基于分段多項式的局部特征尺度分解方法及應用

吳占濤，程軍圣，曾　鳴，鄭近德

(1.湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙　410082； 2.湖南大學 現代工程訓練中心，長沙　4100823.安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山　243002)

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基于分段多項式的局部特征尺度分解方法及應用

吳占濤1,2，程軍圣1，曾鳴1，鄭近德3

(1.湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙410082； 2.湖南大學 現代工程訓練中心，長沙4100823.安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山243002)

摘要：針對局部特征尺度分解(Local Characteristic-scale Decomposition,LCD)方法中兩極值點連線在極值點處一階微分不連續，引起分解精度降低問題，提出新非平穩信號分析方法-基于分段多項式的局部特征尺度分解(Piecewise Polynomial based Local Characteristic-scale Decomposition, PPLCD)。用分段多項式取代LCD中直線連接，且均值曲線插值點由相鄰3個同類極值點構成的多項式計算產生。通過仿真信號將PPLCD與LCD對比，結果表明，PPLCD在提高分量正交性、精確性等具有一定優越性；由轉子碰摩故障診斷表明該方法的有效性。

關鍵詞：局部特征尺度分解；分段多項式；故障診斷；轉子；內稟尺度分量

局部特征尺度分解(Local Characteristic-scale Decomposition，LCD)為新的時頻分析方法[1]，能自適應將1個復雜信號分解為若干瞬時頻率具有物理意義內稟尺度分量(Intrinsic Scale Component，ISC)之和[2]，獲得原始信號完整的時頻分布。與經驗模態分解[3](Empirical Mode Decomposition，EMD)相比， LCD在減小擬合誤差、提高計算速度、抑制模態混淆等有一定優勢[4]，已用于信號分析及機械故障診斷等，并取得較好效果[5-7]。EMD與LCD基于篩分的自適應時頻分析方法關鍵為定義合理的均值曲線，該曲線定義優劣直接決定方法的有效性及精確性[8]。

LCD均值曲線插值點由連接兩相鄰同類極值點的連線計算產生，但存在連線在各極值點處一階微分不連續會致分解精度降低。為此，本文用分段多項式取代LCD中直線連接，且均值曲線插值點由相鄰3個同類極值點構成的多項式計算產生，對LCD均值曲線進行改進，提出基于分段多項式的局部特征尺度分解(Piecewise Polynomial based Local Characteristic-scale Decomposition,PPLCD)，以解決LCD中的不連續問題。

1PPLCD

LCD用線性插值方法計算所有相鄰極大(或極小)值點確定的直線及與二者間極值點對應的函數值，進而求出均值曲線插值點，存在連接直線在兩極值點處一階微分不連續問題。采用低次分段多項式擬合相鄰3個同類極值點，不僅在與均值曲線各插值點相鄰兩極值點處一階微分連續，擬合曲線能較好體現相關極值點數據的變化趨勢，且能規避用高次多項式插值可能產生的龍格現象。為此，通過研究PPLCD原理，本文提出基于分段多項式的局部特征尺度分解方法。

1.1PPLCD算法

對實信號x(t)(t>0)，將所有極值點記為(ti，Xi)(i=1,2,…,K)。其中(tk，Xk)、(tk+2，Xk+2)及(tk+4，Xk+4)為相鄰極大(小)值點，(tk+1，Xk+1)及(tk+3，Xk+3)為相鄰極小(大)值點，(k=1,2,…,K-4)。記函數y(t)在區間[tk,tk+4]部分為yk(t)，(k=1,2,…,K-4)。若yk(t)滿足條件

(1)yk(t)≥x(t)或yk(t)≤x(t)；

(1)

(2)

設Pk為條件(2)方程組系數矩陣，即

(3)

則該方程組可表示為

MkPk=Nk

(4)

由Mk反除Nk可求得系數矩陣Pk，即

PK=MkNk

(5)

令

(6)

得信號x(t)唯一確定的局部上(下)包絡線yk(t)

yk(t)=QkPk，t∈[tk,tk+4]

(7)

可求出yk(t)在兩相鄰極值點(tk+2，Xk+2)、(tk+4，Xk+4)間極值點對應時刻tk+3處Ak+3點的函數值yk(tk+3)，見圖1。

圖1　PPLCD方法示意圖Fig.1 Schematic of PPLCD method

對應的PPLCD均值曲線插值點Lk+3值為

Lk+3=(Xk+3+yk(tk+3))/2，

(k=1,2,…,K-4)

