探討平面束方法在解析幾何中的重要應用

紅霞 高峰 聶淑媛 楊繼真

【摘要】平面束是解析幾何中的重要內容之一，而且其應用比較廣泛.本文根據我們多年的教學經驗以及教改探索，首先介紹平面束的基本概念，其次深入探討平面束方法在空間解析幾何中的巧妙應用，希望能夠為教師教學研究工作與學生掌握該方法提供一定的參考價值.

【關鍵詞】有軸平面束;平行平面束;應用

【基金項目】國家自然科學基金（No.11701257），河南省教育廳高校重點項目（No.18A110025），數學學科中高等師范教育與基礎教育融合發展和協同創新研究（2017-JSJYYB-074）、（2018XJGGJS-10）

高校本科院校數學專業中解析幾何是非常重要的一門專業基礎課，它延續了中學平面幾何以及立體幾何.它不僅緊密聯系數學分析、高等代數等專業課程，同時也是微分幾何、高等幾何以及拓撲學等課程的基礎.平面是空間中最特殊的曲面，而平面束是空間幾何研究中最基礎、最重要的內容，它的方程的建立更是教學中的重點與難點.本文主要通過實踐以及探索，進一步分析了當前高校解析幾何課程中極其重要的內容之一——平面束方法，同時突出了平面束方法在實際問題中的廣泛應用.

一、基本概念

定義[1]?空間中，通過同一條直線的所有平面的集合稱為有軸平面束，那一條直線叫做平面束的軸.空間中平行于同一個平面的所有平面的集合稱為平行平面束.

這里l，m是不全為零的任意實數.

在求解一定約束條件下的平面方程問題時，通常思路就是利用課本上的常用方法點位式方程、三點式方程、截距式方程、一般式方程、法式方程等.也就是尋找待求平面的法向量或平面的方向向量或平面上的一個點，用以上方法來求解.有時我們采取這些方法求解方程的問題時，可能會使問題變得更復雜，此時如果采取平面束方法來解決問題將會變得更簡潔明了.

二、平面束的應用

（1）求通過兩個平面的交線的平面方程

分析：所求平面方程過某一給定的直線時，一般情況下使用平面束方法.平面束方法的解題步驟是先寫出平面束方程，再根據另外已知條件求出平面束的參數比值或者參數值，從而達到求平面方程的目的.特別地，如果給定的直線方程不是一般式時，首先將方程轉換為一般式形式再求平面方程.

（2）求過給定直線且在給定平面上的射影平面

分析：空間解析幾何中最基本最常見的問題之一是求過給定直線且在給定平面上的投影平面問題.事實上，這類問題有很多解法.其中最巧妙的解法是利用平面束方法，也就是只要我們求出經過已知直線且與已知平面垂直的平面即可.

（3）求給定點到已知直線的距離.

分析：求一個點到一條直線距離的公式以及相關推導問題在一般的解析幾何教材中都會給出，但給出的求解公式相對比較長，記憶很難，計算也比較大，學生不易掌握.其實不妨用平面束方法來解決這類問題.設平面π經過給定直線和給定點，平面π′經過給定直線且垂直于平面π，用平面束方法來確定這兩個平面.事實上，所求給定點到給定直線的距離d等于給定點到平面π′的距離.通過這樣的操作，把求點到直線的距離巧妙地轉化為求點到平面的距離問題，而通常學生最容易把握點到平面的距離公式，計算過程也相對少.

從以上幾個典型例題可以看出，有軸平面束和平行平面束方法確實能使許多復雜的問題簡單化，能起到簡單明了的效果.

結?語

平面是最特殊的曲面，而平面束是滿足特有性質的一些平面集合，從而它們擁有很多良好的性質.比如判定給定直線與平面的位置關系問題、計算點到一條直線的距離問題、求給定直線在平面上的射影問題等都可以利用平面束的方法得到解決.

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