張軍徽，方瑞穎，武 娜，佟 安，劉應華

(1. 北方工業(yè)大學土木工程學院，北京100144；2. 清華大學航天航空學院，北京100084)

0 引 言

依靠光壓推進，太陽帆航天器通常被認為適宜于星際航行[1]，目前絕大多數(shù)的太陽帆任務圍繞深空探測[2-4]、人工拉格朗日點[5-6]開展相關研究。在這些研究中，太陽帆的地球逃逸出發(fā)軌道通常被設定在高度介于2000～36000 km的地球同步轉(zhuǎn)移軌道[7]，然而，地球同步轉(zhuǎn)移軌道的發(fā)射成本高昂，這迫使研究者開始考慮將太陽帆發(fā)射至600～900 km 的近地軌道(Low Earth orbit，LEO)，依靠太陽帆自身的多圈螺旋飛行實現(xiàn)地球逃逸[8]。2019年7月31日美國行星協(xié)會宣布LightSail 2成為世界上第一個僅依靠光壓實現(xiàn)升軌的近地軌道航天器[9]。另一方面，運行于近地軌道的太陽帆任務也逐漸引起人們的興趣，Matloff等[10]提出將近地軌道太陽帆作為行星采樣任務返回階段的空中剎車(Planetary aerobrake)；Macdonald等[11]提出利用近地軌道太陽帆實現(xiàn)對地球磁尾的長時觀測；Lappas等[12]提出了將近地軌道太陽帆用于衛(wèi)星壽命末期使衛(wèi)星脫軌的拖拽帆；文獻[13-15]提出利用太陽帆清除近地軌道日益增多的太空垃圾。在國內(nèi)，龔勝平等[16]研究了利用太陽帆實現(xiàn)地球同步和太陽同步軌道問題；錢航等[17]研究了受地球陰影影響的非理想太陽帆逃逸地球問題。近地軌道太陽帆以其獨特的優(yōu)勢正逐漸成為太陽帆研究的熱點。

在近地軌道繞地球飛行，航天器將周期性地進出地球陰影，經(jīng)歷空間熱環(huán)境的劇烈變化，熱環(huán)境沖擊將會引起太陽帆這種大柔性空間結(jié)構(gòu)的動力學響應，進而影響太陽帆航天器的光壓推進效率和姿態(tài)控制。國內(nèi)外，關于太陽帆熱致結(jié)構(gòu)動力學響應研究的報道較少。Malla和Lin[18]采用有限元方法研究了邊長100 m×100 m四邊形太陽帆在溫度場均勻變化下的結(jié)構(gòu)響應，桅桿和帆膜熱應變的不匹配引起了顯著的橫向結(jié)構(gòu)變形。Sickinger等[19]對碳纖維增強復合材料(CFRP)太陽帆桅桿的溫度場分布、模態(tài)特性和屈曲載荷進行了理論和實驗研究，研究表明：近地軌道太陽帆桅桿截面溫差最大可達150 ℃，溫差引起的熱應力造成了桅桿屈曲載荷的顯著降低，但對桅桿的剛度影響不大。Banik等[20]研究了非均勻分布溫度場對太陽帆拓撲結(jié)構(gòu)的影響，以及拓撲結(jié)構(gòu)變化對太陽帆推進效率的影響，當太陽帆姿態(tài)角達到35°時，非均勻溫度場在結(jié)構(gòu)內(nèi)部引起了較大的熱應變，造成了桅桿變形的增大。Stohlman和Loper[21]研究了一種三角形截面可展太陽帆桅桿(Triangular rollable and collapsible boom,TRAC)的熱致變形問題，4 m長的TRAC桅桿在近地軌道的熱致變形可達0.5 m，如此大的熱致變形將會造成太陽帆姿態(tài)的不可控。Stohlman[22]研究了超大型太陽帆桅桿的熱致變形問題，指出了對于大型太陽帆桅桿考慮熱-結(jié)構(gòu)耦合因素的必要性，給出了聯(lián)合商業(yè)軟件進行熱-結(jié)構(gòu)耦合分析的方法。Boni等[23]采用有限元方法研究了20 m×20 m方形太陽帆的熱致變形問題，結(jié)果表明在某些姿態(tài)角工況下帆膜的最大熱致變形達到15.98 mm。