(8)

由于Lk值下標k從4～K-1，用端點延拓法[9-10]求得L1、L2、L3及LK值?；诖_定信號實信號x(t)所有Li值(i=1,2,…,K)，按LCD計算步驟[11]，將原始信號分解為n個ISC分量與1個趨勢項un(t)之和，即

(9)

1.2仿真信號分析

為說明PPLCD方法的優越性，考慮式(9)混合信號

x(t)=x1(t)+x2(t)，(t∈[0,1])

(10)

式中：x1(t)=(1+0.35sin(25πt))sin(200πt+60πt2)，x2(t)=sin(85πt)，其時域波形見圖2。

圖2　仿真信號x(t)及各成分時域波形Fig.2 The time domain waveforms of simulation signal x(t) and its componments

分別采用LCD、PPLCD對仿真信號x(t)進行分解，結果見圖3、圖4，兩種方法分解絕對誤差見圖5。分解絕對誤差定義為分解所得ISC分量與真實分量之差絕對值。圖3中i1、i2、r2分別表示第1、2個ISC分量及剩余項，圖4中I1、I2、R2分別表示第1、2個ISC分量及剩余項，圖5中E1、E2分別表示兩種方法第1、2個ISC分量分解絕對誤差。由圖3～圖5看出，PPLCD分解結果較理想，分解分量與真實分量非常接近，分解絕對誤差較小。LCD分解結果雖亦較理想，但分量i1出現局部波形失真(圖3實線圈部分)，分量i2幅值與真實分量幅值相差較大，且兩分量絕對誤差略大于PPLCD。

圖3　仿真信號x(t)的LCD分解結果Fig.3 The LCD decomposition results of simulation signal x(t)

圖4　仿真信號x(t)的PPLCD分解結果Fig.4 The PPLCD decomposition results of simulation signal x(t)

圖5　兩種方法分解仿真信號x(t)絕對誤差Fig.5 The absolute error of the LCD and PPLCD

為比較兩種方法的分解效果，考察其分解正交性指標(IO)[12]及所得前兩分量與真實分量均方根誤差(RMSE)及相關系數(CC)[12]。IO值越小表示所有分解分量間正交性越好；RMSE值越小表示分解誤差越??；CC值越大表示分解準確性越高。各評價指標值見表1，其中RMSEi、CCi分別表示第i個分解分量與對應的真實分量均方根誤差及相關系數，i=1,2。由表1看出，與LCD方法相比，PPLCD方法正交性指標及均方根誤差指標值均最小，相關系數指標值均最大，說明PPLCD的正交性、精確性等具有一定優越性。

用希爾伯特變換法提取兩種分解法分解的前兩分量瞬時頻率及瞬時幅值，結果見圖6、圖7。由兩圖看出，無論瞬時頻率或幅值，I1均較i1更準確，波動性更小；i2的瞬時頻率與I2結果接近，效果均較好，但I2的瞬時幅值較i2更準確。進一步說明PPLCD分解方法有效、可行。

表1　兩分解方法評價指標

圖6　由LCD所得分量i1、i2瞬時頻率及幅值Fig.6 IFs and IAs of ISCi calculated by LCD

圖7　由PPLCD所得分量I1、I2瞬時頻率及幅值Fig.7 IFs and IAs of ISCi calculated by PPLCD

2應用實例

為說明PPLCD方法的有效性、實用性，將其用于具有碰摩故障的轉子振動位移實驗信號分析。實驗采樣頻率fs=2 048 Hz，采樣時長0.5 s，轉速3 000 r/min，轉頻fr=50 Hz。實驗數據時域波形見圖8，幅值譜見圖9。轉子產生碰摩故障時其振動位移信號會產生1個以轉頻為幅值調制頻率的高頻碰摩分量[13-14]，由圖8可看出高頻碰摩信號淹沒于強大背景信號中。而圖9中主要為與轉頻fr相關的基頻分量，看不出碰摩故障信息。

