都遠遠不夠，幾何方法在初等數學中更受青睞，培養學生形成數形結合的問題解決思想顯得更為重要。直觀想象素養的第二重境界，恰是對于數形結合進一步思考的意義所在，要在看不到圖形的地方挖掘圖形，體現思維的價值，這正是“思”的意義。

案例2：min{max|f（x）|}問題的通性研究

2018年4月浙江省高中數學競賽12）設a∈R，且對任意實數b均有|x2+ax+b|≥1，求a的取值范圍。

分析：本題是min{max|f（x）|}的通性問題，難度較大，理解較為困難。從參考答案等常規分析來看，分類討論的介入必不可少。但是對于學生而言，函數問題從圖形角度思考，是更直接和直觀的想法，因此滲透直觀想象的第二層境界，不斷培養數形結合的思想成為關鍵。

形成數形結合的思想：將|x2+ax+b|=|x2-（-ax-b）|=|f（x）-g（x）|，則從圖象中可知原題的圖形本質是在同一個橫坐標處，兩點間的距離。如圖4，f（x）為曲線MN，g（x）是直線，不難發現，因為直線的斜率和截距均在變化，所以在變化過程中，其兩點間最大距離可能在x=0處、x=1處以及拋物線f（x）=x2的某一點處，每一次一條固定的直線均有這個距離的一個最大值，這么多最大值中總有一個最小的，本題的含義恰為此。讓直線動起來，從動態變化中不難發現，當直線恰為MN時，總有一個Q點到其距離最大，因此利用切比雪夫最佳逼近原理可知：Kmn=1，Q點處的切線斜率也是1，則能產生min{max|f（x）|}的直線g（x）即能保持三個點到該直線的縱向距離是相等的，達到所謂的“平衡狀態”即可。

價值：形成數形結合的思想，是一個長期訓練和培養的結果，初等數學正是因為代數工具的欠缺以及機械化運算的不足，才會努力通過幾何化方式去尋求問題的解決，這種解決往往提升了思維的層次性，培養了直觀想象的素養和能力，成為識圖解題后的更高境界——構圖解題。

三、新——構建直觀模型的體系

前兩個層次的學習，可以成為一名優秀的學者，但缺乏水平層次三，尚不能稱之為出色。究其原因，以識圖解題、構圖解題均在知識范疇之內尋求問題的解決，但是數學學科核心素養是致力于學生最終脫離解題之外的數學思考、價值導向，在看不到數學的地方用數學的知識解決問題，才是核心素養真正融入思維的關鍵。因此，直觀想象素養的第三重境界，正是以創新為主導，在自身已有的知識下，進一步從所學維度拓展到更高維度的認知，這才是課程標準數學學科核心素養最終的價值體現。

案例3：利用基底尋求直觀模型的建構

如圖5，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動，且=x+y，則x的取值范圍是_________;當x=-時，y的取值范圍是_________。

分析：向量問題既可以從代數入手，也可以從幾何切入，從直觀想象的視角來看，我們可以用基底的視角去思考，用類似直角坐標系（即斜坐標系）的方式思考，見圖6。

P點所在位置位于斜坐標系陰影區域，因此x<0y>00

原創變式：如圖7所示，點O∈平面A'B'C'∥平面ABC，點Q在三棱錐OABC內部運動（不含邊界），記=x+y+z，則x的取值范圍是多少？若x=時，則y+z取值范圍是多少？

分析：以OA→x軸，OB→y軸，OC→z軸建立空間斜坐標系，Q點所在區域滿足線性約束條件：x>0，y>0，z>0，0

說明：從向量基底的學習來看，不能就題論題，直觀模型體系的培養要從二維基底到空間三維基底，這種學習是基于教師滲透、學生感悟，將知識靈活掌握、形成創新的立意、獲得更好的理解，久而久之形成了真正的直觀想象素養的更高境界。

綜上，于教師而言，真正將核心素養進行落地，需要一線教師在認真研學課程標準的基礎上，融入自身教學的思考，這種既能理解課程又能發展學生素養的教學才是符合時代要求的教學，才是與時俱進的教學。于學生而言，直觀想象素養基于圖形化的解決問題策略是第一層次，進一步深思，不難發現有數形結合思想孕育其中，但是最難的是如何真正建立獲得學生思維層次提高的直觀模型，這種循序漸進的教學才是直觀想象素養落地的真思考、真行動。于教學而言：興于形——初等數學要注重幾何圖形的掌握，立于思——問題解決要關注數形結合的魅力，成于新——類比學習要尋求思維創新的突破。因此直觀想象素養恰恰是要求教師將這種啟發、引導、創新帶給學生，從而提高學生直觀想象能力和思維的含量，獲得更好的學習效果和學習體驗，是為直觀想象素養三境界。

參考文獻

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【責任編輯? 郭振玲】