在比較時歸納特征 于操作中形成概念
——以《三角形的認識》為例

江蘇常州市懷德苑小學 黃袁媛

一、案例背景

《三角形的認識》是“空間與圖形”領域的重要研究內容之一。學生在第一學段已經直觀認識了三角形，那么,課堂上該如何抽絲剝繭地揭示并歸納出三角形的特征，幫助學生建立三角形高的核心概念，明確深化三角形中高的畫法呢？在這樣的任務驅動下，筆者對本次執教的過程做了詳細的記錄與分析，取得了良好的教學效果。現將課堂教學主要過程簡要介紹如下。

[片段一]認識三角形的特征

師:瞧！黃老師帶來了一些圖片，誰可以找到三角形？

生1:自行車上有三角形。

生2:建筑物上有三角形。

……

根據學生指出的三角形,課件動態演示出三角形的輪廓,并隱去實物產品圖片,抽象出4個三角形。

師:大家快速準確地找到了圖片中的三角形，想一想生活中還有哪些三角形？

生1:三角尺上有三角形。

生2:我家弟弟玩的積木上有三角形。

……

師：看來同學們對三角形并不陌生，你可以試著在紙上畫一個三角形嗎？

學生畫完三角形后，教師組織展示和交流，并讓三個學生依次上臺對照作品詳細說說畫三角形的過程。教師隨即將三幅作品并排展示在投影上。

師：比較一下這三個三角形，它們有哪些共同點呢？

生1：都有三條邊。

生2：都有三個角。

生3：都有三個頂點。

師:一條線段2個端點，為什么三角形有三條線段卻只有3個頂點呢?

生:每兩條線段有一個端點重合,所以,三角形有3個頂點。

師:對！在數學上這就叫首尾相連,首尾相連是三條線段圍成三角形的重要條件。（師板書）

師：誰可以嘗試描述怎樣的圖形稱為三角形嗎？

生：三條線段首尾相連圍成的圖形叫三角形。

師；圍成，你可真善于觀察！說明三角形是一個封閉的圖形。

思考：三角形是生活中常見的平面圖形，學生對其認知只停留在直觀的層面，如果要問“什么樣的圖形是三角形？”學生很難準確地說出概念，大多數只能說出一些基本的特征。

考慮到學生在生活中會接觸一些三角形的物體,因此,本課伊始，教師聯系學生的生活實際,選擇他們熟悉的生活場景,引導他們從中尋找現成的三角形。首先在場景圖中尋找，然后聯系生活中的三角形，并初步感知其特征。接著引導學生通過畫三角形并在對所畫的三角形進行對比的活動中，進一步建立正確而清晰的表象，因為生活中的三角形都不可避免地保留著其物理屬性,只有畫出的三角形才可以看作是數學意義上的三角形。

本環節分兩個層次，教師先組織了系列活動，尋找生活中的三角形，豐富了圖形的表象。再引導學生從圖形的邊、角、點不同角度進行觀察，通過嘗試畫圖、抽象概括等方式，讓學生自主建構三角形的概念特征。

[片段二]認識三角形的高

師(出示圖1）：老師帶來了一張三角形賀卡,你能幫它做一個長方形的信封嗎?長和寬至少是多少?需要測量賀卡的什么數據?

師：請把你的想法畫出來,再量一量。

圖1

圖2

（指名演示）

生1：我是用最底下這條邊作為長方形的長，寬是沿著頂點畫出來的線段。（如圖2）

生2：我是用左邊的這條邊作為長方形的寬，長是沿著右下角的頂點畫出的一條垂線。（如圖3）

生3：我是用右邊的這條邊作為長方形的長，寬是沿著左下角的頂點畫出的一條垂線。（如圖4）

師:觀察比較一下以上的設計方法，有什么共同點？

圖3

圖4

生：它們都是基于三角形的一條邊作為長，對面的頂點到這條邊的距離作為寬。

師:為什么要以這條線段作為寬呢？

交流明確:信封的長是三角形的其中一條邊,寬是這條邊對面的頂點到這條邊的距離。

師:像這樣的線段，在數學上叫作三角形的高（邊說邊用手指高）。誰可以試著描述一下什么叫三角形的高嗎？

生：從三角形上面頂點到下面邊的垂直線段是三角形的高,下面這條邊,也就是上面頂點所對的邊,是三角形的底邊。

師:可以看到,三角形的高就是頂點到對邊的什么?

