時域響應中傳感器附加質量影響消除

尹　濤

(武漢大學 土木建筑工程學院，武漢　430072)

?

時域響應中傳感器附加質量影響消除

尹濤

(武漢大學 土木建筑工程學院，武漢430072)

摘要：提出了一種時域內的傳感器附加質量影響消除方法。利用時域實測自由響應數據，通過特征系統實現算法進行模態參數識別，獲得傳感器附加質量影響情況下的模態參數。以實測模態參數為基準，采用信賴域和非線性最小二乘算法對考慮傳感器附加質量的結構初始有限元模型參數進行識別與修正，并以修正后的有限元模型為基礎預測傳感器附加質量消除所引起的模態參數改變。基于振型疊加法原理建立時域內傳感器附加質量影響消除的識別方程組，并結合有限元預測的模態參數改變反演傳感器附加質量影響消除情況下的時域響應。通過對一個實驗室兩端夾支梁模型實測時域響應中傳感器附加質量影響消除進行研究，對所提出的方法進行驗證。

關鍵詞：時域響應;傳感器附加質量;特征系統實現算法;最小二乘法;有限元模型修正;振型疊加法

試驗模態分析通過試驗將采集到的系統輸入與輸出信號經過參數識別而獲得模態參數，是結構動態設計及設備故障診斷的重要方法。實際應用中，試驗模態分析結果主要受隨機誤差及系統誤差的影響。從統計學和概率論上講，隨機誤差(如測量噪聲)影響可以很簡單地通過多次測量取平均值的方式來有效減輕，而系統誤差影響的消除則相對較困難。其中，測量元件系統誤差影響通常可以通過硬件補償來消除，但試驗模態分析中傳感器附加質量對模態參數識別結果的系統誤差影響即使通過硬件上的補償也難以彌補[1]。在實際模態試驗中，傳感器的附加質量相對于一般結構通常是很小的，可以忽略其對模態識別結果的影響。然而，對于小型輕質結構或結構構件而言，傳感器附加質量不可忽略，將對模態測試結果精度影響較大，尤其體現在較高頻段。因此，研究如何有效補償或消除傳感器附加質量影響，對如航空航天器及機械零部件等小型輕型結構振動特性分析具有重要意義。

目前，已有學者在傳感器附加質量影響消除方面開展了相關研究工作。有文獻對于從驅動點頻率響應函數(FRF)與轉移FRF中消除傳感器附加質量的影響問題進行了研究[2-3]。然而，這些方法需要獲取所有測量點上的驅動函數，該過程非常耗時以致有時甚至不可行。又有學者提出通過改變傳感器質量的方式重復試驗以消除轉移FRF中傳感器附加質量影響的方法[4]，但該方法需要對一個容易受測量噪聲干擾以及容易產生病態的矩陣進行求逆運算，數值計算穩定性較差。有文獻對于測量FRF提出了一種既可用于消除固定傳感器亦可用于移動傳感器附加質量影響的方法[5]，但對于移動傳感器附加質量情況，需要采用增設虛擬質量的方式予以考慮。此外，還有文獻研究了從實測頻率響應函數中同時消除傳感器和激振器附加質量的問題[6-7]. 國內也有學者對FRF中的傳感器附加質量影響消除進行了研究[8]。

以上所提及的傳感器附加質量影響消除的研究工作均是針對測量到的FRF，通過理論計算修改FRF矩陣來實現。而就目前的研究現狀來看，對于實測時域響應信號中傳感器附加質量影響消除的研究工作尚鮮見報道。時域響應信號是結構動力測試最原始的測量信息，包含豐富的結構模態信息，而對于以時域信號為研究對象的結構健康監測而言，時域響應又是最基本的輸入參數；同時，直接對時域信號進行操作就無需將測試信號在時域與頻域之間變化，這就避免了由FFT等數據變換而引起的截斷誤差影響。因此，研究時域響應信號中的傳感器附加質量影響消除同樣具有重要的理論意義和實用價值。

