基于LM算法的近似核FFT頻率擬合算法

周小寧，王立權，朱偉華，閆宏雁，張 宇

(上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

單比特測頻技術是射頻回波模擬器中的一項關鍵技術，測頻結果用于多普勒頻率的合成，測頻精度會直接影響目標運動速度模擬的準確度，因此提高測頻精度對模擬器的性能提升具有重要意義[1-2]。單比特測頻技術采用高速模數轉換(ADC)(1～4 bit)采樣和近似核快速傅里葉變換(FFT)算法引起了系統的非線性[3-4]，導致Rife、Quinn等常規頻率擬合算法測頻精度有限。為此，許多學者做了進一步研究。肖正陽提出的高斯擬合估計法在帶寬為2 GHz下測頻精度達到1 MHz左右[5]。祝俊、唐斌等人提出了一種基于傅里葉系數內插的頻率估計算法，避免了常規算法的復數運算[5-6]。但上述2種算法在頻率估計精度方面仍然具有一定的提升空間。

本文在Rife算法的基礎上提出了一種基于LM(Levenberg-Marquardt)算法的近似核FFT頻率擬合算法，通過特征分類和LM算法[7-9]求解非線性回歸問題，實現頻率估計。仿真表明，本算法的均方根誤差(RMSE)比Rife算法、Quinn算法以及高斯擬合等算法更接近克拉美羅界(CRLB)[6,10]，測頻精度更高。

1 近似核FFT

在單比特測頻中，ADC的量化位數和近似核階數共同決定了系統的動態范圍，由此可以確定兩者之間的約束關系[11]：

(1)

ADC位數和近似核階數并不是越大越好，當ADC位數大于2以及近似核階數高于8時，系統的動態性能提升有限。因此，這里選擇2 bit ADC和8階近似核作為研究條件。本文利用一種基于半圓的優化近似核代替基于正方形的常規近似核，降低量化噪聲，有利于系統的動態性能。近似核結構如圖1所示。

2 算法原理

2.1 算法模型構建

Rife算法通過建立最大譜線和次大譜線幅度比R與頻率偏差δ之間的理論關系實現頻率估計：

圖1 基于半圓的8階優化近似核

(2)

由于該理論關系建立在常規FFT的基礎上，并未考慮近似核算法的影響，在單比特測頻系統中應用Rife算法會出現較大偏差，如圖2所示。

從圖2中可以看出，對于常規FFT，應用Rife算法后頻率估計值與理論值基本重合，擬合精度高；而在單比特測頻系統中，由于近似核算法的非線性影響，頻率偏差理論值呈非對稱狀態，擬合精度不高。

圖2 Rife算法頻率估計對比圖

由此，在Rife算法理論模型的基礎上，構建算法模型：

(3)

式中：δ為頻率偏差值；R為最大譜線和次大譜線幅度比；xi為待求解的參數。

根據算法模型，首先選取合適的特征及特征值實現頻率偏差的分類，在此基礎上，通過非線性最小二乘法實現曲線的擬合。

2.2 頻率偏差分類

從圖2觀察可知，R與δ存在一對二的映射關系，在頻率擬合時，根據R值無法確定δ的大小。為了簡化分析，將圖中較大的曲線標為類別1，較小的標為類別2。這樣，在測定R值的情況下，需要選擇合適的特征以及特征值對頻率偏差δ所屬類別進行準確區分。

由Rife算法和Quinn算法可知，信號頻譜中最大譜線和次大譜線的幅度以及相位與δ值有直接關系。用Aa和Ab分別表示最大譜線及右鄰譜線的幅度，φa和φb表示最大譜線及右鄰譜線的相位。選擇Aa-Ab、φa-φb及φa/φb3種特征進行仿真分析，結果如圖3所示。

圖3 不同特征下頻率偏差分類效果圖

從仿真結果來看，圖3(a)中兩類數據點無法有效區分；圖3(b)、3(c)中除了個別點以外都能夠被區分開來。由此可見，特征Aa-Ab不能對頻率偏差實現分類，特征φa-φb和φa/φb均能夠滿足分類要求，而前者需要設置2個特征值，后者僅需要一個。簡單起見，選擇特征φa/φb對頻率偏差實現分類。