圖8　實驗數據時域波形Fig.8 The time domain waveforms ofexperimental data

圖9　實驗數據幅值譜Fig.9 The amplitude spectrum of experimental data

圖10　實驗數據的PPLCD分解結果Fig.10 The PPLCD decomposition results of experimental data

為提取高頻碰摩信息，分別采用PPLCD及LCD對實驗數據進行分解，結果見圖10、圖11。PPLCD、LCD分解所得第1個分量I1、i1的包絡譜見圖12、圖13。由圖10看出，PPLCD方法對實驗數據分解的第1分量I1調制特征明顯。由圖12可看到明顯的轉頻及其倍頻成分，說明I1的調制波頻率與轉頻fr相同，此由轉子每旋轉一周動件均與靜件摩擦所致[15-16]；I1分量主要成分為碰摩信號，亦會包含噪聲。由圖11看出，LCD方法對實驗數據分解的第1分量i1亦有調制特征，而圖13包絡譜雖亦能看出轉頻及其倍頻成分，但幅值較小，無PPLCD方法明顯，且出現兩個較明顯的不明低頻分量。

圖11　實驗數據的LCD分解結果Fig.11 The LCD decomposition results of experimental data

圖12　PPLCD第1分量包絡譜Fig.12 The envelope spectrum of calculated by PPLCD

圖13　LCD第1分量包絡譜Fig.13 The envelope spectrum of calculated by LCD

PPLCD的分量I2、I3為與轉頻有關的背景信號，其幅值譜見圖14。由圖14看出，I2、I3所含主要頻率成分為轉頻的1倍頻及1/2倍頻。剩余信號R3為低頻噪聲。圖11中LCD分量i2、i3、r3出現嚴重的波形失真(實線所圈部分)，其幅值譜見圖15。由圖15看出，分量i2的主要頻率為轉頻的1倍頻，同時也出現轉頻的1/2倍頻；分量i3主要頻率成分為轉頻的1/2倍頻、1倍頻。由于LCD對實驗數據分解時分量i2、i3出現波形失真，分別混入轉頻1/2倍頻、1倍頻的頻率成分，可見與圖11分解結果一致。

圖14　PPLCD分量I2、I3幅值譜Fig.14 The amplitude spectrum of I2 and I3 calculated by PPLCD

圖15　LCD分量i2、i3幅值譜Fig.15 The amplitude spectrum of i2 and i3 calculated by LCD

由此可認為，PPLCD能更有效分離出實驗數據中與碰摩相關的高頻分量，便于提取故障信息，實現轉子系統故障診斷。而該方法亦有不足之處，也存在模態混淆等問題，尚待進一步完善。

3結論

通過基于分段多項式局部特征尺度分解(PPLCD)對仿真信號及實驗數據分析，結論如下：

(1)PPLCD所得分量更具有物理意義，分量與真實值間誤差更小。

(2)PPLCD無需預設運行參數，為自適應的信號分析方法。

(3)PPLCD能有效地提取振動信號中與故障特征有關的分量，且效果優于LCD。

參 考 文 獻

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Piecewise polynomial based local characteristic-scale decomposition and its application

WUZhan-tao1,2,CHENGJun-sheng1,ZENGMing1,ZHENGJin-de3

(1. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China;2.Modern Engineering Training Center, Hunan University, Changsha 410082, China;3. School of Mechanical Engineering, Anhui University of Technology, Ma’anshan 243002, China)

Abstract:A novel nonstationary signal analysis method, piecewise polynomial based local characteristic-scale decomposition (PPLCD), was proposed for improving the shortcomings of conventional local characteristic-scale decomposition (LCD), in which the first derivative at extremum points on the connecting line of two extreme value points is discontinuous, thereby the decomposition precision is lowered. Piecewise polynomial was used in PPLCD to replace line connection in LCD, and the interpolation points on the mean curve were computed by the polynomial which was generated according to three adjacent similar extremum points. The theory of PPLCD was studied and then simulation experiments were used to compare the PPLCD with the LCD. The results indicate that the PPLCD is more efficient in improving the orthogonality and veracity of components than the LCD. The proposed method was applied to diagnose the rotor with rub-impact fault successfully which indicates the effectiveness of PPLCD.

Key words:local characteristic-scale decomposition; piecewise polynomial; fault diagnosis; rotor; intrinsic scale component

中圖分類號:TH165+.3；TH911.7

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.037

通信作者程軍圣 男，博士，教授，博士生導師，1968年10月生

收稿日期：2015-01-09修改稿收到日期：2015-03-31

基金項目：國家自然科學基金(51375152；51575168)；湖南省科技計劃(2014WK3005)；智能型新能源汽車國家2011協同創新中心；湖南省綠色汽車2011協同創新中心資助項目

第一作者 吳占濤 男，博士，工程師，1982年6月生