數學史作為初一數學課程教學資源的課例研究

孟 捷

（新疆生產建設兵團第一師阿拉爾市四團學校，新疆阿拉爾 843300）

引 言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，數學課程內容“不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法”[1]。數學史正是數學結果形成過程中舉足輕重的部分。正因如此，《課程標準》在“課程資源開發和利用建議”一節提出：“學校應尋找合適的學習素材，如數學史與數學家的故事和其他學科的相關內容，以開闊學生的視野，豐富教師的教學資源。”

在一線初中數學教學活動中，“數學史資源應當融入課堂教學”已成為大多數初中數學教師的共識，但“從意識到實踐轉化”的鴻溝仍然較大。數學史資料作為教學資源面臨著兩方面的困境。一方面，教師對數學史方面的鉆研有所欠缺、數學史專業知識儲備不足；另一方面，囿于歷史久遠，初一學生剛上初中，知識儲備有限，而數學史片段佶屈聱牙，令學生難以讀懂，亦起不到較好的教學效果[2]。受多種因素制約，數學史已然慢慢淡出了初一數學教材。因此，如何恰當運用數學史資源服務初一數學教學，成為擺在初中數學教育者面前的一個重要課題。

一、“以本為本”挖掘數學史教學資源，提升學生數學學習興趣

“以本為本”要求教師嚴格按照《課程標準》和教科書的要求，扎實開展教學活動[3]。這是教學活動開展的基準。《課程標準》指出：“教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學發展史的有關材料，幫助學生了解在人類文明發展中數學的作用，激發學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美。”人教版初一數學教材高質量地達到了《課程標準》的要求，將數學史有機滲透到了各個知識點中。以七年級上冊數學教材為例，其涉及數學史的“閱讀與思考”內容：第一章“有理數”編入“中國人最先使用負數”的內容；第三章“一元一次方程”編入“‘方程’史話”的內容；第四章“幾何圖形初步”編入“幾何學的起源”的內容等。

以初一數學第一章“有理數”中第一節“負數”的教學為例，教師可充分挖掘教材中的數學史教學資源，激發學生對數學史的學習興趣。在課堂授課前，教師可以準備紅、黑木棍若干，然后向學生介紹：“同學們，歡迎大家來到初中的數學課堂。老師手里有一把紅色的小木棍，它有個別致的名字，叫算籌。”引導學生運用紅色的算籌進行數數。接著，教師可以引導學生猜想：“我們小學就見過了紅色的算籌，咱們古代先民就用這些紅色的算籌來計數，如數羊。這里，老師還有一些黑色的算籌，你們猜猜它的作用是什么呢？”隨后，教師可以繼續引導學生：“黑色的算籌代表咱們吃了多少只羊，黑色小棒代表的‘-4’就是負數。”最后總結：“我國先民很早就開始使用負數，《九章算術》首次正式引入了負數及其加減法的運算規則，而到了魏晉時期，劉徽就開始使用不同顏色的算籌表示數。可謂往事越千年，數學這門學科，雖歷久卻彌新，至今仍在我們的學習和生活中發揮著重要作用。今天，我們要一起學習的負數，正是咱們老祖宗寶貴的遺產。”通過算籌的數學史拓展，教師有機整合了課內數學史教學資源，更好地實現了本課“激發興趣、導入學習”的教學環節目標，也更激發了學生的學習興趣，促使學生更加積極主動地參與到課堂學習中。

二、“以本為本”加強數學史練習引導，構建學生數學知識體系

落實“以本為本”的要求，不是“本本主義”，而是通過富有創造性的教育教學活動，促進學生數學基礎知識和基本能力的生成，而拓展練習就是其中重要的環節。運用數學史上較為經典的例題作為課堂拓展練習，不僅可以加深學生對相應知識點的理解，還可以發展學生的數學思維。這些例題可以選自古今中外的相關著作，如《九章算術》《孫子算經》、古埃及《萊因德紙草書》《希臘選集》、丟番圖《算術》中的一些問題。