考慮到噪聲對分類結果的影響，設置不同的噪聲水平對分類性能展開仿真，結果如表1所示。

從表1可以看出，隨著噪聲水平的提升，分類正確概率有所降低，但依然在98%以上；當信噪比大于15 dB后，分類正確概率達到99%以上，且在不同信噪比下，特征值均穩定在0.41左右，故不需要隨著噪聲的高低而自適應變化。

表1 不同信噪比下的特征值和分類正確概

2.3 模型參數求解

由式(3)知，算法模型為非線性方程，只能通過非線性最小二乘法求解未知參數。非線性最小二乘法的求解算法主要有高斯-牛頓法、LM算法和最速下降法，其中LM算法通過阻尼因子自適應調整達到收斂特性，兼顧了高斯-牛頓法和最速下降法兩者的優點，具有前者的局部收斂性和后者的全局特性[9]，所以，這里采用LM算法進行求解。

采用LM算法求解時，需要由式(3)構建目標函數(代價函數)：

(4)

式中：x為待求解的參數向量；Ri和δi分別為輸入和輸出測量值；m為樣本點數。

(5)

對于三元非線性方程組，構建雅可比矩陣，記為：

(6)

為了求解式(5)所示的非線性方程組，將其進行泰勒級數展開，通過參數向量x逐次迭代實現求解。設參數向量x的初值為x(0)，第k次迭代和第k+1次迭代后的值分別為x(k)和x(k+1)，則有算式：

F(x)≈F′(x(k))+J(x(k))(x(k+1)-x(k))

(7)

令Δx(k)=x(k+1)-x(k)，則有：

J(x(k))Δx(k)=-F(x(k))

(8)

式(8)為多元線性方程，方程是否存在解的情況取決于雅克比矩陣J(x(k))的正定性，如果矩陣J(x(k))非正定，算法將出現發散情況而無法執行。為了克服上述缺陷，引入阻尼因子μk，式(8)變為：

[J(x(k))+μkI]Δx(k)=-F(x(k))

(9)

上式展開為：

(10)

進而得：

Δx(k)=-[J(x(k))+μkI]-1F(x(k))

(11)

由此可以得到經過第k+1次迭代后的參數向量：

x(k+1)=x(k)-[J(x(k))+μkI]-1F(x(k))

(12)

設定收斂精度ε0，若參數向量x滿足精度要求，則有x*=x(k+1)，并結束迭代過程。經過求解，得到頻率偏差類別1和類別2的擬合曲線方程：

(13)

(14)

綜上，本文提出的基于非線性二乘法的擬合算法可以概括為4個步驟：

步驟1：搜索單比特FFT頻譜，記錄最大譜線的位置mN、最大譜線和次大譜線的幅度比R以及最大譜線和右鄰譜線的相位比P；

步驟2：根據P值大小確定頻率偏差的所屬類別；

步驟3：如果頻率偏差屬于類別1，則將R值代入式(13)，否則代入式(14)，求得頻率偏差δ。

3 仿真驗證

為了驗證算法擬合性能，采用2 bit ADC，采樣頻率為25 GHz，對采樣信號做4 096點近似核FFT，在2～12 GHz的頻率范圍內隨機選取1 000個頻點，統計不同信噪比下頻率偏差的擬合程度，仿真結果如圖4所示。

圖4 不同信噪比下本文算法擬合效果

由圖4可知，隨著噪聲水平的上升，數據點的分布越雜亂，擬合難度越大，但本文算法仍然有很好的擬合效果。為了直觀比較各擬合算法的頻率估計性能，對本文算法、Rife算法、Quinn算法以及高斯擬合等算法展開對比仿真，統計不同信噪比下的RMSE和平均絕對誤差(MAE)，結果如圖5所示。

圖5中，從RMSE對比結果來看，本文算法比其他擬合算法更接近于CRLB，頻率偏差波動更小；從MAE對比結果來看，本文算法相對于其他算法，頻率估計精度達到0.1 MHz,測頻精度更高。因此，仿真結果驗證了本文算法的有效性和優越性。

4 結束語

本文針對常規擬合算法在單比特測頻中存在測頻精度有限的問題，在Rife算法模型基礎上，提出了一種基于非線性最小二乘法的頻率擬合算法，利用頻率偏差分類和LM算法模型參數求解實現了頻率的擬合估計。仿真結果表明，本算法測頻精度達到0.1 MHz，與Rife算法、Quinn算法以及高斯擬合等算法相比，在頻率估計均方根誤差和頻率估計精度方面具有一定的優越性。

圖5 不同算法頻率估計性能對比圖