初中數學分類討論思想在解題中的應用研究

胡玉存

（甘肅省武威市涼州區高壩鎮十三里堡九年制學校，甘肅武威 733000）

引 言

根據我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求，初中數學教育應注重培養學生的個人思維。教師要采取科學的教學方法，全面提升學生的數學核心素養。而數學中的分類討論思想是常見的思想方法之一，在許多應用題的解析過程中，都能夠得到良好的應用。因此，許多初中數學教師都將分類討論思想與實際教學相結合，基于培養學生數學思維的要求，進而推動我國初中數學教育事業的良性發展[1]。

一、初中數學分類討論思想在解題中的重要性與原因

（一）初中數學分類討論思想在解題中的重要性

面對當代教育的改革，數學作為初中教育體系中的重要科目，也成為學生學習任務中的難點之一。針對如何在數學教學中培養學生的邏輯思維能力，教師需要將數學思想的滲透作為著力點，以全面提升學生的學習能力。初中階段是青少年的成長階段，在這一成長階段的學生對周圍的新鮮事物有強烈的好奇心，且自身的自制能力也相對較弱，而教師可利用學生的這一成長特點，將其作為培養學生學習興趣的關鍵前提，從而通過一些教學手段引導學生對數學學科產生興趣，充分發揮學生的主觀能動意識。在初中數學解題過程中，分類討論思想就是從多個角度更加全面地論述問題，并最終確定題目的正確答案。這種方案化的解題方式，往往可以拓寬學生的思維寬度，強化學生在面對各類問題時的思維跳躍性與靈活性。針對不同的學習情況，教師更應有針對性地展開教學，這樣才能提升課堂的教學效率。

（二）初中數學分類討論思想在解題中的重要性成因

當代教育的教學理念是因材施教。對于不同學生的學習情況，教師應采取多樣化的教學方式，對不同層次的學生開展符合其學習需求的教學方法。在實際解題教學中，教師應合理地引入分類討論思想，要根據實際的問題類型決定，如初中數學教學中常見的三角形問題、函數問題與不等式問題等。對于題目的實際情況，所采取的分類討論、回答方式也多種多樣。基于不同定義的區分與討論，以這一思想為引導的解答過程，都能為學生提供清晰的解題思路[2]。

二、初中數學分類討論思想在解題中的應用研究

（一）關于應用題方面的具體應用

在初中數學教學的解題內容中，應用題是主要的問題形式，學生所需要具備的基礎素養中，解題能力也是其中之一。如在某例題中，家具廠需要生產課桌與學生椅，而市場的定價情況是，課桌的定價為150元，學生椅的定價為50元。家具廠為了調節市場利益，現推出兩種形式的配套購買方案：方案一，每購買一張桌子，贈送一把椅子；方案二，若配套購買桌子與椅子，則桌子單價打九折。根據數學的分類討論思想，我們可以將題目中的已知條件列舉出來，也就是說，當消費者所購買的桌、椅成套數量為x時，方案一的價格為“150x”，方案二的價格為“（90%×150+50）x”。本應用題的問題是：假設某學校需要購買50 張桌子和50 張椅子，那么哪種購買方式最為合算？從問題中可以看出，需要學生對兩種方案進行依次計算，再進行結果比對，最終確定方案的選擇。這一求解的過程，就是數學分類討論思想應用的過程。因此，可得出以下計算過程：方案一，150x=150×50=7500（元）；方案二，（90%×150+50）x=185×50=9250（元），∵7500 ＜9250，∴方案一更為合算，故方案一為最佳購買方式。

（二）關于函數方面的應用

函數是初中數學教學中的重點內容。許多學生在學習函數的過程中，常遇到諸多的難點。而部分初中學困生的成因也正是函數部分的知識沒有“吃透”，對基礎知識的應用水平也不高。針對函數的概念而言，學生從七年級數學開始首次接觸一次函數，函數作為一種全新的代數性思維，學生的基本思維在與代數性思維接軌的過程中，發生“脫軌”也屬于正常現象，但通過數學分類討論的形式，就可以對初中數學中函數部分的知識點加以簡化。如在一次函數中，關于象限中的函數圖像常出現求坐標值的問題。

例如，y=2ax+x+1（a為常數）的圖像與x軸存在一個交點，那么求a的具體值為多少。這一題型對于初中學生來說，有一定的難度，但通過分類討論的思想進行求解，就能夠為學生提供清晰的思路。首先，該函數為一次函數，那么2ax的項則為0，故當a=0時，函數圖像與x軸的交點應為（-1，0）；若該函數可能為二次函數，那么a作為二次項，則a值不可為0，故a=0.25，則該函數圖像與x軸的交點為（-2，0）。在這一思考過程中，所應用的數學邏輯思維就屬于分類討論思想，學生可通過對兩種可能存在的情況進行分別討論，從而得出多個方面可能存在的數值，最后將數值進行匯總，得出此題的具體答案。對于初中教學而言，教師應讓學生知道，在一道問題中未必只存在一個答案。分類討論的思想正是將這種全面的思維融入進去，從而對學生的思維寬度予以拓展。

（三）關于不等式方面的應用

在當下時代的初中數學教學中，分類討論思想由于自身的實用優勢，在日常數學課堂教學中應用范圍較廣，且能夠適用于各類教材版本的教學。在初中不等式問題中，分類討論思想也可以彰顯出重要的教學價值。

例如，某單位計劃9月組織員工團建，人數在10～25 人，甲、乙兩個旅行社的服務質量相同，且旅游價格都是200元/人，但甲旅行社承諾給每位游客七五折優惠，乙旅行社可以免去一位游客的費用，剩余游客享受八折優惠。如果你是該單位的負責人，你會如何選擇？首先這道例題與上文的“成套桌椅購買問題”相似，但不同之處在于，本題的人數并不固定，處于10～25 人之間，這就需要學生在解題時，應用分類討論思想做出明確的探究。解題思路如下：假設該單位參與團建的人數為x，則選擇甲旅行社的總費用為200×0.75x元，而選擇乙旅行社的費用為200×0.8（x-1）元。這道題可分三種情況討論：（1）當200×0.75x＜200×0.8（x-1）時，應選擇甲旅行社，x＞16；（2）當200×0.75x＞200×0.8（x-1）時，應選擇乙旅行社，x＜16；（3）當200×0.75x=200×0.8（x-1）時，選擇甲、乙旅行社均可，x=16。數學分類討論思想的核心在于培養學生的解題思路。教師應基于這項要求制訂具體的教學計劃。

結 語

初中數學教學中的大多數知識點都應用了分類討論思想，這是由于初中數學知識點相較于小學數學知識點，具有更強的思維性與邏輯性，使學生在解題時，也必須通過這一方法，將題目的已知條件進行整理，最終通過清晰的思路列舉出來，形成良性思維，逐漸提升個人的數學核心素養。