以初一數學第三章“一元一次方程”的教學為例，教師可以利用意大利斐波那契《計算之書》和我國張蒼、耿壽昌《九章算術》中的一些問題作為數學史教學資源，通過練習環節發展學生的思維。首先，教師出示《計算之書》中關于排水的一道例題，言明其從意大利語翻譯過來是這樣：“現在有一只水桶，上面有四個大小不一的孔洞。如果用第一個孔洞排水，1 天就能把桶里的水全部排完；如果用第二個孔洞排水，2 天才能把桶里的水排完；如果用第三個孔洞排水，3 天才能把桶里的水排完；如果用第四個孔洞排水，4 天才能排完。請問，現在將四個孔洞同時打開，桶里的水幾天能排完？”通過課堂練習，教師可引導學生回顧“將整體視為單位1”的知識點，進行一元一次方程計算。接著，教師可出示斐波那契的解法：“斐波那契先假設12 天將水排盡，則第一孔將桶中水排盡12次，因為12 天是1 天的12 倍；同理，第二孔排盡6 次，第三孔排盡4 次，第四孔排盡3 次，因此12 天一共能排空25 次，排空1 桶就需要二十五分之十二天。”并詢問學生：“你認為用一元一次方程的解法直觀明了，還是斐波那契的解法直觀明了？”最后告訴學生：“其實《九章算術》中更早就有類似的題目，只不過不是放水，而是注水。題目說：‘今有池，五渠注之。其一渠開之，少半日一滿；次，一日一滿；次，二日半一滿；次，三日一滿；次，五日一滿。今皆決之，問幾何日滿池？’”通過對排水問題的解答，學生溫習了一元一次方程的知識，夯實了課業基礎。同時，教師對斐波那契解法的梳理，帶動了學生對數學史的學習，使學生感受到數學之美。最后，教師結合注水問題，回顧了教學主題，提升了訓練效果，深化了學生對古今中外數學發展史的認識。

三、“以本為本”強化對數學史知識的回顧總結，發展學生數學邏輯感知

要想落實“以本為本”的要求，教師既要深入研讀《課程標準》和教材，又要全面了解學生學情，并創設生動的教學情境，貫徹《課程標準》綱領，服務學生實際，幫助他們全面提升數學素養。數學的知識體系和數學學科的發展史是密切關聯的。例如，在教學七年級第三章第一節“從算式到方程”后，教師可以及時總結關于“元”的知識，從“大衍求一術”到“天元術”。及時地總結，不僅有助于學生體會中華民族數學家的精深研究，感悟中華文化的璀璨，更能使學生形成對“方程是含有未知數的等式”的全面理解，這就構建了學生由學習數學史知識到發展邏輯感知的轉變。

又如，在教學初一數學第六章“實數”中，教師可以通過一系列的數學史回顧，幫助學生梳理課程內的知識結構，使學生更好地理解數學作為一門學科的發展邏輯。就“無理數不是沒有道理的數”這一知識點而言，教師可以通過介紹無理數漢譯名稱的由來，對其加以闡述：“同學們，說到‘無理數’這個名字，大家可能都有一些困惑。都說無理數是‘有道理’的數，但它為什么又起了一個‘無理’的名字。其實，無理數的名字是一場‘誤會’。我國清代數學家華蘅芳，在翻譯西方數學教科書的時候，將教科書原文中形如 (x+y) 的式子譯為‘無理式’，后來這一名稱傳到了日本，日本數學家將錯就錯，就把這樣的數稱為‘無理數’。從今天翻譯的角度來看，西方數學書上irrational number 的名稱，翻譯過來不應是無理數，而應是無比例數。所謂‘無比例’就是不能表達為兩互質整數的比率。但無理數的名稱使用良久，約定俗成，我們就沿用至今。”通過這樣的介紹，教師解答了學生心中想問未問或沒有思考過的問題，幫助學生從無理數的本質理解有理數和無理數的差別，進而建構完整的實數知識體系。此外，這樣的數學史知識學習，也有助于學生理解本章“閱讀與理解”部分“為什么說不是有理數”的內容，讓學生更好地體會《歐幾里得幾何原本》對有理數的證明思路。隨后，教師可以繼續加以引導：“數學是一門科學，它的發展也并不是一帆風順的。公元前500年左右，畢達哥拉斯學派的弟子希帕蘇斯發現，一個腰長為1 的等腰直角三角形，斜邊永遠無法用最簡整數表示。從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯學派‘萬物皆數’的理論。學派眾人知道希帕蘇斯的發現后，認為這將撼動他們在學術界的統治地位，遂將其囚禁沉溺。數學的發展過程，也是先人們不斷探求真理的過程。今天的我們，也正追隨著先賢的腳步，不斷努力。”這樣的教學既讓學生明白無理數的本質，又讓學生形成了批判性思考的數學學習意識，產生了對學習數學史的興趣。

結 語

初中數學和小學數學相比，無論知識體量還是知識難度，都有了大幅提高。在長期的一線教學過程中，筆者發現，學生對數學史的知識擁有極大的熱情。相比于平鋪直敘的定理、公式，學生更樂于結合生活實際，在輕松的氛圍中“聽老師講數學背后的故事”。因此，“以本為本”將數學史滲透進日常數學教學中，能夠有效幫助初中生學習數學知識，發展數學思維，從而全面提升數學學科核心素養。