簡(jiǎn)便意識(shí)：小學(xué)生數(shù)學(xué)數(shù)感培養(yǎng)的重要途徑

江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)跨塘實(shí)驗(yàn)小學(xué) 繆建平

人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活實(shí)踐中，經(jīng)常要和各種各樣的數(shù)打交道。如果學(xué)生能有意識(shí)地將一些事物、現(xiàn)象與數(shù)、數(shù)量建立聯(lián)系，自覺、主動(dòng)甚至自動(dòng)化地運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)態(tài)度、數(shù)學(xué)思想去理解和把握生活實(shí)際中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并運(yùn)用適切的數(shù)學(xué)方法和策略去解決生活中的實(shí)際問題，就是其具有“數(shù)感”的具體表現(xiàn)。

數(shù)感是人的最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，英文為“Number Sense”，可翻譯成數(shù)感、數(shù)覺或數(shù)意識(shí)。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，“數(shù)感”被作為十大核心概念之一被提出，進(jìn)一步說明它在數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的重要地位。

應(yīng)該說，“簡(jiǎn)便意識(shí)”是“數(shù)感”的一種重要表現(xiàn)形式。“簡(jiǎn)便意識(shí)”即簡(jiǎn)便運(yùn)算的意識(shí)，是指學(xué)生在掌握一定的計(jì)算知識(shí)與技能的同時(shí)，自發(fā)運(yùn)用運(yùn)算定律（性質(zhì)、規(guī)律等），達(dá)到計(jì)算的最優(yōu)化，使計(jì)算變得簡(jiǎn)捷的心理意向。具有“簡(jiǎn)便意識(shí)”的學(xué)生，能在進(jìn)行四則運(yùn)算及相關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，有意識(shí)地觀察所要解決的問題，敏銳地發(fā)現(xiàn)其中數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，并且自覺地讓數(shù)與數(shù)之間發(fā)生巧妙的聯(lián)系，找到最簡(jiǎn)便合適的運(yùn)算方法，進(jìn)而順利快捷地解決問題，并產(chǎn)生愉悅的成功體驗(yàn)和審美體驗(yàn)。

然而，我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，不難發(fā)現(xiàn)下列兩種現(xiàn)象。一種現(xiàn)象是學(xué)生對(duì)要求“簡(jiǎn)便運(yùn)算”的計(jì)算題算得正確、合理、熟練，但有時(shí)卻把不能進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的計(jì)算題也“硬去簡(jiǎn)便”造成了錯(cuò)誤；另一種現(xiàn)象是，在其他不要求進(jìn)行“簡(jiǎn)便計(jì)算”的日常解題或運(yùn)算中，盡管題目可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，卻因?qū)W生缺乏自覺簡(jiǎn)便的意識(shí)，不能靈活處理，從而表現(xiàn)出某種習(xí)慣心理或惰性心理。

比如，學(xué)生在剛學(xué)習(xí)了運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算后，碰到諸如“34×43+12×23”這樣的題目時(shí)，苦思冥想，想套用“某某運(yùn)算律”來進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。

再比如，在計(jì)算銅管（見圖1）的體積時(shí)，由于學(xué)生缺乏簡(jiǎn)便意識(shí)，不能主動(dòng)發(fā)掘題目中的隱蔽的信息及其之間的聯(lián)系，最終陷入煩瑣的計(jì)算中，造成列式正確但往往不能計(jì)算出正確結(jié)果的“怪現(xiàn)象”。

學(xué)生的“簡(jiǎn)便意識(shí)”哪兒去了？為什么學(xué)生缺乏自覺進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的意識(shí)呢？通過學(xué)習(xí)認(rèn)知心理學(xué)理論、日常調(diào)查與觀察分析，發(fā)現(xiàn)有如下原因。

圖1

一、思維定式消極影響

思維具有方向性，思維的定勢(shì)是人人都有的。思維定式既有積極的一面，也有消極的一面。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，就需要利用類似的舊知的定勢(shì)來形成和鞏固所學(xué)的新知識(shí)；而當(dāng)學(xué)生已經(jīng)掌握了該知識(shí)，如果仍然用類似的舊知識(shí)去強(qiáng)化定勢(shì)，使某一知識(shí)方法處于統(tǒng)治地位，學(xué)生囿于某一方法，就會(huì)表現(xiàn)出思維的惰性。相反，如果教師注意到這種消極影響，經(jīng)常采用“突變題”予以打破，往往能收到較好的教學(xué)效果。

比如，在教學(xué)低年級(jí)加減兩步計(jì)算及乘除兩步計(jì)算時(shí)中，教師經(jīng)常設(shè)計(jì)諸如6－8＋4、34－18－2、6×2×5（表內(nèi)乘法）、8×6÷3（表內(nèi)乘除）的題目，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，就一定能突破“運(yùn)算從左到右”的思維框架，也為學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)四則運(yùn)算養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

教師在進(jìn)一步讓學(xué)生計(jì)算“4597+43-40”“518×38÷19”時(shí)，學(xué)生似乎從中觀察到一些數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，分別計(jì)算如下：

二、思維發(fā)散不夠流暢

美國(guó)心理學(xué)家吉爾福特提出：人類智力是由操作、內(nèi)容、產(chǎn)品三個(gè)維度組成的結(jié)構(gòu)模型。在操作這一維度上，他提出了由認(rèn)知、記憶、發(fā)散性思維、輻合性思維和評(píng)價(jià)五個(gè)方面。他明確地把“發(fā)散性思維”定義為一個(gè)不依賴常規(guī)、尋求變異、從多方面尋求答案的思維方式，并把思維的流暢性作為發(fā)散思維的一個(gè)基本要求。