生（眾）：距離。

師:說得不錯。(邊說邊演示)我們用虛線表示三角形的高,在高與底邊組成的直角上標上直角標記。用字母h表示三角形的高,字母a則表示與高相對應的底邊,我們就說,a是高h對應的底,h是底邊a上的高。

（讓學生照樣子互相說一說）

師：剛才我們找到了a邊上的高，你覺得這個三角形一共有多少條高呢？先思考一下。

師：現在老師來采訪一下同學們，你為什么認為是1條？有不同想法嗎？

……

師（課件演示小結）：三角形有3個頂點和3條對邊，每條邊對應一條高，所以三角形有3條高。

思考：在三角形高的認識教學時，教師借用給賀卡加信封的設計貫穿始終，給予足夠重視，放慢學生操作學習的節奏，在實踐中探究信封的長與寬就是三角形對應的底與高，在此基礎上定義三角形的高,水到渠成,瓜熟蒂落。而強調高對應的底和底上的高，目的在于幫助學生理解三角形的底與高的相互依存關系,深化對概念的理解。

三角形高的認識是本節課的重點，在問題情境中讓學生大膽探索與嘗試，使學生真正“動”起來，思維“活”起來，打破傳統教學三角形高的方法，讓學生在“操作”中發現高與邊的關系，學得主動，學得輕松，學得快樂。

[片段三]學會畫指定邊上的高

反饋：重點辨析下面這兩種情況。

預設：（1）高在直角邊上。我找不到這個三角形的高在哪里？你知道嗎？問反饋的學生：他的回答是你畫的高嗎？（2）鈍角三角形。從頂點向底邊作高，又在哪里呢？

師：如果老師把一個三角形放在一組平行線之間，任選一個頂點沿著所在的平行線上移動，同學們想象一下，高會發生什么情況？

預設：（1）三角形的形狀發生變化了。“真的嗎？我們等下來看看”。（2）三角形的高會移動，跑到外面去。“你說的話是什么意思？誰聽懂了？”（3）三角形的面積變了。“這等我們學習了面積后再來回顧下這題是否變化了。”

師（第一次移動）：和你們的猜測一樣嗎？

師（第二次移動）：如果老師慢慢移動這個頂點，你們仔細觀察三角形的高，它的位置又發生了什么變化？高從外面到里面會經過哪個地方？

師：在一組平行線中移動頂點，頂點位置有無數個，高的位置隨著頂點變化而變化，時而在圖形內，時而在圖形外，時而和一條邊重合。多么神奇的高呀！

思考：“高會移動”這是學生對于問題的淺層思考。的確，高是隨著頂點移動，但是動態的問題對于空間觀念不強的小學生來講，理解起來比較困難。教師借用幾何畫板，通過在一組平行線內移動三角形的頂點，讓學生直觀感受三角形高的移動，體會到兩條平行線間的垂直線段相等，滲透了等底等高的思想。

在本環節中，學生經歷了“提出猜想→進行驗證→得出結論”的探究過程，并聯系已學的知識和日常生活經驗，猜想高的變化，然后動態操作去驗證，最后得出正確結論。

二、案例總結

1.特征的歸納來源于對比

在本課教學中,教師特別注重引導學生經歷從生成的素材中對比出幾何概念的過程。例如,在引入三角形概念時,教師通過對學生自己所畫的三角形的對比,引導學生觀察和比較,從三個不同形狀的三角形中提煉出三角形的共同特征,獲得對三角形特征的豐富感知。在認識三角形的高時,通過對三種不同的信封的設計方法的對比,體會三角形高的含義及其與對應底的關系。這樣經過比較后的歸納方式,有助于學生迅速發現三角形的幾何特征與本質屬性,實現數學概念“外延描述的抽象化”,也有助于學生提升數學素養。

2.概念的形成伴隨著操作

動作及表象是兒童認識客觀事物的起點和基礎。本節課安排了多樣而豐富的操作活動。例如,自己動手畫一個三角形,能讓學生在操作中主動發現三角形的特征；給三角形的賀卡設計一個長方形的信封，有助于學生主動在腦海里構建高的概念。所有這些,都有助于學生自主建構并理解三角形概念的內涵,積極探索獲得平面圖形特征的經驗,形成初步的直觀推理能力。

圖形教學的意義不僅在于讓學生掌握其特征和相關幾何概念本身，更在于引導學生形成認識和研究幾何圖形的抽象邏輯思維。通過上述案例，我們發現在比較時歸納特征、于操作中形成概念是行之有效的方法，有助于小學生真正打開思維的天窗，做學習的主人。這一理念和教學方法在之后的平行四邊形和梯形等幾何教學中應繼續予以貫徹。