本文提出了一種針對結構多點實測自由響應的傳感器附加質量影響消除方法。首先，利用含傳感器附加質量影響情況下的時域自由響應實測數據，通過自編特征系統實現算法進行模態參數識別；然后，以實測模態參數為基準，采用作者此前提出的基于信賴域算法和非線性最小二乘的有限元模型修正方法對結構初始有限元模型(FEM)進行修正，并以修正后的FEM為基礎預測傳感器附加質量消除所引起的模態參數改變量；最后，基于模態振型疊加法原理建立時域傳感器附加質量影響消除識別方程組，并結合有限元預測模態參數改變來反演傳感器附加質量影響消除情況下的時域響應信號。

1理論背景

1.1模態參數與模型參數識別

本文采用自編特征系統實現算法(ERA)實現時域信號中的模態參數提取。該方法屬多輸入多輸出的時域整體模態參數辨識方法，能非常有效地識別小阻尼結構模態參數[9]。該算法最重要的步驟之一是形成系統脈沖響應的Hankel矩陣，形式如下[10-11]：

(1)

式中：

YTk=Y(kΔt)T=[y1,y2,…,yNO]∈R(p+q-1)×NO

(2)

式中：Δt為采樣時間間隔，Yk為在第k個采樣間隔上的自由響應矩陣，yp∈Rp+q-1為響應向量，p=1,2,…,NO。參數Np和Nq分別代表Hankel矩陣H(k-1)行和列的數目，其數值選擇的基本原則是使Hankel矩陣H(k-1)的秩不小于系統階數。實際應用中，有文獻建議Nq值需近似取為待識別系統模態階數的10倍左右，而Np值則取為Nq值的2倍～3倍[12]。

在式(1)中令k=1即可得到H(0)矩陣，再對H(0)執行奇異值分解如下

H(0)=UΣVT

(3)

式中：U和VT分別表示Hankel矩陣H(0)的左、右奇異向量矩陣，Σ為奇異值矩陣。通過保留前m個最大的特征值以確定H(0)矩陣的秩，同時得到三個縮減的左、右奇異值向量及奇異值矩陣，即Um,Σm及Vm。此時，原始離散線性動態系統的估計狀態及輸出矩陣可分別表示為：

(4)

式中：ETm=[INO,0NO,…,0NO]，INO,0NO∈RNO×NO分別為對角元素為1的單位方陣以及零方陣，NO為觀測自由度數目，也即傳感器數目。

(5)

式中：j=1,2,…,Nm，Nm為測量模態階數，ωj，φj及ξj分別表示結構系統第j階無阻尼自振圓頻率、模態振型以及模態阻尼，i為虛數單位。綜合各階實測模態參數可得如下形式：

(6)

為敘述方便，將NO個傳感器的附加質量表示為向量形式，即mS={mS1,mS2,…,mSNO}T∈RNO，并假定式(6)中給出的模態參數是在包含傳感器附加質量影響情況下測得的。

另一方面，對于采用參數向量θ∈RNθ描述其輸入輸出特性的一類參數化結構模型M(Nθ代表參數向量θ的維數)，在給定測量模態參數D條件下，為使結構模型計算模態與實測模態誤差最小，需對原模型建模參數進行識別與修正。為識別未知模型參數θ，將表征各階固有頻率計算值與實測值吻合程度的目標函數定義為帶邊界約束的非線性最小二乘的形式如下：

(7)

式中：l≤θ≤u。向量u,l分別為待識別無綱量模型參數θ的上、下邊界約束。ωj(θ;mS)表示計入傳感器附加質量影響情況下的第j階固有頻率計算值。

將目標函數向量F(θ;mS,D,M)∈RNm的第j個元素Fj(θ)在θk附近展開為一階Taylor級數形式，則目標函數f(θ;mS,D,M)可以近似表示為：

f(θ;mS,D,M)?

