例談構(gòu)造“模型”求解排列組合問題

江蘇 于 健 郭建華

排列組合問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，因?yàn)閱栴}都比較抽象，運(yùn)用常規(guī)方法不容易迅速入手或者運(yùn)算較為煩瑣，若將抽象的排列、組合問題轉(zhuǎn)譯或構(gòu)造為與其等價(jià)的數(shù)學(xué)模型或?qū)嶋H模型，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用模型加以處理，常會(huì)有化難為易、獨(dú)辟蹊徑之處．下面筆者就幾類問題舉例說明，以饗讀者.

一、構(gòu)造組合模型

點(diǎn)評(píng)：這種構(gòu)造組合模型證明構(gòu)思精巧，把枯燥抽象的公式還原為有意義的實(shí)例，既便于理解記憶，又能極大地激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．

二、構(gòu)造隔板模型

所謂隔板法是指在n個(gè)相同元素間插入(m-1)個(gè)板，即把n個(gè)元素分成m部分的方法．其實(shí)就是將相同的球放入不同的盒子，每個(gè)盒子放入球的個(gè)數(shù)不限，求不同方法種數(shù)的一種解題方法．其中用球代表相同元素，用板所隔出的幾個(gè)部分代表相應(yīng)的分配集合，也就是“球”通過隔板的不同插入方式，得到不同的分配結(jié)果．

例3.把8個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，有多少種不同的放法?

解法1：因?yàn)榍蚺c球沒有差別，但是盒子不一樣，所以各盒子中小球數(shù)量的不同，就屬于不同的放法．

解法2：第一步：在各盒子中先放一個(gè)小球，僅有1種放法；

所以把8個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，有35種不同方法．

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)榍蚴且粯拥模凶邮遣灰粯拥模圆煌姆徘蚍椒w現(xiàn)在不同盒子中的球的個(gè)數(shù)的不同；解法1和解法2的第二步都運(yùn)用了“隔板法”；解法2將問題解決分成了兩步．

變式1：把8個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，有多少種不同的放法?

所以把8個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，有165種不同放法．

變式2：方程x1+x2+x3+x4=8的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)是多少?

解析：把x1，x2，x3，x4看成4個(gè)不同的盒子，本問題可理解為將8個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子(允許有空盒子)，與變式1屬同一問題的不同表征(解略)．

點(diǎn)評(píng)：相同的球放入不同的盒子，每個(gè)盒子放球數(shù)不限，適合隔板法．隔板的塊數(shù)要比盒子數(shù)少1．

例4.求(x1+x2+x3+x4+x5)10展開式中共有多少項(xiàng)?

所以(x1+x2+…+x5)10展開式中共有1 001項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確理解隔板法的使用條件，是使用隔板法求(x1+x2+…+x5)10展開式中的項(xiàng)數(shù)的理論依據(jù)．

三、構(gòu)造數(shù)列模型

例5.有一樓梯共10級(jí)，每步只能跨上1級(jí)或2級(jí)，問要登上最后一級(jí)共有多少種走法?

解析：因?yàn)槊坎街荒芸缟?級(jí)或2級(jí)，所以最后一步可能從第9級(jí)也可能從第8級(jí)跨上第10級(jí)，向前遞推關(guān)系不變．設(shè)登上第k級(jí)有ak種走法，顯然a1=1，a2=2，當(dāng)k>2時(shí)，登上第k級(jí)臺(tái)階的走法可以分兩種情況得到：從第k-1級(jí)臺(tái)階跨一級(jí)登上第k級(jí)，或從第k-2級(jí)臺(tái)階，一步跨兩級(jí)登上第k級(jí)．故當(dāng)k≥3時(shí)，有ak=ak-1+ak-2，

所以a10=a9+a8=2a8+a7=…=34a2+21a1=89.

點(diǎn)評(píng)：通過將實(shí)際問題抽象為數(shù)列模型進(jìn)行問題解決，有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

四、構(gòu)造幾何模型

例6.圓上有11個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連成一條線段，這些線段在圓內(nèi)最多有多少個(gè)交點(diǎn)?以這些交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形最多有多少個(gè)?

點(diǎn)評(píng)：該題如果用枚舉法顯然比較困難；同樣用計(jì)數(shù)原理先算出弦的總數(shù)，然后算出交點(diǎn)，再減去圓外和圓上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也很困難．如果利用映射關(guān)系，那么可以起到化難為易的效果．

例7.如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域A，B，C，D，E，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，且每塊區(qū)域只涂一種顏色，則不同的著色方法共有多少種?

解析：將其構(gòu)造為四棱錐(如圖)，題目即轉(zhuǎn)化為用5種顏色對(duì)四棱錐的頂點(diǎn)著色，每相鄰兩點(diǎn)不同色．用分步計(jì)數(shù)原理按ABCDE的順序著色，對(duì)A，B，C著色有5×4×3種，接下來對(duì)D和E著色，若D與B同色，接下來著色E，有1×3種，或者D與B不同色，接下來著色E，有2×2種，所以可得5×4×3×(1×3+2×2)=420種．

點(diǎn)評(píng)：本題若用常規(guī)方法，可以分為三類討論：用5種顏色著色、4種顏色著色、3種顏色著色，運(yùn)算復(fù)雜．恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造幾何模型，使問題大大簡(jiǎn)化，思維更為清晰，幾何作為一種直觀形象的數(shù)學(xué)模型，在發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神方面具有獨(dú)特的價(jià)值．