始于推理，終于素養(yǎng)
——探究小學(xué)生推理能力的培養(yǎng)

江蘇省常熟市花溪小學(xué) 查春暉

隨著新課程改革的不斷深化和突破，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》明確提出本學(xué)科的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析。由此可見，國家十分重視高中教育階段學(xué)生推理能力的發(fā)展。

推理具有高度的抽象性和縝密的邏輯性，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不作為專門的學(xué)習(xí)內(nèi)容進行考核，課堂教學(xué)中教師對推理的滲透可有可無。小學(xué)階段對于數(shù)學(xué)推理內(nèi)容的忽視，直接導(dǎo)致了這部分學(xué)生在初高中里證明題解題思路不清晰。因此，對小學(xué)階段學(xué)生推理能力的學(xué)情進行深入調(diào)查，幫助學(xué)生建立嚴(yán)謹(jǐn)有序的分析方法，引導(dǎo)學(xué)生用更全面的數(shù)學(xué)眼光去觀察問題，改進教學(xué)方法以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理潛能迫在眉睫。

一、如何理解推理能力

推理是從已知條件逐步推出新結(jié)論的一種定向思維活動。小學(xué)階段小學(xué)生接觸較多的推理活動有合情推理和演繹推理。合情推理，是根據(jù)已有的某些事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，進行歸納、類比，然后以猜想形式得出結(jié)論。而從一般性的定義或特點出發(fā)，對某種特殊情況作出判斷，我們把這種推理稱為演繹推理。在學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中兩種推理方式功能不同，相輔相成。

二、如何發(fā)展推理能力

（一）轉(zhuǎn)變思想，樹立推理的正確觀念

1.教師正視

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，每一個正確答案背后都藏著嚴(yán)密的推理過程，但由于學(xué)生的思考過程具有隱性特征，所以往往容易被忽視。對于教師而言，要轉(zhuǎn)變教育理念，開展多樣化的數(shù)學(xué)活動，設(shè)置有趣的蘊含著推理思維的活動，提供一個自由的環(huán)境供學(xué)生思考，讓學(xué)生大膽地進行猜想，仔細(xì)地推敲理由，完整地解釋說明，重視對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。見過這樣一個教學(xué)片斷：有一位快退休的教師告訴學(xué)生她的年齡是6 和4 的倍數(shù)，猜猜是幾歲，結(jié)果學(xué)生猜42 歲、46 歲等都被教師否定了，多名學(xué)生猜錯后一個學(xué)生就湊熱鬧猜26 歲，明顯不符合教授的外貌特征。平時學(xué)生進行猜想時，教師要提醒學(xué)生有依據(jù)地猜。課堂中學(xué)生常常愿意表述自己的結(jié)論，但往往畏懼表達(dá)得出結(jié)論的思考過程，這時教師可以鼓勵學(xué)生說一說。“你是怎么想的？你能說說你的想法嗎？”這樣日積月累讓學(xué)生在說理和聽理的過程中埋下推理的種子。

2.家庭珍視

兒童生來帶有很多的問號，對于生活現(xiàn)象具有強烈的探究欲望，當(dāng)孩子問“為什么”的時候，家長要盡量耐心解釋并表示支持和鼓勵。為了讓孩子養(yǎng)成良好的邏輯能力，放學(xué)回家后可以先讓孩子想一想回家先做什么，再做什么，養(yǎng)成有序做事的習(xí)慣；遇到孩子任性的時候，可以讓他想一想這樣做的后果是什么，厘清事情之間的因果關(guān)系；孩子敘述一件事情時，家長可以鼓勵孩子用“第一”“第二” “第三”“首先”“其次”“最后”這樣的順序詞進行表達(dá)，使思維更有條理。

（二）留心引導(dǎo)，培養(yǎng)有序的觀察方法

數(shù)學(xué)中的規(guī)律往往掩藏于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)中，具有隱性特征，小學(xué)生年齡小，感知能力差，難以沉著、周密、全面地進行推理分析。因此，教師需要更加重視數(shù)學(xué)材料的組織加工，可以指導(dǎo)學(xué)生一次選擇少數(shù)事物作為觀察對象，通過多次觀察，在分析、對比中透過表象全面認(rèn)識事物內(nèi)部和外部、某事物同其他事物之間多種多樣的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。

