三維打印工件的熱殘余應力和變形解析解

張釗燊，舒小平

(江蘇海洋大學機械工程學院，連云港 222005)

0 引 言

三維打印(3D Printing)技術近年來發展迅速,其主要包括熔融沉積(fused deposition modeling)[1-2]、選區激光燒結(selective laser sintering)[3]、分層實體制造(laminated object manufacturing)[4]、光固化成型(stereolithography)[5]等，工藝特點是逐層制備。目前三維打印技術存在一個共性問題，即材料會產生熱殘余應力和變形，從而影響成形質量[6]；各層材料間的性能差異以及成形過程中的溫度梯度是引起該現象的主要原因。以往主要針對各層材料性能差異[7-8]來進行模擬[9-10]與試驗[11]研究，然后對制備工藝進行優化[12]；但這些研究均是基于“同步降溫”假設而進行的，認為各層制備完成后均從制備溫度同步降至室溫，而實際的降溫過程是動態的。作者團隊依據實際成形工藝，首次對分層實體制造技術提出“梯度降溫”的概念[13-14]，充分考慮了成形過程中各層制備和降溫的時差。這種基于制備過程熱殘余應力和變形的分析雖然難度增加，但因其更接近實際情況而顯著提升了分析精度。梯度降溫概念目前已應用于更為復雜的復合材料增材制造熱殘余應力和變形問題研究[15]。

除成形過程中的梯度降溫現象外，底板對三維打印工件熱殘余應力和變形的影響也通常會被忽略。個別打印工藝，如在類固態流體中的懸浮打印，可以不用底板。但大部分三維打印工件是在一塊剛度較大的底板上逐層制備而成的，工件和底板粘連，打印完畢后再進行分離。打印過程中，底板因剛度大，彎曲變形小，會使工件產生面內熱變形。去除底板后，解除約束的工件會進一步發生變形，甚至彎曲。因此，必須考慮底板的影響以進一步提高三維打印成形件的制造精度。

作者引入底板和動態降溫梯度兩個要素，構建了熱殘余應力和變形的解析表達式,分析了打印過程中工件的熱殘余應力和變形，以及底板因素對工件熱殘余應力和變形的影響。因熱殘余應力和變形主要由沿厚度方向的溫度梯度引起，為計算方便，不考慮平面內的溫度梯度。

1 底板去除前的熱殘余應力和變形

假設工件分n層打印，取中面為坐標z的原點，第j層上下界面的z坐標記為zj和zj-1，厚度為hj。第j層材料的彈性模量、泊松比和熱膨脹系數分別記為Ej， j和αj，底板的記為E0， 0和α0。由于底板剛度大，因此工件剝離底板前可視為只產生平面內的熱變形，無彎曲變形。

工件打印過程中符合以下物理方程：

(1)

式中：σx和σy分別為x和y方向的應力；εx和εy分別為x和y方向的應變；t為溫差。

因材料各向同性，故熱殘余應變ε在x和y方向相等，即εx=εy=ε，熱殘余應變導致的熱殘余應力σ在x和y方向也相等，即σx=σy=σ。因此，以下推導不再分x和y方向，式(1)可簡化為

(2)

三維打印成形過程中，由于打印存在時差，各層逐次降溫使得沿厚度方向形成明顯的隨時間不斷變化的溫度梯度，成形完成后各層再整體降至室溫。為便于建模，每層的溫度梯度取其平均值，將工件制備和降溫的動態過程近似分解成以下步驟。

(3)

(4)

(5)

(6)

以此類推，第j層(j=2,3,…,n-1)成形完畢制備第j+1層時，

(7)

(8)

三維打印成形過程中產生的熱殘余應變可分別由式(4),式(7),式(8)計算得到。

2 底板去除后的熱殘余應力和變形

打印完成后，工件須從底板上剝離，剝離后的工件會重新達到力的平衡和變形協調。這個過程既會產生面內變形，也會產生彎曲變形，實際變形為兩者的疊加。下面分別對兩種變形進行分析。

2.1 面內變形和應力

假設去除底板后各層繼續產生的面內應變為ε(n+1)，則其熱內力為

(9)

由截面內力平衡得

(10)

(11)

2.2 彎曲變形和應力

設工件在x和y方向的彎曲變形曲率分別為Kx和Ky，則第j層的彎曲熱殘余應力σxjM和σyjM為

(12)

式中：δx和δy分別為y-z截面和x-z截面的彎曲中心到中面(z=0)的距離。

因材料各向同性，即δx=δy=δ，Kx=Ky=K，因此式(12)可簡化為

(13)

由于工件不受外力作用，面內應力σjN和彎曲應力σjM形成的截面力和截面彎矩為0，即

(14)

解得

(15)

(16)

由式(15)和式(16)分別得到兩個表征彎曲變形的幾何參數δ和K，代入式(13)可計算得到彎曲變形引起的熱殘余應力σjM。

由于曲率K為常數，板會彎曲成一個半徑為1/K的球面，梁會彎曲成一段半徑為1/K的圓弧，為了便于測量，彎曲變形也可以用撓度w表示。若取中點為坐標原點，梁和板由熱彎曲變形引起的撓度可以分別表示為

(17)

(18)

式中：l為梁型工件的長度。

2.3 應力合成

底板去除后，工件總的熱殘余應力σj為面內應力σjN和彎曲應力σjM之和，即

σj=σjN+σjM

(19)

