探究方程名題 提升文化素養

肖國勝

[摘要]古巴比倫、古埃及、古中國等都有最早的方程問題，如丟番圖的墓志銘、阿爾·花拉子密的遺囑、張遂的李白喝酒等歷史名題。探究方程的經典名題、感受悠久的歷史文化、領略數學的趣味、欣賞巧妙絕倫的數學解題方法，感受數學家的人文精神，能激發學生學習動機，使其掌握數學方法、形成數學思維、提高學習效率，特別是提升數學的文化素養。

[關鍵詞]方程;數學家;數學;文化;歷史

[中圖分類號]G633 6 [文獻標識碼]A

[文章編號]1674-6058（2020）30-0075-02

方程是初中代數中最基本的數學知識，也是最經典的內容。自然，一元一次方程是最古老的方程，也是最基礎的方程，更是最基本的數學模型，利用一元一次方程去解決應用問題是最基本的要求。最早的方程、丟番圖的墓志銘、阿爾·花拉子密遺囑等問題的解決都是精彩的一元一次方程題，是提高數學教學效率的重要資源。依照自然的方法去教，知識的學習就極有可能有趣又有益。通過體驗方程中豐富、精彩的文化內涵，感受數學中令人鼓舞的人文精神，領略數學家與方程的趣聞軼事，激發學生學習動機、點燃數學思考熱情的同時，也讓其經歷思考方程問題的挑戰，促進對方程的深刻理解，掌握處理等量關系的絕巧方法。利用這些經典名題，既增加知識的趣味性，又突顯知識的歷史悠久，既增強知識的價值，又體現數學方法，改善教學效果，提升文化效率。

一、欣賞最早的方程，感受歷史的悠久

古巴比倫的泥版書、古埃及紙草書、我國的《九章算術》上都記載著經典的方程問題。通過對經典數學名題的學習，學生能感受一元一次方程有悠久的歷史，體驗一元一次方程豐富的歷史文化背景，揭示方程深刻的文化內涵，體驗方程的文化韻味以及價值意義。數學文化的融入，不僅體現方程的來龍去脈，而且有了方程的典故，于是方程才有了創造的源頭。在公元前1600年左右，已經有了一元一次方程，當然也有最早的方程問題，它保存在古埃及紙草書中：

它的全部，與它的七分之一，和等于19。它是多少？

古埃及的紙草書是公元前1600年左有人類歷史上的珍貴文物，紙草書上最早問題的提出，意味著方程產生的時間不是幾百年前，是三千五百年前，這對我們大腦的沖擊是巨大的，是令人驚憾、可佩的。同樣，丟番圖（約公元246-330年）的墓志銘、花拉子米的遺囑等經典問題的提出，很自然地展現出方程歷史之悠久、知識之經典、思想之偉大。

二、回味丟番圖的墓志銘，感受數學家的追求

知識不是枯燥無味的，知識具有豐富多彩的人文特色。利用經典的丟番圖墓志銘等名題，能感受方程豐富、生動的人文精神。丟番圖是古希臘亞歷山大后期的重要學者和數學家，代數最重要的創始人之一。他的墓志銘體現了數學家的數學情懷：

他生命的六分之一是幸福的童年;他生命的十二分之一讓他兩頰長起了細細的胡須;他結了婚，又度過了一生的七分之一;婚后五年，他有了兒子，感到很幸福;可是兒子只活了他父親全部年齡的一半;兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了。請說出他的壽命。

設丟番圖的壽命為x年，根據題意則有方程：

1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4=x，解得x=84。

公元3-4世紀丟番圖的墓志銘居然與一元一次方程有較大聯系，充分揭示了數學知識不是孤立的、孤單的，浸潤著許多數學家的趣聞軼事，丟番圖活到84歲是高壽，墓志銘問題的解更是對“歷史上的數學家往往短命”謬論的有力駁斥，學習數學、投身數學、體驗數學、欣賞數學，愉悅心靈，有利健康。

三、品味方程的巧妙，領略方法的精彩

方程的歷史極其悠久，思想也極為精辟，解法要非常巧妙。許多數學家對一元一次方程的經典問題給出精彩的解法，使其成為數學的經典，代代相傳。帕普斯（3-4世紀）是丟番圖最得意的一個學生。帕普斯打小就跟著丟番圖開始學習數學，一次，帕普斯請教老師一個問題：