(8)

式中， gk=g(θk)=▽f(θk)=J(θk)TF(θk)

Gk=G(θk)=▽2f(θk)=J(θk)TJ(θk)

(9)

2.2傳感器附加質量影響消除

在t時刻將各測量通道的自由響應信號表示成向量的形式如下

y(t)={y1(t),y2(t),…,yNO(t)}T∈RNO

(10)

響應向量y(t)中第p個測量通道的響應可以通過振型疊加法由下式表示為

(11)

α={A1,B1,A2,B2,…,ANm,BNm}T∈R2Nm

(12)

參考式(11)，由于測點xp處的響應值yp(t)可以由各階未知系數Aj與Bj線性表示，因而考慮各測量點以及各階測量模態后，可以形成如式(13)所示線性方程組，以求解2Nm維待識別未知系數向量α。

zNNO×1=SNNO×2Nmα2Nm×1

(13)

式中，NNO維響應向量z可以由各測量通道的自由響應向量yp∈RN，p=1,2,…,NO，表示如下，

(14)

NNO×2Nm維矩陣S(見式(15))表示響應向量z與待識別未知系數向量yp之間的聯系矩陣，由與振型測量點相關的各分塊子矩陣構成，

(15)

式中，Sp∈RN×2Nm表示矩陣S中與振型測量點xp相關的第p個分塊子矩陣，p=1,2,…,NO，其具體形式見式(16)。

(17)

(18)

(19)

接著，利用式(14)即可分別得到各測量通道消除傳感器附加質量影響后的N維預測響應向量yp，p=1,2,…,NO。

2模型實驗研究

本文采用的實驗室梁模型是由一根兩端均由平口鉗鉗固的均勻鋁質扁梁，架立在一根槽鋼基座上所構成的，如圖1所示，其幾何與材料參數由表1給出。本實驗模型采用平口鉗鉗固的方式來施加梁邊界約束條件，依據文獻[14]的模型實驗經驗，該邊界條件不能作為理想剛性固接，而應當視作半剛性聯結，存在轉動剛度，因此，本文根據之前文獻經驗以及初步試算選取一定大小的轉動剛度來模擬梁模型兩端的半剛性聯結約束條件，其轉動剛度數值大小見表1。

圖1　實驗室兩端鉗固梁模型Fig.1 Laboratory beam model with two clampedends

參數量值梁長度L/m0.845梁截面高度h/m0.008梁截面寬度b/m0.025彈性模量E/(N·m-2)6.89×1010質量密度ρ/(Kg·m-3)2.66×103泊松比μ0.33傳感器+夾具質量mS/g55小傳感器質量mS0/g6.5梁左端轉動剛度k1/(N·m·rad-1)8.086×103梁右端轉動剛度k2/(N·m·rad-1)8.086×103

本文采用的實驗裝置系統如圖2所示，其由實驗梁模型、加速度計及自制夾具、測試導線、八通道信號調理器、沖擊力錘、筆記本電腦以及基于LabVIEW編程實現的加速度信號采集軟件所構成。該軟件能實現加速度信號的實時顯示、存儲以及回放等簡單功能，可滿足實驗要求，而模態參數識別則基于MATLAB程序的自編ERA算法實現。

圖2　實驗裝置系統布置Fig.2 Experimental equipment configurations

如圖2(a)所示，加速度傳感器共有4個。其中，3個質量較大的加速度傳感器(見圖2(c)，每個質量35 g，含夾具共55 g)分別對應CH1、CH2及CH3通道，且分別位于梁縱向上距梁左端支承13.5 cm、50.5 cm以及66 cm處。而質量較小的加速度傳感器(質量6.5 g)共1個，其布置位置與前面第2號(CH2)較大質量傳感器重合，即也在距梁左端50.5 cm處，其具體布置方式參見圖2(d)。采樣頻率為2 000 Hz，每次采樣時長約2 s。值得指出，限于實驗條件，目前尚無法采用非接觸式的振動測量裝置(如高精度激光測振儀[14]等)來實現消除傳感器附加質量影響條件下的振動響應直接量測。因此，本文采用設置小質量傳感器的方式來間接實現傳感器附加質量影響消除條件下的振動響應量測(見圖2(b)、(d)及(e))，用以驗證傳感器附加質量影響消除效果。基本思路是將小質量傳感器視作梁結構的組成部分，其始終與梁模型保持固定狀態，而僅將大質量傳感器的附加質量作為消除對象(見圖2(a)與(b))，以CH2通道為例來驗證。

