穩定平臺地理坐標系與空間大地直角坐標系的轉換

翟玉健，李 敬

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

空間直角坐標主要是指笛卡爾直角坐標系，但是針對不同的平臺，笛卡爾坐標系的坐標軸略有不同。機(彈)載坐標系又分歐美系和蘇式坐標系，加之常用的艦載坐標系，組成了常用的右手直角坐標的3種坐標系。而坐標變換主要有2種方式，一種是平移變換，另一種是旋轉變換。平移變換只改變原點的位置而不改變軸的方向，旋轉變換改變軸的方向而不改變原點的位置。任何系統的坐標變換都可以通過這2種變換或其中一種變換方式完成。下面就根據平移和旋轉推導出艦載平臺和機(彈)載平臺3種地理穩定坐標系到地心直角坐標系的變換，以實現空間目標的定位。

1 變換原理

直角坐標平移是指坐標軸的指向不變，只改變坐標軸的原點位置，具體見參考文獻[1]，本文具體介紹坐標旋轉。

直角坐標旋轉是指坐標軸原點不變，只調整坐標軸的指向，如圖1所示。

圖1 直角坐標系旋轉

設新坐標系Sn與原坐標系So原點一致，空間中點P在So中的坐標為(Xo，Yo，Zo)，點P在Sn中的坐標為(Xn，Yn，Zn)，則經過3次旋轉有：

(1) 保持舊Zo軸不動，OoXoYo按右手規則旋轉ψ角；

(2) 保持新Yo軸不動，OoZoXo按右手規則旋轉θ角；

(3) 保持新Xo軸不動，OoYoZo按右手規則旋轉φ角。

則：

(1)

引入旋轉矩陣符號如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

展開為：

(7)

2 穩定平臺地理坐標系與空間大地直角坐標系的轉換

要進行空間坐標系變換，首要確定坐標系。任何一個觀測模型都是依據狀態空間模型建立的，選擇合適的坐標系，對于保持空間的一致性、簡化計算是非常重要的，坐標系的選擇將直接影響跟蹤的精度和計算量的大小。WGS84大地坐標系是以地心作為橢球體中心的參考模型，具體定義和計算可以參考文獻[1]。這里主要介紹空間大地直角坐標系，空間大地直角坐標系是地心坐標系，即以地球質心為原點，軸Zo與地球的旋轉軸一致，軸Xo位于起始大地子午面和赤道面的交線上，在赤道面上與Xo軸正交的方向為Yo軸，見圖2的OoXoYoZo坐標系。

圖2 地球直角坐標系與艦載平臺地理坐標系之間的旋轉關系

2.1 艦載穩定平臺地理坐標系與空間大地直角坐標系之間的轉換

艦載體地理坐標系[2]的3條參考軸與艦載體不固連，它不隨艦艇搖擺，因此是“穩定”的。它的3條參考軸的取向與地理參考系相同，在大地坐標系下Yr軸指向正北，Xr軸指向正東，由于其原點會隨著艦載體一起移動，因此稱它為艦載穩定平臺地理參考系或相對地理參考系。設艦載體的地理位置為Or，其大地坐標系的坐標表示為(LrBrHr)，此處Br為地理維度。空間大地直角坐標系的表示為(Xor,Yor,Zor)，如圖2所示。

設目標點P在艦載地理坐標系(以Or為原點)的位置為Xrt,Yrt,Zrt，如果將P點從以Or為原點的坐標系轉換到以Oo為原點的(大地空間直角)坐標系下，旋轉順序為：

(1) 保持舊OrXr軸不動，OrYrZr按右手規則旋轉-(90°-Br)角度，此時Zr軸與Zo平行，OrYrXr平面與OoYoXo平面平行。將旋轉角度代入式(6)中的CX(φ),則旋轉矩陣為：

(8)

(2) 保持新OrZr軸不變，OrXrYr按右手規則旋轉-(90°+Lr)角度，此時2個坐標系就平行了。將旋轉角度代入式(6)中的CZ(ψ),則旋轉矩陣為：

(9)

(3) 再通過坐標平移就可以實現艦載平臺地理坐標系到地心直角坐標系的轉換，總的轉換公式如下：

(10)

式中：LrBr為觀測點Or的經度、緯度；Xor,Yor,Zor為觀測點Or的空間大地直角坐標位置；Xot,Yot,Zot為目標點P的空間大地直角坐標系位置；Xrt,Yrt,Zrt為目標點P在觀測點Or坐標系的位置。

用旋轉矩陣符號表示如下：

(11)

根據旋轉矩陣為正交陣，其逆變換的旋轉公式如下：

(12)

則目標P空間大地直角坐標轉換到艦載體地理坐標系下的完整轉換公式為：

(13)

2.2 蘇式坐標系下機(彈)載穩定平臺地理坐標系與空間大地直角坐標系之間的轉換

蘇式坐標系下機(彈)載地理坐標系[2]OrXrYrZr的原點Or為彈載體發射點或機載雷達的觀測點，Xr軸是原點Or至目標點的照準面和包含發射點的水平面的交線，指向目標點方向，Yr軸和原點Or的鉛垂線方向一致，指向地球外，Zr軸和Xr、Yr軸構成右手坐標系。Xr軸與正北(N)軸有一個射擊方位角Ar(機載坐標系下Ar=0，Xr軸指向正北)，設發射坐標系的地理位置為(LrBrHr)，射擊方位角Ar，如圖3所示。