運(yùn)算中受思維習(xí)慣心理影響較大的學(xué)生，思維的流暢性如何呢？我們?cè)鲞^一個(gè)小實(shí)驗(yàn)：比較大小，用“＞”連接以下各分?jǐn)?shù)：

結(jié)果只有10%左右的學(xué)生，在三分鐘以內(nèi)給出了這道題的正確答案。他們摒棄了常規(guī)思維下的比較分?jǐn)?shù)大小的方法（通分），創(chuàng)造性地用求各分子的最小公倍數(shù)的方法來比較大小。顯然，大多數(shù)學(xué)生的思維流暢性不及這10%的學(xué)生。

訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生思維的流暢性的一般策略是：（1）要求學(xué)生對(duì)一些常用的方法提出新的或非常用方法；（2）在非評(píng)價(jià)氣氛下進(jìn)行快速聯(lián)想訓(xùn)練，以鼓勵(lì)學(xué)生就事物進(jìn)行信息轉(zhuǎn)換。

三、信息加工缺乏深度

圖2

心理學(xué)認(rèn)為，解決問題要靠知識(shí)，而知識(shí)以模式為導(dǎo)引。有經(jīng)驗(yàn)的人能夠較快地從問題中把他原來熟練的模式辨別出來，然后進(jìn)行問題解決。可以認(rèn)為，模式辨認(rèn)是決定問題解決的關(guān)鍵所在。如果問題簡(jiǎn)單，模式辨認(rèn)一般沒有什么困難；如果問題復(fù)雜，辨認(rèn)就比較困難了。

比如，剛剛上面舉到的“計(jì)算銅管的體積”這一問題，還有下面的求復(fù)雜幾何圖形面積的問題（見圖2）。

如果不能對(duì)信息進(jìn)行深度加工，學(xué)生就會(huì)陷入煩瑣的計(jì)算中。因此，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘題目中隱藏的信息，主動(dòng)地對(duì)問題進(jìn)行有效加工，而不是停留在一般感知層面，這樣就能順利而簡(jiǎn)捷地進(jìn)行解答。

比如，在圖2中，教師在平時(shí)教學(xué)中就要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步建模：每個(gè)空白部分占正方形面積的21.5%。于是，陰影部分面積＝正方形面積×（1－21.5%×2）＝6×6×57%＝20.52（平方厘米）。

教學(xué)中，教師經(jīng)過多次地指導(dǎo)及強(qiáng)化后，學(xué)生不但能形成有關(guān)幾何形體計(jì)算的一般性策略，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生排除無關(guān)信息干擾，主動(dòng)加工，并迅速進(jìn)行模式辨認(rèn)與自覺簡(jiǎn)算的能力。

四、缺乏策略評(píng)價(jià)意識(shí)

“策略評(píng)價(jià)”是解決問題能力表現(xiàn)的一個(gè)重要方面。學(xué)生缺乏簡(jiǎn)便運(yùn)算意識(shí)的一個(gè)重要表現(xiàn)就是缺乏對(duì)策略評(píng)價(jià)的意識(shí)，“不怕計(jì)算麻煩”是缺乏策略評(píng)價(jià)意識(shí)的學(xué)生的共同特點(diǎn)。在做題時(shí)，有的學(xué)生往往是找到一種方法就心滿意足，即使是很復(fù)雜的運(yùn)算，也沒有去想一想“有沒有簡(jiǎn)便的算法”的化歸思想，而是硬著頭皮繼續(xù)“死算”下去。

這種現(xiàn)象不能責(zé)怪學(xué)生，我們應(yīng)從教學(xué)內(nèi)容組織和教師教學(xué)引導(dǎo)兩方面去找原因。一方面現(xiàn)行課程內(nèi)容中引發(fā)學(xué)生策略評(píng)價(jià)的方面做得還不夠，抑或是教師在組織教學(xué)內(nèi)容時(shí)沒有有意識(shí)整合這一方面的內(nèi)容，課本中似乎用一句“能簡(jiǎn)便時(shí)就簡(jiǎn)便”打發(fā)學(xué)生了事。另一方面，教師也怕學(xué)生在簡(jiǎn)便運(yùn)算的過程中發(fā)生錯(cuò)誤，于是只要求學(xué)生算對(duì)就行，并沒有強(qiáng)行要求學(xué)生要有簡(jiǎn)便意識(shí)。

解鈴還須系鈴人。首先教師本身就需要有自覺的策略評(píng)價(jià)意識(shí)，其次還要把這樣策略評(píng)價(jià)意識(shí)傳遞給學(xué)生。這就要求教師在日常教學(xué)中，通過一個(gè)個(gè)鮮活的教學(xué)實(shí)例，讓學(xué)生逐步明白：日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是解答什么類型的數(shù)學(xué)題，不管有無簡(jiǎn)算指令，只要具備合理而簡(jiǎn)便的運(yùn)算條件的，都要自覺地、有意識(shí)地按最簡(jiǎn)捷方法進(jìn)行解答。同時(shí)，教師還可結(jié)合數(shù)學(xué)活動(dòng)課，講講諸如數(shù)學(xué)家高斯的小故事、精選介紹課外書的“巧算與妙算”的方法、向?qū)W生們推薦閱讀《算得快》《算得巧》等數(shù)學(xué)讀物，這樣，可以拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域，使其速算巧算策略得到了積累，反省評(píng)價(jià)意識(shí)也得到了增強(qiáng)，簡(jiǎn)便意識(shí)也就會(huì)慢慢地增強(qiáng)。