二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題研究

安徽 陳曉明

多年來(lái)二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題主要包括四種情況：軸定區(qū)間定(二次函數(shù)的對(duì)稱軸和定義域都不含參數(shù))；軸定區(qū)間動(dòng)(只有定義域區(qū)間端點(diǎn)含參)；軸動(dòng)區(qū)間定(只有二次函數(shù)的對(duì)稱軸含參)；軸動(dòng)區(qū)間動(dòng)(二次函數(shù)的對(duì)稱軸和定義域區(qū)間端點(diǎn)都含參數(shù))．因?yàn)榈谝环N情況較簡(jiǎn)單，第四種情況較復(fù)雜，所以考的較少，而中間兩種情況考的特別多．“軸動(dòng)區(qū)間定”的情況只需分三種情況討論(軸在區(qū)間左、中、右)即可，難度也不大，因此本文主要研究“軸定區(qū)間動(dòng)”的情況．巧合的是，本學(xué)期筆者所在學(xué)校(省級(jí)示范高中)的三次大型考試都考到了這種情況．在試卷講評(píng)課上筆者帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行研究，以期找到此類問(wèn)題的求解策略．

A.b=2 B.b≥2 C.12

【例2】已知函數(shù)f(x)=-x2-2x+3，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+4]上的最小值．

錯(cuò)解：如圖所示，要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+4]上的最小值，只需比較區(qū)間的端點(diǎn)離對(duì)稱軸x=-1的遠(yuǎn)近即可．因此分3種情況討論：

(1)當(dāng)-1-a>(a+4)-(-1)，即a<-3時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值f(x)min=f(a)=-a2-2a+3．

(2)當(dāng)-1-a=(a+4)-(-1)，即a=-3時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值f(x)min=f(a)=f(a+4)=-a2-2a+3=0．

(3)當(dāng)-1-a<(a+4)-(-1)，即a>-3時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值f(x)min=f(a+4)=-a2-10a-21．

剖析：能將求函數(shù)最值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)間端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)近的問(wèn)題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，然后通過(guò)分類討論解決問(wèn)題．但是圖象畫(huà)的不夠準(zhǔn)確，因?yàn)槎x域區(qū)間[a,a+4]長(zhǎng)度為4，而拋物線f(x)=-x2-2x+3與x軸兩交點(diǎn)分別為(-3,0),(1,0)，它們之間的距離也為4，而從圖象上看[a,a+4]卻落在[-3,1]的內(nèi)部，明顯不對(duì)．幸好還不影響解題．另外，如圖所示，當(dāng)對(duì)稱軸x=-1在區(qū)間[a,a+4]右側(cè)時(shí)，上面分類中的(a+4)-(-1)為負(fù)值，不能表示右端點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離．因此，上面的分類只是對(duì)稱軸x=-1在區(qū)間[a,a+4]內(nèi)的情況，還要討論對(duì)稱軸分別在區(qū)間左及區(qū)間右的情況．

(2)當(dāng)-1≥a+4，即a≤-5時(shí)，f(x)min=f(a)=

-a2-2a+3．

(3)當(dāng)a≥-1時(shí)，易知f(x)min=f(a+4)=-a2-10a-21．

(1)當(dāng)a+2<-1，即a<-3時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值f(x)min=f(a)=-a2-2a+3．

(2)當(dāng)a+2=-1，即a=-3時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值f(x)min=f(a)=f(a+4)=-a2-2a+3=0．

(3)當(dāng)a+2>-1，即a>-3時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值f(x)min=f(a+4)=-a2-10a-21．

【例3】當(dāng)x∈[a,b]時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-4x+5的最小值為a，最大值為b，則b=________.

解析：本試題與前面試題有什么異同點(diǎn)呢？首先定義域區(qū)間有所不同，例1只有右端點(diǎn)含參，例2與例3左、右端點(diǎn)都含參，不同的是例2只含一個(gè)參數(shù)，而例3含兩個(gè)參數(shù)．然后例1與例3其實(shí)都是定義域與值域相同(給出含參最值)，求參數(shù)的值．而例2是求含參最值．

本題還是要比較拋物線的對(duì)稱軸x=2與定義域區(qū)間的位置關(guān)系.

(3)當(dāng)a<2

首先可以確定的是函數(shù)f(x)=x2-4x+5的最小值a=f(2)=1，這樣函數(shù)的最大值b可分為兩種情況：

①當(dāng)b≤3時(shí)，如圖所示，b=f(a)=f(1)=2，這與前提條件a<2

②當(dāng)b>3時(shí)，如圖所示，由題意知b=f(b)，故b2-

評(píng)注：看來(lái)研究二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題，抓住拋物線的對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．這道在考場(chǎng)上得分率極低的試題并不是不可逾越的！

教學(xué)思考

通過(guò)前面的例題，我們不難發(fā)現(xiàn)試題難度在遞進(jìn)，學(xué)生在解題過(guò)程中會(huì)遇到一個(gè)個(gè)難以解決的問(wèn)題．“問(wèn)題探究”的學(xué)習(xí)方式對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維有比較大的影響．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不只是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)式的思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神．這些僅憑學(xué)生聽(tīng)講、做題是很難獲得的，而以問(wèn)題為中心的合作探究學(xué)習(xí)可以促進(jìn)學(xué)生思維的飛躍、素養(yǎng)的提高．