圖3 空間大地直角坐標系與蘇式坐標系下機(彈)載平臺地理坐標系之間的旋轉關系

設目標點P在蘇式地理坐標系(以Or為原點)的位置為Xrt,Yrt,Zrt，如果將P點從以Or為原點的坐標轉換到以地球中心Oo為原點的坐標系下，旋轉順序為：

(1) 保持舊OrYr軸不動，OrZrXr按右手規則旋轉(90°+Ar)角度，此時Zr軸指向正北(Zo軸)；

(2) 保持新OrXr軸不變，OrYrZr按右手規則旋轉-Br角度，此時Zr軸就與Zo軸平行了；

(3) 保持新OrZr軸不變，OrXrYr按右手規則旋轉(90°-Lr)角度，此時2個坐標系就平行了。

用旋轉矩陣表示：

(14)

這與參考文獻[1]中給出的發射坐標系到空間大地直角坐標系的轉換公式是一致的。

(4) 再通過坐標平移就可以實現機(彈)載平臺地理坐標系到空間大地直角坐標系的轉換，總的轉換公式如下：

(15)

根據旋轉矩陣為正交陣，其逆變換的旋轉公式如下：

(16)

則目標P空間大地直角坐標系轉換到機(彈)體地理坐標系下的完整轉換公式為：

(17)

2.3 歐美系下機(彈)載平臺地理坐標系與空間大地直角坐標系之間的轉換

歐美系下機(彈)載地理坐標系[3]的原點同蘇式坐標系，只是坐標軸指向不同。原點Or為彈載體發射點或機載雷達的觀測點，Xr軸指向當地北子午線，Yr軸垂直Xr軸指向正東，Zr軸垂直于XrOrYr平面，指向飛行器下方。如果是彈載發射坐標系，則Xr軸與指向正北之間有一個射擊方位角Ar。設發射坐標系的地理位置為(LrBrHr)，則如圖4所示。

圖4 空間大地直角坐標系與歐美系下機(彈)載平臺地理坐標系之間的旋轉關系

比對圖3和圖4，可以看出歐美系下的機(彈)載平臺地理坐標系與蘇式坐標系下的機(彈)載平臺地理坐標系之間差了一個90°。只要保持歐美系下的機(彈)載平臺地理坐標系的OrXr軸不變，OrYrZr按右手規則旋轉-90°，就變成了蘇式坐標系下的機(彈)載平臺地理坐標系，因此，歐美系下將P點從以Or為原點的觀測(發射)地理坐標轉換到以地球中心O0為原點的空間大地直角坐標系下的旋轉公式順序是：

(1) 先保持OrXr軸不變，OrYrZr按右手規則旋轉-90°；

(2) 按照2.2節中(1)～(3)的旋轉順序進行旋轉即可，用旋轉矩陣表示為：

CY(90°+Ar)CX(-90°)

(18)

(3) 再通過坐標平移就可以實現機(彈)載平臺地理坐標系到空間大地直角坐標系的轉換，總的轉換公式如下：

(19)

根據旋轉矩陣為正交陣，其逆變換的旋轉公式如下：

(20)

則目標P空間大地直角坐標系轉換到歐美系下機(彈)體地理坐標系下的完整轉換公式為：

(21)

3 驗 證

假設觀測點的大地坐標位置是東經119°58′42″，緯度39°58′20″，高度架設27 m，目標點的大地坐標位置是東經119°52′32″，緯度39°59′32″，高度架設10 m，則將其轉換到空間大地直角坐標系下的位置見表1。將觀測點和目標點的位置信息以及觀測點的經緯度值代入式(13)、式(17)和式(21)可以求得表2中目標在觀測坐標系下的位置。

表1 空間大地直角坐標

在地理坐標系下一點P，用雷達測量坐標系[4]表示為P(R,α,φ)，方位基準線位于過原點O的水平面內，指向正北；斜距R為原點O與目標點P之間的距離；俯仰角φ為目標視線與水平面夾角，向上為正；方位角α為目標視線在水平面投影與方位基準線間夾角，順時針為正。設歐美系和蘇式坐標系下機(彈)載的射擊方位角Ar=0，這樣3種平臺的雷達測量坐標系就統一了。 因此將目標分別通過3種坐標系的平移和旋轉后轉到雷達測量坐標系下應該是同一個位置，具體參數見表2中目標在雷達測量坐標系下的位置。

表2 目標在各平臺地理坐標系下位置

4 結束語

穩定平臺地理坐標系與空間大地直角坐標系的轉換是目標定位的主要計算方法，參考各種文獻都有提及某個轉換公式，但沒有具體全面給出轉換公式所屬的坐標系定義，例如文獻[1]中只給出了發射坐標系的轉換矩陣。本文系統、全面、明確地對3種坐標系進行定義，根據坐標旋轉的原理推導三種坐標系下穩定平臺地理坐標系與空間大地直角坐標系的正反轉換公式，并給出了驗證，證明轉換的正確性。