本文提出的傳感器附加質量影響消除方法具體實施過程為：首先，對實驗梁施加沖擊荷載激勵，測量梁模型在含傳感器附加質量影響下的時域響應，即從3個較大質量傳感器中同步采集加速度測量信號(見圖2(a))；為研究方便，控制激勵位置及頻帶范圍(本例激勵點距離梁左端34 cm固定不變)，使其剛好激勵出前4階模態，并采用自編ERA算法進行模態參數識別，識別結果見表3。其次，利用ANSYS軟件建立實驗梁初始FEM，其包含傳感器附加質量且合理考慮梁兩端半剛性聯接條件，以含傳感器附加質量的實測固有頻率為目標，采用本文模型修正方法對FEM進行修正，本例選取的模型修正參數為鋁質梁的彈性模量、質量密度以及兩端半剛性聯結處的轉動剛度值，參數取值及模型修正結果分別見表1和表2。再次，基于修正后FEM計算并預測傳感器質量移除前后的固有頻率改變量Δω(見表2末列)，結合Δω并采用本文提出方法對各原始測量通道(即CH1、CH2與CH3)在消除傳感器附加質量影響條件下的實測加速度響應進行重構，響應重構結果見圖3和圖4。最后是重構響應驗證階段，以CH2處響應為例，移除3個較大質量傳感器及其夾具(見圖2(b))，重復實驗以獲取小質量傳感器的加速度時程響應，用以驗證CH2通道處的時域響應重構效果，驗證結果見圖5。

表2　含傳感器附加質量影響的有限元模型修正

從圖3中給出的時域對比結果中可以看出，各通道原始(即含傳感器附加質量影響)實測加速度響應與重構響應(消除傳感器附加質量影響)差別顯著，這表明傳感器附加質量對時程響應影響較大。這一點也可以從表2末列中修正后FEM預測頻率改變量Δω的數值大小上反映出來，同時也可以明顯看出傳感器附加質量對高階模態的影響更大，即從第1階頻率改變量7.15 Hz逐漸增加到第4階頻率的81.76 Hz，這與目前相關文獻中的研究結果相符，如此明顯的固有頻率改變勢必會引起原始實測響應與重構響應之間的較大區別。另一方面，圖4從頻域角度反映出各測量通道原始實測響應與重構響應之間的差別，該圖清楚地表明高階模態受傳感器附加質量影響較低階模態更大，因而傳感器附加質量的消除對于小型輕質結構的高頻特性至關重要。

圖3　消除傳感器附加質量影響后各通道重構響應與原始實測響應對比Fig.3 Comparisons of original responses and predicted ones by removing the transducer mass loading effects

圖4　消除傳感器附加質量影響后各通道重構響應與原始實測響應的頻域內對比Fig.4 Comparisons of original responses and predicted ones by removing the transducer mass loading effects in frequency-domain

此外，基于ERA算法對各測量通道重構響應進行模態參數識別，獲得的各階固有頻率、模態阻尼比以及歸一化模態振型識別結果見表3。從該表中可以看出，與原始實測響應的模態識別參數相比，除固有頻率的正常差別外，重構響應的模態阻尼比與原始實測響應相同，且模態振型相差很小，這表明了本文方法所獲得的消除傳感器附加質量影響情況下的重構響應很好地繼承了原始實測響應的基本動力特征。

表3　消除傳感器附加質量影響的模態參數重構

圖5　CH2通道消除傳感器附加質量影響后重構響應與原始實測響應及目標實測響應對比Fig.5 Comparisons of responses from original, predicted, and target measurements for CH2

