情境化主題教學：為兒童思維生長而設計
——基于APOS理論的數學概念教學建構

江蘇常州市武進區實驗小學分校 陳小彬

概念是數學大廈的基石，是數學的邏輯起點，APOS理論視域下的情境化主題教學，關注學生建構概念的基本規律，關注數學概念形成過程的內部本質，觀照學生數學思維生長力，促成數學概念之間的關系網絡化，更好地為學生思維發展而設計。APOS理論是美國數學教育家杜賓斯基于20世紀80年代在數學教育研究實踐中總結的一種概念學習理論，他認為，學生對數學概念的建構過程要經歷：活 動（Action)—過 程（Process)—對 象(Object)—圖 式(Schema)等四個階段。

一、APOS理論視域下情境化小學數學概念教學的價值與意義

1.順應：符合學生認知特點與規律

APOS理論視域下的概念教學讓學生在情境中“活動”，在過程中抽象，在反思中達到數學化，有助于激活學生已有的知識經驗或生活經驗，從而順其自然地開啟兒童概念學習“刺激模式”，以感性認知為切入口，感悟概念的一般屬性，符合兒童的認知特點，遵循兒童認知概念的規律。

2.集聚：提升學生密集的腦力當量

數學概念的形成過程是一個由表及里發現和提煉本質特點的過程，更是一個對概念本質特點進行歸納和抽象命名的過程。APOS理論視域下的概念教學讓學生經歷“材料感知—辨析比較—歸納概括—抽象命名”的概念形成過程，幫助學生逐步形成辨析比較、概括提煉的抽象能力。學生經歷了這樣概念建構的過程，可以提升密集的腦力當量。

3.深入：推動學生對數學本質的理解

數學概念具有很強的系統性，APOS理論視域下的概念教學，遵循學生的認知結構，學生通過實例比較、分析、概括、分化和類化等思維活動，可以理清概念的關鍵屬性，從而形成數學概念的系統結構。經過這樣的建構過程，學生在學習時會聚焦屬性本質，數學思維從“理性思維”逐步走向“理性精神”。

二、APOS理論視域下情境化概念主題教學策略建構

1.有向“活動”：豐盈感性體驗指向兒童“直觀思維”

感性材料是影響概念教學的先行因素。感性材料越豐富，學生對概念的掌握也就會越準確。對豐富的感性材料進行概括和整合，透過現象探究數學概念的本質特征，才能由感性認識上升到理性認識。因此，在概念教學過程中要提供大量的、豐富的、感性的事實材料，注意引導學生發現和感悟材料特點。所謂“大量的”材料提供目的有兩個：一是避免學生形成的概念內涵單一，材料越豐富，學生形成概念的內涵越豐富；二是為了激發學生產生對大量材料梳理清晰的學習需求。所謂“豐富的”材料，是指既要包括蘊涵概念本質屬性的材料，又要包括反映概念非本質屬性的材料，它們成為凸顯概念本質屬性的反襯資源。以下以蘇教版數學三年級下冊《認識面積》一課教學為例：

師：這是我們的教室，請小朋友仔細觀察，說說有些什么？

師提問：誰能來指一指黑板的面？

師：你能照樣子指一指課本的封面，練習本的封面，文具盒蓋等物體的面嗎？

師提問：看看黑板的面和課本封面，哪一個面比較大，哪一個面比較小？

師：拿出老師為大家準備的樹葉、長方形紙、愛心扣等物件，你能在小組里說一說它們的面積嗎？

師：從你身邊再找一些物體，摸一摸它們的面，比一比它們的面積。

在上述教學案例中，教師通過教室里的設施、學生的文具、生活中的樹葉等，創設了學生熟悉的現實情境，通過“活動”讓學生親身體驗、感受背景材料與概念之間的關系，不斷發現“豐富的”材料的共同特點，通過這樣感性材料“分化”的過程，讓學生在情境中尋找到歸納概念本質的線索。

2.融通“過程”：引發數學思考指向兒童“經驗思維”

通過有向活動，學生經歷概念引入、概念初建的過程，通過活動操作、歸納概括、抽象命名形成概念。運用壓縮和解壓縮的過程去實施某個“活動”是數學思維的一個特點。由于概念是數學家早已建立了的，對學生個人而言，是在他尚未經歷的情況下需要重復的那類過程，通過親自操作體驗，做一次再創造而形成概念的過程。因此，概念建構的過程也要關注學生的最近發展區，在學生自發性概念的基礎上，幫助學生在經歷對事實材料辨析比較分析，也就是自發性概念所能到達的水平與科學概念所要求的水平之間的區間，對已經接觸到的恰當的實例進行組織整理、分析歸納，使學生逐步由表及里發現數學的本質。以下以蘇教版數學五年級下冊《認識圓》一課為例：