例如：在講到《乘法分配律》時，我先讓學(xué)生比較（5+4）×3=5×3+4×3和（6+3）×5=6×5+3×5 這兩個等式的共同點，由于整個客觀事物較復(fù)雜，學(xué)生可能有選擇地以其中的少數(shù)事物作為感知對象。首先教師可以有目的性地設(shè)計板書，將這兩個等式對齊書寫，方便學(xué)生對比觀察，并預(yù)留一定的時間，讓學(xué)生彼此討論分享自己觀察到的信息。有的孩子可能不知道從哪里看起，教師可以在疑惑的同學(xué)身邊指導(dǎo)一下，提示學(xué)生可以按三種順序觀察，等于號左邊兩個式子有什么共同之處，等于號右邊兩個式子有什么共同之處，等于號左右兩邊又有什么共同點。把這種有序觀察的方法教給學(xué)生，幫助學(xué)生聚焦關(guān)鍵信息，突出有效特點，對等式進行整體的觀察，歸納概括出等式的變化規(guī)律。同桌之間的交流討論，思想碰撞，說出自己的思考方向，推理出新的結(jié)論等，也能夠擴展學(xué)生思維的廣度和深度。最后，讓學(xué)生自己寫一些符合規(guī)律的等式，并驗算是否成立，目的是將學(xué)生從特殊現(xiàn)象得到的一般結(jié)論再應(yīng)用到新的特殊現(xiàn)象中，經(jīng)歷“特殊→一般”的合情推理，和“一般→特殊”的演繹推理，積累多樣的推理活動經(jīng)驗，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

學(xué)生在獨立思索和與教師、同伴的互動中能夠及時持續(xù)地反思自己的觀察角度及思考過程，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察問題的習(xí)慣，增強認(rèn)識與理解事物規(guī)律的敏銳性，為學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活奠定基礎(chǔ)。

（三）親歷活動，積累有效的推理經(jīng)驗

推理經(jīng)驗是一種基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，一般是從學(xué)生動手操作和思維活動中獲得，它不像“基本知識”和“基本技能”一樣容易考察和評估，我們需要關(guān)注特殊的教學(xué)材料，利用寶貴的材料將推理的過程放大放寬，讓學(xué)生體驗由此及彼的推理過程。

如在教授數(shù)學(xué)書六年級下冊第65頁的“動手做”時，課前布置學(xué)生制作簡易支架，既為實驗活動提供必要的器材，也使學(xué)生對簡易支架有一些感性認(rèn)識。第一次活動引導(dǎo)學(xué)生從離中心點相等距離、掛相同個數(shù)的珠開始研究，由于是相同個數(shù)的珠分別掛在兩側(cè)，學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗立馬猜想到掛在離中心點距離相等的位置，支架才會平衡。接著教師不厭其煩地讓學(xué)生進行實驗驗證，實驗不僅可以驗證猜想，還能讓學(xué)生認(rèn)識到支架兩側(cè)掛珠的情況實際上是復(fù)雜多樣的，但也可能存有規(guī)律。這自然引起了學(xué)生的好奇心和求知欲，于是教師順勢拋出“支架的兩側(cè)是不是平衡，應(yīng)該與什么有關(guān)”這一問題，引發(fā)學(xué)生思考，并初步認(rèn)識到支架的平衡與珠離中心點的距離以及珠的個數(shù)有關(guān)。