作為本文方法的驗證，圖5分別從時域和頻域兩方面驗證了CH2通道在消除傳感器附加質量影響情況下重構響應的準確性，其與原始實測響應及目標實測響應均進行了對比。如前所述，本文目標實測響應是通過設置小質量傳感器來獲得的。從時域上來看，圖5(a)中對比結果明顯反映出重構響應(粗實線)與目標實測響應(細實線)彼此很接近，且它們均與原始實測響應(虛線)有較大差別。圖5(b)中的頻域對比結果也表明，重構響應與目標實測響應的頻譜圖很吻合，這也進一步驗證了前面的時域對比結果。此外，基于ERA算法的目標實測響應模態識別結果也列于表3，可以看出，相對于原始實測頻率而言，各階重構固有頻率與目標實測頻率值的吻合程度大大提高，這與圖5(b)中給出結果相符合。應該指出，盡管本文僅對CH2通道的重構響應進行了驗證，但其他通道的研究結果情況均很類似。

圖6　CH2通道基于初始FEM和修正后FEM的重構響應對比Fig.6 Comparisons of predicted responses by proposed method from initial FEM and updated FEM for CH2

圖6研究了有限元模型修正與否對于重構響應的影響，以CH2通道為例，分別基于初始FEM和修正后FEM，計算了傳感附加質量消除前后固有頻率改變量Δω，并以此分別重構出傳感器附加質量影響消除情況下的時域響應。從對比圖中可以明顯看出，對于本例而言，盡管初始FEM與修正后FEM計算固有頻率相差較大(見表2前兩列)，但兩者重構響應的時-頻域圖均相差較小，由于本文方法重構響應僅采用固有頻率改變量Δω，求差運算對有限元模型誤差具有一定的抵消作用。具體地，從圖6(a)中可以看出，基于初始FEM重構響應的第3、4階固有頻率值較修正后FEM的重構響應偏低，且第4階比第3階偏低的程度大，但對前兩階模態幾乎無影響。這表明，FEM的修正與否對高階模態影響較大，而對低階模態幾乎無影響或其影響可以忽略。另外，從時域對比圖中也可以看出兩者高頻成份信號存在一定差異，當然隨著時間的推移，信號中的高頻成份會很快衰減，而此時僅包含較低頻成份的響應信號對于FEM是否修正則會表現得越來越不敏感。由此可見，本文提出的FEM修正策略對于確保重構出的傳感器附加質量影響消除情況下時域響應信號中高頻成份的準確性起到了關鍵作用。

3結論

本文提出了一種針對時域響應信號傳感器附加質量影響消除的系統方法，通過對一根兩端鉗固梁模型開展實驗研究，驗證所提出的方法，并獲得以下主要結論：傳感器附加質量對小型輕質結構動力響應影響很大，且對信號高頻成份的影響程度較低頻成份大得多；本文基于有限元模型預測固有頻率改變量的重構響應方法對于有限元模型誤差具有一定的魯棒性；有限元模型修正結果對重構響應中高階模態影響較大，而對低階模態影響逐漸減小以至可以忽略，因而模型修正過程對于確保重構響應高頻成份的準確性至關重要；本文提出的傳感器附加質量影響消除方法能同時實現時域與頻域信號重構，可以直接適用于多輸入多輸出系統，同時也容易推廣到輸入荷載未知的環境激勵情況；應該注意，除傳感器本身質量外，傳感器與信號調理器之間的連接導線實際上也具有一定的質量，會對重構響應結果產生影響，這在今后的研究中要予以考慮。

參 考 文 獻

[ 1 ] 趙陽，張大偉，田浩. 小型懸臂梁結構振動參數交互辨識方法[J]. 機械設計與制造，2008，8：74-75.

ZHAO Yang，ZHANG Da-wei，TIAN Hao. Hybrid method for minitype cantilever vibration parameter identification[J].Machinery Design & Manufacture，2008，8：74-75.

[ 2 ] Ewins D J. Modal Testing：theory，practice and applications[M].2nd ed.Baldock, UK:Research Studies Press，2000.