過程一：新舊比較，初步感知圓的特征。初次畫圓，體會圓的與眾不同，學生交流不同的畫圓方法，按以下順序完成：（1）借助圓形物體畫圓；（2）釘線畫圓；（3）圓規畫圓。

過程二：利用圓規，初次畫圓，初步感知圓及其特征。圓規畫圓，掌握畫圓方法。出示要求：試著用圓規畫一個圓。

過程三：利用圓規，再次畫圓，體會圓心與半徑的意義。用圓規在作業紙上畫出兩個不同的圓。畫好后，想一想，與同桌說一說，所畫的兩個圓有什么相同與不同之處。

過程四：利用圓規，三次畫圓，體會半徑與直徑的特征；四次畫圓，理解半徑特征。提問“同一個圓內，有多少條半徑，長度有什么關系？直徑呢？”體會同一個圓內半徑有無數條，且都相等。

過程五：對折圓片，探索特征，總結知識，理解半徑與直徑的關系。

在上述教學案例中，教師緊緊圍繞畫圓這一過程開展教學活動，每次活動都有清晰的活動經驗積累的目標，通過聚類的研究分析，發現圓相同的共性特點，比如：半徑相等、直徑相等、圓的大小與半徑有關、圓的位置與圓心有關等。學生在活動中思考，經歷思維的內化、壓縮過程，收獲清晰的圓概念建構的活動經驗。

3.聚焦“對象”：解析概念內涵指向兒童的“抽象思維”

學生能夠把經歷的“過程”作為一個整體進行操作和轉換，意味著學生已經將這個過程提升為心理“對象”。這時,促進學生不斷地調整頭腦中的動作表象，形成準確的定向映像，進而在實際操作活動中可以調節動作的執行。再以動作表象為基礎，既操作別的對象，又被高層次的運算來操作，就是學生在不斷建模的過程，在數學概念某一個層次和更高一級層次之間起著一種樞紐作用。在操作過程中，概念呈現一種靜態結構關系，易于整體把握性質，讓思路和思維實現鏈接，這時一個完整的理解才真正成型。以下以蘇教版數學五年級下冊《分數與除法的關系》一課教學為例：

（1）操作體驗，積累感性認識

出示：把3塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？

提問：結果會是多少塊？（學生活動操作）

呈現資源：這三小塊，拼起來，就是一塊餅的3/4，所以是3/4塊。

（2）想象演繹，激發理性思考

提問：如果把3塊餅平均分給5個小朋友，每人分得多少塊呢？

（3）關系表達，形成認知表征

師：同學們的想法和表述都很有創意，有的用文字，有的用符號，有的用字母，它們都體現了分數與除法的關系。數學上我們一般用含有字母的等式來表示。如a÷b=a/b，此處b可以是0嗎？為什么？

在上述教學案例中，教師通過分一分、擺一擺等直觀操作，逐步引導學生建構“分數與除法的關系”，通過抽象認識了分數與除法的關系的概念本質，并進行高度的概括和簡約的表達a÷b=a/b，賦予了形式化的定義及符號，使其成為一個思維中的具體對象。這樣融合操作與模型建構，使學生在以后的學習中，可以此為對象進行新的學習活動，達成思路與思維的鏈接。

4.活化“圖式”：建構知識網絡指向兒童“系統思維”

概念教學過程中概念圖式的形成需要理性思辨，它不同于感性認知中的感覺、知覺和表象，而是屬于人們對事物的理性認知，它已經不是從局部而是從整體上，不僅是從外部形態上而是從事物的內部規律上，反映了事物的本質屬性。為了讓學生把概念內涵與外延抽象串聯起來，需要注重建立起與其他概念、規則、圖形等的聯系。教學過程不僅關注內涵的學習，還要進一步研究概念的外延。通過辯證、剖析，將概念的內涵與外延串聯起來。

例如，“平行四邊形”的內涵包括：①是平面圖形，②是凸四邊形，③對角相等，④對邊平行，⑤對邊相等，⑥對角線互相平分等本質屬性。而平行四邊形的外延是所有平行四邊形的集合，其中包括矩形、菱形和正方形。平行四邊形概念建構的過程，不僅要對其概念內涵進行深度探索，還要重視菱形、矩形、正方形等圖形特征的聯系與區別。

因為概念的內涵嚴格地確定了概念的外延，反過來，概念的外延也嚴格地確定了概念的內涵。概念的內涵和外延之間存在著反變的關系，即概念的內涵增多，將導致外延的縮小，反之，概念外延的擴大，也必然導致內涵的減少。因此，需要引導學生從概念的內涵和外延兩個方面來思辨明確概念，進而形成概念的綜合心理圖式。

實踐證明，一個數學概念由“過程”到“對象”的建立有時是既困難又漫長的，需要充分的“活動”作為建構的直觀基礎，從“過程”到“對象”的抽象需要經過多次的反復，循序漸進，螺旋上升。圖式的形成往往并非是一種自覺的行為，而是滲透于整個學習的漸進的建構過程。