向量的運算與三角形“五心”的交匯

向量，既有“數”的抽象，又有“形”的直觀，是溝通代數與幾何的橋梁.向量的運算是平面向量這一章的重點內容，包含兩個層面：一是非坐標下的運算，二是坐標下的運算.在非坐標運算中，主要遵循“基向量”的思想，從向量加法、減法和數乘的原始定義出發.

在三角形中，有一些點是比較重要的，比如三角形的“五心”，即外心、內心、重心、垂心和旁心.下面我們先把這些點敘述一下.

1.外心：三角形三邊中垂線的交點，也就是三角形外接圓的圓心;

2.內心：三角形三條內角平分線的交點，也就是三角形內切圓的圓心;

3.重心：三角形三條中線的交點;

4.垂心：三角形三條高線的交點;

5.旁心：三角形一個內角的平分線和其他兩個內角的外角平分線的交點，也就是三角形旁切圓的圓心.

以下各題在：內心，外心，重心，垂心，旁心中選填

題1：已知O為△ABC所在平面內的一定點，動點P使OP=OA+λ（AB+AC），則動點P的軌跡一定通過△ABC的.

點撥：條件中涉及的點有：O，P，A，B，C;涉及到的運算有：共起點的兩個向量相加，向量的數乘.對等式作移項處理后，涉及到共起點的兩個向量相減，至此，等式中涉及到的點由5個減少到4個.

解：取BC的中點D，由OP=OA+λ（AB+AC）得：AP=λ（AB+AC）=2λAD.說明A、P、D三點共線，又AD為△ABC的中線，點P在△ABC的中線所在的直線上，故動點P的軌跡一定通過△ABC的重心.

題2：已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|），則P的軌跡一定通過△ABC的.

解：AB|AB|是AB方向上的單位向量，AC|AC|是AC方向上的單位向量，根據平行四邊形法則，點P在△ABC的角平分線所在的直線上，動點P的……