[ 3 ] Decker J，Witfeld H. Correction of transducer-loading effects in experimental modal analysis[C]//Proceedings of the 13th International Modal Analysis Conference, 1995:1604-1608.

[ 4 ] Ashory M R. Correction of mass-loading effects of transducers and suspension effects in modal testing[C]//Proceedings of the International Modal Analysis Conference，USA，1998:815-828.

[ 5 ] Cakar O，Sanliturk K Y. Elimination of transducer mass loading effects from frequency response functions[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2005，19(1)：87-104.

[ 6 ] Sestieri A，Salvini P，D’Ambrogio W. Reducing scatter from derived rotational data to determine the frequency response function of connected structures[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，1991，5(1)：25-44.

[ 7 ] Bi S S，Ren J，Wang W，et al. Elimination of transducer mass loading effects in shaker modal testing[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2013，38(2), 265-275.

[ 8 ] 董自衛，唐力偉，高星亮，等. 消除傳感器附加質量影響的機槍動力特性測試技術[J].自動測量與控制，2007，26(8)：63-65.

DONG Zi-wei，TANG Li-wei，GAO Xing-liang，et al. Scatter-gun dynamic characteristics test technique for eliminating effects[J]. Automatic Measurement and Control，2007，26(8)：63-65.

[ 9 ] Caicedo J M，Dyke S J，Johnson E A. Natural excitation technique and eigensystem realization algorithm for Phase I of the IASC-ASCE benchmark problem：simulated data[J]. Journal of Engineering Mechanics，2004，130(1)：49-60.

[10] Yin T，Lam H F，Chow H M，et al. Dynamic reduction-based structural damage detection of transmission tower utilizing ambient vibration data[J]. Engineering Structures，2009，31(9)：2009-2019.

[11] Lam H F，Yin T. Dynamic reduction-based structural damage detection of transmission towers：practical issues and experimental verification[J]. Engineering Structures，2011，33(5)：1459-1478.

[12] Juang J N，Pappa R S. An eigensystem realization algorithm for modal parameter identification and model reduction[J]. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1985，8：620-627.

[13] 尹濤，余嶺，朱宏平. 一種基于模型修正的結構損傷識別方法[J]. 振動與沖擊，2007，26(6)：59-62.

YIN Tao，YU Ling，ZHU Hong-ping. A model updating based approach to structural damage identification[J]. Journal of Vibration and Shock，2007，26(6)：59-62.

[14] Lam H F, Ng C T, Veidt M. Experimental characterization of multiple cracks in a cantilever beam utilizing transient vibration data following a probabilistic approach[J]. Journal of Sound and Vibration，2007，305(1/2)：34-49.

Elimination of transducer additional mass effects in time-domain responses

YINTao

(School of Civil and Architectural Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Abstract:A method was developed for eliminating transducer additional mass effects (TAME) in time-domain responses here. By utilizing measured free vibration response data, modal parameters including the effects of transducer additional mass were firstly identified with the eigensystem realization algorithm. Then, the initial finite element model of the target structure with transducer additional mass effects was updated with the experimental modal parameters, and the changes of modal parameters due to elimination of transducer additional mass were predicted with the updated finite element model. Furthermore, a set of identification equations for eliminating TAME was set up based on the modal superposition method, and TAME were eliminated from the original measured time-domain responses with the previously predicted changes of modal parameters. Finally, the proposed method was verified with dynamic tests for a laboratory beam under clamped-clamped boundary conditions.

Key words:time-domain response; transducer additional mass effects (TAME); eigensystem realization algorithm; least-square method; finite element model updating; modal superposition method

中圖分類號:O211; O321

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.005

收稿日期：2014-12-05修改稿收到日期：2015-03-16

基金項目：國家自然科學基金(51208390)；教育部博士點基金(20110141120026)；湖北省自然科學基金(2011CDB265)；中央高校基本科研業務專項經費(271198;273766)

作者 尹濤 男，博士，副教授，1979年生