四個數中，三個三個相加，得到的和依次是22，24，27，20，請問是哪四個數。

問題看起來很簡單，其實較復雜，有四個未知量，帕普斯認為，要求出這四個數有點復雜，好像有難度。于是，他向數學家丟番圖請教，是否有什么巧妙的方法，能解決這一經典問題。丟番圖給出了巧妙的解法：不必直接求這四個數，而是設四個數的和為y，于是，這四個數各自為y-20，y-22，y-24，y-27，容易得到一元一次方程（y-20）+（y-22）+（y-24）+（y-27）=y。立即得到y=31，自然，這四個數依次是9，7，4，11。這個精彩絕倫的解法讓帕普斯非常驚嘆、非常敬佩，也堅定了他畢生從事數學研究的決心。巧妙的解題方法會讓學生體驗到數學的精妙、思維的高超，體驗到解數學題的精妙，心中也必然充滿了學好數學的信心。

四、探究花拉子密遺囑，挑戰數學思維

數學歷史中沉淀有思考價值的問題，是促進數學探究、增進數學思考的學習資源。對于一元一次方程，有丟番圖的墓志銘、阿爾·花拉子密的遺囑等，這些是進行教學探究的好材料。約公元820年，中亞細亞的數學家阿爾·花拉子密非常不幸，在其妻子懷著第一胎小孩時他撒手人間，臨終時留下一份遺囑：

如果妻子生的是兒子，兒子將繼承三分之二的遺產，妻子繼承三分之一的遺產，如果生的是女兒，妻子將繼承三分之二的遺產，女兒將繼承三分之一的遺產。

在孩子出生前，數學家阿爾·花拉子密已離世，他的妻子生了一對龍鳳胎，這非常困擾大家，如何分配阿爾·花拉子密的財產才符合遺囑要求？這是一個非常現實又有趣的問題。最后，數學家探究到阿爾·花拉子密遺囑的精髓是兒子繼承的遺產是妻子的兩倍，妻子繼承的遺產是女兒的兩倍。由此得到一元一次方程。通過對阿爾·花拉子密遺囑的討論，促進對精辟思想的體驗及巧妙方法的掌握，還有對方程思想的深刻理解，以及對方程中蘊涵的歷史文化的體驗。

五、欣賞中國詩詞，領略方程詩意

方程就是方程，誰也沒有想到數學與詩歌有關聯，特別是與一元一次方程有關聯。例如，明代大數學家程大位著的《算法統宗》的百羊問題：甲趕羊群逐草茂，乙拽一羊隨其后，戲問甲及一百否？甲云所說無差謬，若得這般一群湊，再添半群小半群，得你一只來方湊，玄機奧妙誰猜透？我國唐代的天文學家、數學家張逐曾以“李白喝酒”為題材編了一道題：李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒，原有多少酒？（斗是古代酒具，也可作計量單位）

也就是說，我國許多數學問題和知識往往可通過朗朗上口的詩歌去敘述、傳播，這是有別于其他國家和地區的數學文化。一元一次方程與詩歌給人文學上的詩情畫意，也注重方程的研究與學習，既是數學知識的學習又有詩歌的體驗，可感受數學文化的深意，取得一舉多得的效果，突出數學教學的高效，更增強數學的文化素養。

總而言之，在符號化、形式化的數學中，利用歷史文化還原數學題，挖掘出生動活潑的數學思維，揭示精彩的數學解題方法，重溫引人深思的數學哲理。古巴比倫、古埃及最早的方程問題，丟番圖的墓志銘、阿爾·花拉子密的遺囑、程大位的百羊問題、張遂的李白喝酒題等都是經典問題。利用經典的方程名題，根據已知量、未知量，尋找等量關系，得到一元一次方程，解此方程就能得出答案，這樣的思想成為解決相關問題的重要工具及策略。浸潤于歷史文化中的一元一次方程，有了生長發展的“土壤”，并且有了不斷發展的“營養”，為一元二次方程、高次方程以及多元一次方程組的提出及解決做了重要的奠基工作。同時，經典名題也讓學生感受方程的歷史悠久，領略數學知識的趣味，感受到數學家的趣聞軼事，發現數學知識源于現實、源于生活，體驗方程中蘊涵的數學文化，領會、掌握方程思想，將歷史文化融入課堂，在文化層面感受歷史、愉悅心情、習得知識、欣賞數學、熱愛數學、理解數學，特別是提升了學生在數學方面的文化素養。

[參考文獻]

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（責任編輯 黃諾依）

[基金項目]本文為廣東省霞山區中小學教育科學“十三五”規劃課題“融入數學文化的教學目標研究”研究成果（課題號：xs2017z005）。