接下來，研究兩側(cè)的珠離中心點距離不同的情況，教師先在左側(cè)第4個孔掛2 個同樣大的珠，問學(xué)生要使支架平衡應(yīng)在右側(cè)的第2 個孔掛幾個珠呢？先在小組里交流想法，然后動手實驗驗證。最后總結(jié)想法時有學(xué)生有了“如果一側(cè)掛珠的孔離中心點的距離是另一側(cè)的幾倍，那么，另一側(cè)掛珠的個數(shù)就要是這側(cè)的幾倍”的大膽猜想，學(xué)生操作得到驗證后，教師繼續(xù)引導(dǎo)：“還有其他擺的方法也可以平衡嗎？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)右側(cè)第1 個孔掛8 個珠，或第8 個孔掛1 個珠都可以。“看來珠子的個數(shù)和珠離中心點的距離都不相同時也會平衡，這種復(fù)雜的情況里也有著規(guī)律嗎？”教師順勢讓學(xué)生進行第三次活動來驗證，放手讓學(xué)生繼續(xù)探索，學(xué)生在活動單上記錄多種天平平衡的情況，全班交流匯總后，得出結(jié)論：左側(cè)支架珠子的個數(shù)×左側(cè)珠離中心點的距離=右側(cè)支架珠子的個數(shù)×右側(cè)珠離中心點的距離。

波利亞認(rèn)為：“說得直截了當(dāng)一些，合情推理就是猜想。”在課堂中，教師鼓勵學(xué)生親歷觀察、猜想、歸納、驗證等過程，不但符合發(fā)現(xiàn)規(guī)律尋找真相的流程，也會促進學(xué)生思維品質(zhì)的提升，使學(xué)生的推理愈發(fā)縝密，使得學(xué)生的感性經(jīng)驗逐步上升為理性經(jīng)驗，將推理能力的培養(yǎng)融合在了活動的過程中，內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（四）激發(fā)潛能，設(shè)計有難度的推理任務(wù)

課堂上的問題，有一些學(xué)生輕而易舉就能找到答案，這類問題有可能屬于思維含量不高的問題，有可能問題里包含的知識屬于學(xué)生的已有水平，這樣的問題價值并不高，也讓學(xué)生惰于思考。真正具有探索價值的任務(wù)應(yīng)比學(xué)生的已有知識和已有水平稍高一些，讓學(xué)生產(chǎn)生努力“跳一跳，摘桃子”的沖勁。

例如：五年級教學(xué)三角形面積公式的推理時，教材上直接給出兩個一模一樣的三角形，便于學(xué)生拼成平行四邊形后，利用轉(zhuǎn)化的思想推導(dǎo)出三角形的面積公式。我教學(xué)時改編了教學(xué)方法，給學(xué)生發(fā)了8 個三角形（其中3 組里的每2 個三角形完全相同，還有2 個不同的三角形作為干擾項），隨后讓學(xué)生按要求操作：①拿出兩個三角形拼出平行四邊形。②仔細(xì)觀察，拼成的平行四邊形和原來的三角形的面積、底和高分別有什么關(guān)系。③三角形的面積公式是什么，和同桌說一說你的想法和理由。

同樣都是對于三角形面積公式的推導(dǎo)教學(xué)，稍作改動把“淺顯”轉(zhuǎn)化為“深刻”，增加了選擇素材的難度，讓學(xué)生在轉(zhuǎn)化成平行四邊形時遇到困難和挫折，不易之處其實就是觸及核心問題之處，在失敗的嘗試中學(xué)生會自覺觀察、思索為什么無法拼成平行四邊形，于是在“失敗——調(diào)整——成功”的不斷嘗試中發(fā)現(xiàn)只有完全一樣的兩個三角形才可以拼成平行四邊形，也把思考聚焦到三角形的底和高上，因為完全相同的三角形的底和高一樣長，所以便于拼成平行四邊形。然后我再引導(dǎo)學(xué)生比較轉(zhuǎn)化前后三角形和平行四邊形的聯(lián)系，學(xué)生在思考的過程中，一步步深入，最后推導(dǎo)出三角形面積公式，準(zhǔn)確地說出自己推理證明的過程。

數(shù)學(xué)推理能力能讓人遇事更謹(jǐn)慎，遇急事能迅速冷靜下來分析情況，有助于處理日常生活問題，是當(dāng)代生活中不可或缺的一種能力。實際上，這樣的能力在學(xué)校生活中應(yīng)該得到重視和發(fā)展，這與學(xué)生的數(shù)學(xué)能力發(fā)展是一脈相承的，不光在高中教育階段，在義務(wù)教育階段也應(yīng)培養(yǎng)小學(xué)生的邏輯推理能力，形成良好的思維品質(zhì)。