在國內(nèi)，太陽帆的研究主要集中在總體設計[24-26]、軌道優(yōu)化和姿態(tài)控制[27-29]等方面，關于太陽帆的結(jié)構(gòu)響應有一些研究。崔乃剛等[30]應用矢量力學基本原理,推導出考慮彈性振動的太陽帆航天器姿態(tài)動力學方程,得到了基于控制葉片和控制桿的兩類太陽帆航天器的姿態(tài)動力學方程。崔祜濤等[31]利用拉格朗日方程建立了太陽帆航天器的姿態(tài)動力學模型，對控制桿和反作用飛輪兩種三軸姿態(tài)控制方案的可控性和穩(wěn)定性進行了研究。龔勝平等[32]通過設計帆的面積和支撐有效載荷桿的長度，實現(xiàn)太陽帆在軌被動穩(wěn)定飛行。趙將等[33]采用自然坐標方法和絕對節(jié)點坐標方法，對大規(guī)模系統(tǒng)動力學方程進行求解，研究了黏彈性太陽帆薄膜自旋展開過程的動力學特性，討論了薄膜的黏彈性阻尼對自旋展開過程的影響規(guī)律。崔乃剛等[34]采用有限元方法對太陽帆支撐管充氣展開過程進行了仿真模擬。李純等[35]采用有限元方法，研究了帆膜應力導入方式及應力大小對太陽帆桅桿屈曲載荷、結(jié)構(gòu)模態(tài)、靜態(tài)變形和帆膜褶皺的影響。馬鑫等[36]研究了太陽帆航天器伸展臂對預緊力的屈曲模態(tài)分析以及屈曲臨界載荷，進行了太陽帆結(jié)構(gòu)的無預緊力結(jié)構(gòu)模態(tài)分析與有預緊力結(jié)構(gòu)模態(tài)分析。文獻[37-38]針對太陽帆單軸大角度機動過程，研究了兩種控制方法下太陽帆柔性結(jié)構(gòu)對其姿態(tài)控制的影響，研究表明通過端點力控制可以有效減小太陽帆在姿態(tài)機動過程中姿態(tài)及結(jié)構(gòu)的振動幅度。Yang等[39]建立了邊長8 m的太陽帆試驗模型，進行了結(jié)構(gòu)靜態(tài)試驗和帆膜褶皺實驗，利用試驗結(jié)果修正了邊長160 m太陽帆的有限元模型，給出了160 m太陽帆在光壓作用下的靜態(tài)變形、帆膜褶皺和結(jié)構(gòu)動態(tài)響應。

圖1 方形太陽帆Fig.1 Square solar sails

條帶式太陽帆(見圖1(d))是將整體帆膜裁成獨立條帶型式的方形太陽帆[40]，與傳統(tǒng)的四點(或五點)式太陽帆(見圖1(a))、象限式太陽帆(見圖1(b))和連續(xù)式太陽帆(見圖1(c))相比具有結(jié)構(gòu)效率高、制造簡單、易于展開和遭受空間碎片損害風險小的特點，被認為是最理想的太陽帆結(jié)構(gòu)形式[41]。關于條帶式太陽帆在近地軌道的熱致結(jié)構(gòu)動力學響應研究，國內(nèi)外未見報道。本文研究條帶式太陽帆在近地軌道同時受到太陽熱輻射和光壓載荷作用下的結(jié)構(gòu)動力學響應，為條帶式太陽帆結(jié)構(gòu)設計和姿態(tài)控制提供理論依據(jù)。

1 理論公式

考慮對稱性，如圖2所示，取條帶式太陽帆的一半進行研究。建立直角坐標系(O-xyz)，原點位于太陽帆中心。在每個象限，帆膜被裁成n條寬度為b的平行膜帶，由中心至邊緣依次編號為1，2，…，n。桅桿的長度為L，膜帶與桅桿的連接點將桅桿分為n段長度為l=L/n的小桅桿段，由中心至自由端依次編號為1，2，…，n。

