應用有界度圓填充逼近共形映射

黃寶勤 劉太河

(1、2.安順學院數理學院，貴州 安順561000)

0 引言

圓填充是在給定邊界內對圓的一種排列，使它們沒有重疊，并且其中一些(或全部)是相切的。文獻[1]應用內部不相交的六邊形圓填充來逼近Riemann映射，文獻[2]研究了圓填充及其應用，文獻[3]對內部可以重疊的圓的排列所組成的圓模式進行了研究。文獻[4]應用內部不相交的六邊形圓填充來逼近兩個單連通區域之間的共形映射，文獻[5]對有界度圓填充逼近進行了研究。本文將應用有界度圓填充(度數為6)逼近兩個不同單連通區域之間給定的共形映射。令Ω是一個有界單連通區域，P是幾乎填滿的一個有界度圓填充。假設P的所有縫隙都是三角形，則由圓填充理論知，存在幾乎填滿單連通區域且與P同構的一個有界度圓填充。共形映射f的逼近解可以通過圓的對應關系來進行構造，逼近解在對有界度圓填充的進行適當規范化后收斂于共形映射函數f:Ω→Ω′，當m(P)→0，其中m(P)=max{在P中圓的半徑}。本文分三個部分：第一節介紹與有界度圓填充有關的一些結論，接下來一節構造共形映射的逼近解，最后一節證明這些逼近解收斂于共形映射f:Ω→Ω′，當m(P)→0。

1 預備知識

在常曲率曲面上的一個圓填充P稱為是有界度圓填充，如果在P內的每個圓有至多d個鄰域圓。特別地，如果在P內的每個圓有六個鄰域圓稱圓填充P為六邊形圓填充。在本文中始終假設有界度圓填充P的所有縫隙都是三角形，并且對于任何圓填充P要求m(P)≤ε，其中ε是某個正常數。

引理1 令Δ(或Δ′)是由半徑為R1，R2，R3(或r1,r2,r3)的三個相切圓的圓心組成的三角形，令F是映Δ到Δ′上的一個線性變換，則存在常數π/38

應用該結果可得

(|a|+|b|)另一方面由不等式|z1+z2|≤|z1|+|z2|可得

r1+r2=|F(0)-F(R1+R2)|≤(R1+R2)

(|a|+|b|),

r1+r3=|F(0)-F((R1+R3)ω)|≤(R1+R3)(|a|+|b|),

r2+r3=|F(R1+R2)-F((R1+R3)ω)|

≤(R2+R3)(|a|+|b|)

由此得出

(1)

三角形Δ與Δ′的面積分別為[R1R2R3(R1+R2+R3)]1/2與[r1r2r3(r1+r2+r3)]1/2。因此，線性變換F的行列式一定是

|a|2+|b|2=B

(1)式與上式結合，得

(2)

由(1)式，(2)式可得

(3)

(4)

對(3)式，(4)式分別應用介值定理知，分別存在常數π/38

成立。從而完成引理證明。

引理2 假設c是有k個鄰域圓c1c2，…，ck(k≤d)的半徑為r(c)的圓盤，則

證明 令O與O′分別表示圓盤c與cj(j=1,2,…,k)的中心，并且令∠OjOOj+1=θj。下面將要證明

(5)

不失一般性，考慮圓盤c，c1,c2,令OD表示三角形ΔO1OO2內切圓D的中心，并假設∠OO1OD=α，∠OO2OD=β，則有

從而有

這就完成引理的證明。

2 構造共形映射的逼近解

設T是一個有界度的三角剖分其承載形是一個緊致加邊曲面，三角剖分T上的半徑函數r是定義在T頂點上的一個正函數。三角剖分T的內部頂點vk的半徑函數r的曲率定義如下：設(vk,v1,vm)是與三角剖分T相伴的每個面的頂點，r(vk),r(v1),r(vm)是由歐氏三角形(vk,v1,vm)的頂點為中心所確定的三個相切圓的半徑，沿相應的邊緣焊接這些三角形可以組成一個錐流形。對于所有以vk為頂點的面，設θ1，θ2，…，θn是對應每個歐幾里得三角形中以為頂點vk的角。則kr(vr)=2π-(θ1+θ2+…+θn)是半徑函數r在頂點vk上的曲率。當在T的所有內部頂點v都滿足Kr(v)=0時，那么我們就說半徑函數r是平坦的。

對于單連通的承載形T，則一個平坦的半徑函數r確定在剛體運動下的有界度圓填充浸入是唯一地。復平面C內的有界度圓填充浸入，如果所有圓盤的內部都不相交，就稱為一個有界度圓填充嵌入。

對于q1≥1，定義σn(q1)是最小的實數使得

對于所有的有界度圓填充浸入P成立，并滿足

對于q2≥1，定義σn(q2)是最小的實數使得

對于所有的有界度圓填充浸入P′成立，并滿足

有下面的結論

引理3 對于固定常數q1≥1，q2≥1，當時n→∞時，σn(q1)→0，σn(q2)→0。

由引理3知，對于

有下式

成立，并且當n→∞時，σn(q)→0。

令Ω是一個有界且包含固定點ω1，ω2的單連通區域。在?Ω上給定的正連續函數ρ，有界度圓填充的一個序列構造方法如下：假設平面內有界度圓填充P的最大圓半徑為ε(ε為大于零的充分小常數)，以最接近ω1的圓c0作為起點，由P的圓組成的鏈，且每條鏈內的所有圓的鄰域圓都在Ω的內部。出現在這樣的鏈內的所有圓組成并且每個圓至少是這些圓中一個圓鄰域的集合記為Cε。令平面區域三角剖分Tε是由連接Cε內所有相切圓的中心而得到的。

在Tε的邊界頂點上定義與ρ相伴的函數β方法如下：假設ξ是?Ω上最接近υ的一個點，當υ是Τε的邊界頂點時，定義β(υ)=ερ(ξv)。因為Ω是單連通，由文獻[4]的定理1知，單連通區域的Ω一個有界度圓填充P′確定一個平坦半徑函數。對于Tε內最接近ω1,ω2，的頂點v1，v2，對P′進行滿足P′(v1)中心在原點、P′(v2)的中心在正實軸上的規范化。假設相伴的半徑函數為rε。

其中π/38

證明 由引理1知下列兩式成立，

(6)

(7)

其中常數π/38

當n→∞時，σn(q)→0。從而方程(6)，(7)可簡化為

故引理成立。

3 收斂性

令Ω是一個有界，包含固定點ω1，ω2的單連通區域。假設f:Ω→Ω′是滿足f(ω1)=0，f(ω2)>0的共形映射，使得|f′|可連續地擴充到Ω的邊界上并且在?Ω上與ρ一致。

(8)

成立。

通過規范化使ω1及ω2分別趨近于0和正實軸就證明了H=f。故定理成立。

4 結論

本文證明了對于一個有界單連通區域Ω內半徑不相等的有界度圓填充(度數為d≥6)，存在幾乎充滿單連通區域Ω′一個同構的有界度圓填充，可以構造共形映射f的逼近解，經過有界度圓填充的適當規范化，逼近解收斂于共形映射函數f:Ω→Ω′，當m(P)→0，其中m(P)=max{在P中圓的半徑}。