3 底板拆除時刻的影響

三維打印時，底板可以在成形完成后立即拆除，也可以在工件冷卻至室溫后拆除。下面針對底板拆除時間對熱殘余應力和變形的影響進行討論。

(1) 若工件打印完成后立即拆除底板，則工件內各層熱內力為

(20)

截面內力之和為

(21)

(2) 若工件打印完成后降至室溫時再拆除底板，則工件內各層熱內力為

(22)

截面內力之和為

(23)

兩種情況下，第n層制備完成前的應變相同，即

(24)

由式(22)(24)可得

(25)

由式(11)和式(16)可知，兩種情況下工件面內熱殘余應力、彎曲變形程度和彎曲應力均相同。可見，不同的底板拆除時間不會影響工件的熱殘余應力和變形程度。

4 無底板時的變形和應力

若不考慮底板的影響，各層打印成形后的面內應變和應力可以簡化為

(26)

(27)

彎曲變形和彎曲應力的計算公式不變。

5 算例驗證

5.1 可靠性驗證

通過試驗驗證上述解析解的可靠性。以艾格特ABS 3.0mm 3D通用線材為原材料，使用ANYCUBIC I3 MEGA三維打印設備制備ABS梁型工件。工件長200 mm，共沉積25層，工藝參數如表1所示。工件的熱膨脹系數為11.0×10-5K-1，彈性模量由UTM5305型電子萬能試驗機測得，為1 075 MPa。底板材料為晶格玻璃，彈性模量為60 GPa，厚度為4 mm。不同底板溫度下打印得到的ABS梁型工件如圖1所示。

表1 三維打印工藝參數Table 1 3D printing process parameters

圖1 不同底板溫度下打印得到ABS梁型工件的宏觀形貌Fig.1 Macromorphology of ABS beams printed at different platform temperatures

由圖2可以看出，不同底板溫度下，工件最大撓度的試驗值和解析解均反映了相同的規律，即底板溫度越高，三維打印工件的熱變形越小，且兩者誤差在4%12%之間，表明了解析解的可靠性。

5.2 工藝參數的影響

采用聚苯乙烯粉末進行三維打印，以驗證工藝參數的影響，其彈性模量為3.6 GPa，熱膨脹系數為8×10-5K-1。底板為鋁板，厚度為4 mm，彈性模量為69 GPa，熱膨脹系數為1.9×10-5K-1。工件厚度為10 mm，分5層打印，打印溫度為110 ℃，室溫為10 ℃。

為方便對比和討論，使用同一算例比較不同打印工藝的熱殘余應力，沿厚度方向的降溫按以下4種模式進行。

模式1：底板在制備過程中保持80 ℃恒溫；工件在制備過程中溫度沿厚度(從當次打印層到底板)呈均勻梯度分布。

模式2：底板在制備過程中保持60 ℃恒溫；工件在制備過程中溫度沿厚度呈均勻梯度分布。

模式3：底板預熱至80 ℃，在制備過程中勻速降溫，每次的降溫幅度為20 ℃；工件在制備過程中溫度沿厚度呈均勻梯度分布。

模式4：不考慮底板的影響，工件在制備過程中溫度沿厚度呈均勻梯度分布。

使用無量綱厚度z/h對數據進行歸一化處理，z為厚度坐標，h為工件厚度。由表2和圖3可知，底板恒溫狀態下，其溫度越接近制備溫度(110 ℃)，打印過程產生的降溫梯度就越小，熱殘余應力也越小。并且各層界面處(同一深度)存在兩個不同的殘余應力，這是由三維打印過程中沿板厚形成的溫度梯度使各層收縮率(熱應變)不同所導致的。

圖3 不同底板溫度下熱殘余應力沿厚度的分布Fig.3 Distribution of thermal residual stress along the thickness at different platform temperatures

由表2和圖4可知，打印過程中底板保持恒溫(模式1)有利于降低制備過程中的溫度梯度，使制備結束后底板與工件同時降到室溫時產生的熱殘余應力最小。若制備過程中底板自然勻速降溫(模式3)，各層溫度梯度增加，熱殘余應力亦會因此增大。

圖4 不同底板降溫模式下熱殘余應力沿厚度的分布Fig.4 Distribution of thermal residual stress along the thickness under different platform cooling modes

由表2和圖5可知：底板的存在(模式1)會大幅降低三維打印工件的熱殘余應力和變形，其原因為底板較高的剛度及保溫措施能夠減少已打印層的收縮應變，從而減少各層間的應變差，去除底板后，因變形協調引起的熱殘余應力會顯著下降；對于含有底板的三維打印工藝，忽略底板對熱殘余應力的影響會導致分析結果產生很大的誤差，因此必須對不考慮底板的解析解[8-10]予以修正。

圖5 考慮和忽略底板情況下熱殘余應力沿厚度的分布Fig.5 Distribution of thermal residual stress along the thickness with and without platform

6 結 論

(1) 引入底板和動態降溫梯度兩個關鍵要素，逐層模擬三維打印和冷卻過程，建立了熱殘余應力和變形的解析表達式；底板拆除時刻不會影響工件的熱殘余應力和變形。

(2) 引入底板和動態降溫梯度后，計算結果與實際相符；底板溫度與成形溫度相差越大，打印過程中溫度梯度越大，熱殘余應力越明顯。

(3) 在三維打印過程中，底板保持恒溫有利于降低工件的熱殘余應力和變形；底板保溫溫度越接近成形溫度，熱殘余應力越小；對于有底板的三維打印工藝，忽略底板的影響會產生很大的計算誤差。