探索一道最值問題的演變路徑

陜西 李 歆

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升已成為當(dāng)代數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)和任務(wù)，教師必須站在數(shù)學(xué)思想和方法研究的高度，依托數(shù)學(xué)基本知識、基本方法和基本技能，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)，從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題，使數(shù)學(xué)解題不斷富有新的生命，才能使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以有效體現(xiàn)與落實(shí).

一、問題呈現(xiàn)

這是一道在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求二元函數(shù)的最大值問題，入手不是很容易，對學(xué)生觀察問題和數(shù)學(xué)變形的能力要求較高.

二、兩種解法

從整體的角度觀察，所求問題式的分子含有三個因式，當(dāng)把前兩個因式展開后，出現(xiàn)了xy+1與x+y項(xiàng)，而分母含有兩個因式，可以用柯西不等式進(jìn)行放縮，由此可得下面解法1.

【解法1】因?yàn)樗髥栴}為最大值，不妨設(shè)x>0，y>0，則

(1)若x-1，y-1同號，可得(x-1)(y-1)≥0，整理得x+y≤xy+1①，

(2)若x-1，y-1異號，可得(x-1)(y-1)≤0，整理得xy+1≤x+y②，

綜合(1)(2)得u≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1時等號成立.故umax=2.

【點(diǎn)評】解法1利用分類討論思想，從兩個實(shí)數(shù)x-1，y-1為同號或異號入手，通過問題隱含的兩個不等式①、②，使問題得以順利解決.但此解法首先假定了x>0，y>0，如果不這樣做，還能求解嗎？

由分子入手，通過變形，將分式進(jìn)行拆項(xiàng)處理，可得下面解法2.

【解法2】對所求問題式變形，并應(yīng)用基本不等式和柯西不等式得

當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1時等號成立.故umax=2.

【點(diǎn)評】在解法2中，將分子展開式中的項(xiàng)(x+y)(xy+1)變形為x(y2+1)+y(x2+1)，為分式拆項(xiàng)后順利應(yīng)用基本不等式打開了通道，因此，變形既是一種基本的解題素養(yǎng)，更是一種解題水平、能力和智慧的彰顯，應(yīng)該成為教學(xué)的常態(tài).

三、演變路徑

數(shù)學(xué)問題往往由已知條件和所求問題兩部分構(gòu)成，在保持原有問題類別不變的情況下，設(shè)法改變已知條件和所求問題的結(jié)構(gòu)，從而讓原有問題進(jìn)行重組，輸送出新鮮血液，孕育出新的生命價(jià)值.

路徑1：將分子與分母分離

【變式1】已知x,y為實(shí)數(shù)，且(x2+1)(y2+1)=4，求(x+1)(y+1)(xy+1)的最大值.

【解析】由已知條件及基本不等式和柯西不等式，得

當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1時等號成立.故(x+1)(y+1)(xy+1)的最大值為8.

【變式2】已知x,y為實(shí)數(shù)，且(x+1)(y+1)(xy+1)=8，求(x2+1)(y2+1)的最小值.

【解析】由已知條件，得8=(xy+1)2+x(y2+1)+y(x2+1)，

則由基本不等式和柯西不等式，得

所以(x2+1)(y2+1)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1時等號成立.

故(x2+1)(y2+1)的最小值為4.

【點(diǎn)評】將分子與分母分別看成一個獨(dú)立地整體，給其中一個賦值，求另一個的最值，從而將原有分式函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為整式函數(shù)的最值問題，雖然題型結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變，但因各個因式之間的位置沒有改變，使得原問題的解法2得到了傳承.

路徑2：給部分因式取常數(shù)

【解析】由已知條件，易得0

【變式4】已知x,y為正數(shù)，且x2y+x+xy=3，求(x+1)2(y+1)的最小值.

(x+1)2(y+1)=(x2+2x+1)(y+1)

=(x2y+x+xy)+x2+x+(x+1)y+1

當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1時等號成立.故(x+1)2(y+1)的最小值為8.

