圓盤約束下抵御傳感器故障的靜態輸出可靠控制

姚 波, 葉倩玉, 武全勝, 王福忠, 何 新

(1.沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034;2.朝陽師范高等專科學校 數學計算機系, 遼寧 朝陽 122000; 3.沈陽工程學院 基礎部, 沈陽 110036)

隨著現代工業系統對安全性和可靠性需求的不斷增加,尤其是飛機、航天器和核電站等系統。線性系統的穩定性分析和可靠控制器設計的綜合問題吸引了越來越多的研究者的關注[1-4]。在實際系統中,由于傳感器或執行器的老化和電磁干擾等問題,故障經常會發生,可能會導致系統性能無法承受[5]。因此,引入了可靠控制方法[6-8]來應對執行器和傳感器的故障,并進一步保持系統的穩定性和性能指標。傳感器容易發生故障,而且與執行器相比,傳感器故障可能會導致更嚴重的情況。因此,為了提高系統的可靠性和安全性,已開發出各種可靠的控制技術,以補償傳感器故障并保持閉環系統的性能。文獻[9]針對不確定線性系統執行器出現混合故障的模型,通過求解線性矩陣不等式完成狀態反饋可靠控制器的設計。然而狀態反饋控制器在實際控制工程中,往往不能直接觀測得到,對系統進行控制是難以實現的。那么,考慮輸出反饋對系統進行控制,其中動態輸出反饋控制器有消耗資源過大的弊端[10],所以靜態輸出反饋控制器是一種基于控制理論的有效控制策略,被廣泛應用于飛行器和工業控制過程中[11-12]。這一方法的好處在于可直接測量獲得數據,但所得到的結論難于求解。此外,系統的瞬態性能對于實際工程中也是至關重要的,主要取決于系統極點的位置。將系統的極點分配到某些特定區域,則可以獲得相應的良好瞬態性能[13-15]。

本文利用凸組合方法處理故障[16],通過數學方法把結論轉化為線性矩陣不等式(LMI)形式,應用MATLAB中LMI工具箱求解線性矩陣不等式,獲得可行解。將極點約束在特定的圓盤區域內,以獲得相應的良好瞬態性能。無論是否發生傳感器單故障,系統的極點均配置在特定的圓盤區域內且保持漸近穩定。

1 問題描述

考慮線性定常系統:

(1)

其中:x(t)∈Rn為系統的狀態變量;y(t)∈Rm為系統的測量輸出變量;u(t)∈Rp為系統的控制輸入變量;A,C為適維矩陣;B為適維列滿秩矩陣。

傳感器連續增益單故障矩陣模型為yf(t)=Fsy(t)。其中y(t)∈Rm為傳感器正常信號向量,yf(t)∈Rm為考慮傳感器單故障的信號向量,Fs為傳感器單故障矩陣,其形式為

其中,fsi為第i條傳感器通道上的增益值,且滿足

考慮傳感器故障的信號向量yf(t)就可以表示為

yf(t)=[y1(t),…,yi-1(t),fsiyi(t),yi+1(t),…,ym(t)]T

這種故障形式稱為任意單一故障。任意單一故障具有如下2個特點:1)在m個傳感器中,任意一個傳感器都可能出現故障;2)最多只有一個傳感器出現故障。

故障處理(凸組合法)

考慮傳感器單故障,設

設集合

以上描述的傳感器單故障矩陣集合可以推廣到任意傳感器多故障矩陣集合中,因此在實際應用中,傳感器部件從單一故障到多故障均可采用此方法設計的控制器進行可靠控制,并且大大減小了只從多故障角度設計控制器的保守性。

引理1 已知S是n×n正定矩陣,B是n×m列滿秩矩陣(m≤n),則矩陣BTSB可逆。

證明 利用反證法,及S是n×n正定矩陣,可得BTBX=0有非零解;又因B是列滿秩矩陣,所以BTBX=0只有零解,矛盾。所以BTSB可逆。

2 主要結論

2.1 基于圓盤約束的線性系統靜態輸出反饋控制器設計

對線性系統(1)引入靜態輸出反饋控制器:

u(t)=Ky(t)

(2)

由此得到閉環系統:

(3)

定理1 對于閉環系統(3),存在靜態輸出反饋控制器(2),使所有特征值均在半徑為r,圓心為(-q,0),(r>0,q>0)的圓盤中的充分必要條件是對于正定矩陣P和矩陣U,W使得下列線性矩陣不等式組(LMI):

(4)

存在可行解。如果可行解為(P,U),則相應的靜態輸出反饋控制器增益矩陣K=W-1U。

其中,W可以由PB=BW求得。

證明 由引理2可知,存在正定矩陣P使閉環系統(3)的極點配置在指定的圓盤區域內,令PB=BW,WK=U,可得式(4)。

下證W可逆:

由B為列滿秩矩陣,對等式PB=BW兩邊左乘以BT得BTPB=BTBW,則W=(BTB)-1BTPB,即BTPB可逆,由引理1可知BTPB可逆,故W可逆。

綜上,定理得證。

2.2 基于圓盤約束的線性系統傳感器故障的靜態輸出反饋可靠控制器設計

當線性系統發生傳感器故障,系統可以描述為

(5)

對系統(5)引入靜態輸出反饋控制器:

u(t)=Kyf=KFsy(t)=KFsCx(t)

(6)

由此得到閉環系統:

(7)

定理2 對于閉環系統(7),存在靜態輸出反饋可靠控制器(6),使所有特征值均在半徑為r,圓心為(-q,0),(r>0,q>0)的圓盤中的充分必要條件是對于正定矩陣P和矩陣U,W使得下列線性矩陣不等式組(LMIs):

(8)

i=1,2,…,m;j=1,2

存在可行解。如果可行解為(P,U),則相應的靜態輸出反饋控制器矩陣增益K=W-1U,其中W可以由PB=BW求得。

證明 由引理2可知,存在正定矩陣P使閉環系統(7)的極點配置在指定的圓盤區域內必須滿足

即

令PB=BW,WK=U,得

(9)

故有

W可逆的證法與定理1相同(故省略)。綜上,定理得證。

3 數值仿真

考慮系統:

易知開環系統極點為λ={0.732 1 -2.000 0 -2.732 1},因此系統不穩定,其中極點0.732 1不在半徑為r=3.6,中心為(-3.6,0)的圓盤中。

圖1 極點配置在圓盤區域內

再考慮傳感器發生單故障情況F=diag(fs1,fs2),其中0.1≤fs1≤2.4,0.2≤fs2≤1.4,在原有的反饋控制器的作用下,閉環系統的部分極點跳出特定圓盤區域,如圖2所示。

圖2 系統發生傳感器故障,部分極點跳出圓盤區域

圖3 帶有可靠控制器的系統,全部極點落在圓盤區域

4 結 論

針對線性系統,研究了具有傳感器連續增益單故障的情況下,采用線性矩陣不等式(LMI)處理方法,利用連續故障模型凸組合方法,給出了閉環系統在圓盤約束下的可靠控制器的設計。數值仿真將傳感器各通道可能發生的故障情況均展現出來,靜態輸出反饋可靠器均能保證系統的極點在圓盤約束內且系統保持漸近穩定,保證了工程領域的高精度要求。