【點(diǎn)評】給(x+y)(xy+1)取常數(shù)4，即得到已知條件，將原有問題式調(diào)整后變?yōu)樾碌膯栴}式(x+1)2(y+1)，展開式為x2y+2xy+x2+2x+y+1，通過分組拆項(xiàng)后，必須將已知條件和已知條件的變式③分別代換，才能保障均值不等式的應(yīng)用暢通，否則就會思路受阻.

路徑3：將因式上下移動

【解析】令xy=t，則由已知條件易得0

由此可知，f(t)在(0,1]上單調(diào)遞增，所以f(t)≤f(1)=2，

從而可知u≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1時等號成立.故umax=2.

【解析】由已知條件易得0

④式等價(jià)于2(xy+3)≥x3y3-x2y2+3xy+5，

移項(xiàng)整理得x3y3-x2y2+xy-1≤0，

分解因式得(xy-1)(x2y2+1)≤0，此式顯然成立，從而可知④式成立.

【點(diǎn)評】由已知條件及x,y的對稱性，猜想④式成立，由此縮短了思考過程，若按照上述變式5用導(dǎo)數(shù)求解，則要復(fù)雜一些.

路徑4：將因式變乘為加

【解析】因?yàn)樗髥栴}為最大值，不妨設(shè)x>0，y>0，則

(1)若x-1，y-1同號，可得(x-1)(y-1)≥0，整理得x+y≤xy+1，

(2)若x-1，y-1異號，可得(x-1)(y-1)≤0，整理得xy+1≤x+y，

【點(diǎn)評】由于問題式的分子與分母是非齊次形式，增加了解題的難度，但受前面原有問題解法1的啟發(fā)，將目標(biāo)聚焦到x+y與xy+1的大小關(guān)系上，就找到了解題突破口，同時對x2+y2的靈活放縮，對解題的成功起到了杠桿支撐作用.

路徑5：給展開式中的部分項(xiàng)和取常數(shù)

【解析】由已知條件及均值不等式，得

整理得(x+y-2)[(x+y)2+2(x+y)+8]≥0，所以x+y≥2，

于是由柯西不等式，得

當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1時等號成立.故umax=2.

【解析】由已知條件，易得0

當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1時等號成立.故umax=3.

路徑6：減少展開式中的項(xiàng)

【解析】對所求問題式先變形，然后由基本不等式，得

當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=1時等號成立.故umax=1.

【解析】因?yàn)樗髥栴}為最大值，不妨設(shè)x>0，y>0，則由基本不等式，得

【點(diǎn)評】由于減少了原有問題展開式中的項(xiàng)，因此變式10和變式11變得相對簡單一些，但是在求解過程中，因?yàn)閮煞N變式問題分母的不同，后者先要進(jìn)行放縮才能變成與前者分母一樣，所以必須先要假定x>0，y>0，才能保證放縮第一步的正確性.

路徑7：改變因式中的常數(shù)項(xiàng)

【解析】因?yàn)樗髥栴}為最大值，不妨設(shè)x>0，y>0，

則由基本不等式和柯西不等式，得

當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=2時等號成立.故umax=2.

【點(diǎn)評】當(dāng)把分子中后兩個因式的常數(shù)項(xiàng)改變時，分母中第二個因式的常數(shù)項(xiàng)也要跟著改變，同時要保障放縮的路徑不發(fā)生改變.

路徑8：改變因式中的變量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)

【解析】因?yàn)樗髥栴}為最大值，不妨設(shè)x>0，y>0，

則由基本不等式和柯西不等式，得

【點(diǎn)評】當(dāng)分子中第一個因式的系數(shù)與第二個因式的常數(shù)項(xiàng)改變時，分母中第一個因式的系數(shù)與第二個因式的常數(shù)項(xiàng)要變?yōu)樗鼈兊钠椒剑@樣才能保障放縮的路徑保持不變.

路徑9：將因式中的變量系數(shù)與常數(shù)進(jìn)行拓展

【證明】因?yàn)樗髥栴}為最大值，不妨設(shè)x>0，y>0，

則由基本不等式和柯西不等式，得

四、收獲與思考