在后文的瞬態(tài)熱傳導分析和結(jié)構(gòu)動力學分析中，作以下假設：

(1)不考慮膜帶褶皺對熱量的吸收；

(2)桅桿截面為圓形薄壁，考慮外表面對空間的熱輻射，不可考慮內(nèi)表面之間的熱輻射；

(3)忽略膜帶與桅桿之間的熱傳導；

(4)結(jié)構(gòu)變形不影響熱量吸收。

圖2 條帶式太陽帆的一半Fig.2 Half of a stripped solar sail

1.1 桅桿和帆膜的瞬態(tài)溫度場方程

太陽帆由地球陰影區(qū)進入光照區(qū)，桅桿受到突加太陽輻射熱流S0的作用，如圖3所示，θ0是熱流入射方向與桅桿外表面法線方向之間的夾角。

圖3 熱輻射作用下的薄壁桅桿Fig.3 Thin-walled boom subjected to solar heat flux

根據(jù)假設(2)和(4)，忽略薄壁截面厚度方向的溫度變化，桅桿的溫度場Tb沿x向均勻分布，在截面內(nèi)滿足如下非線性偏微分方程：

(1)

式中：c為桅桿的比熱容，ρ為桅桿的密度，t為時間，k為桅桿的熱傳導系數(shù)，r為桅桿截面的平均半徑，φ為桅桿截面的軸向角坐標，ε為桅桿外表面的熱輻射系數(shù)，σ為斯蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)，h為桅桿截面壁厚，αs為桅桿外表面的熱吸收系數(shù)。

(2)

設Tb(φ,t)可表示為：

Tb(φ,t)=Ta(t)+Tp(t)sinφ

(3)

式中：Ta稱為桅桿截面的平均溫度，Tp稱為桅桿截面的攝動溫度。

將式(3)代入式(1)，并對桅桿截面進行積分，可得如下兩個解耦的常微分方程：

(4a)

(4b)

其初始條件為Ta(0)=T0，Tp(0)=0。易得Ta的穩(wěn)態(tài)溫度為：

(5)

采用文獻[42]的方法，攝動溫度Tp的解為：

(6)

其中：

(7a)

(7b)

對于帆膜，忽略膜厚方向的溫度變化，其溫度場Tm均勻分布，滿足如下方程：

(8)

式中：εm為帆膜的熱輻射系數(shù)，ρm為帆膜的密度，cm為帆膜的比熱容，tm為帆膜的厚度，αm為帆膜的熱吸收系數(shù)。

由于帆膜的厚度和熱容很小，在太陽熱流S0作用下，迅速達到穩(wěn)態(tài)溫度：

(9)

1.2 桅桿和膜帶的振動方程

帆膜的溫度變化，會引起帆膜內(nèi)預應力的變化。設帆膜的初始預應力為σ0，在熱輻射作用下變?yōu)椋?/p>

(10)

式中：αm為帆膜的熱膨脹系數(shù)，Em為帆膜的彈性模量。

預應力為σm的窄條膜帶在太陽光壓P0作用下的振動可看作是張力為T=σmbtm的弦振動，對于第i條膜帶，其簡化為弦的振動方程是：

(11)

其邊界和初始條件為：

(12)

令：

vi(ξi,t)=Vi(ξi,t)+wi(l,t)

(13)

則式(11)變?yōu)椋?/p>

(14)

非齊次邊界條件(12)變?yōu)辇R次邊界條件：

(15)

對式(14)進行拉氏變換：

(16)

式中：s為拉氏變換參數(shù)。

引入狀態(tài)向量：

(17)

則式(16)的矩陣形式為：

(18)

其中，

類似地，也將式(15)進行拉氏變換并表示為矩陣形式：

(20)

其中，

根據(jù)分布傳遞函數(shù)理論[43- 44]，滿足式(18)和式(20)的弦振動方程的解為：

(22)

其中，

Msexp(-Fsτ)

(23a)

(24)

式中：wi為桅桿的z向位移，E為桅桿的彈性模量，I為桅桿截面的慣性矩，xi為桅桿段的局部坐標，μ為桅桿的阻尼系數(shù)。

對式(24)進行拉氏變換：

(25)

引入狀態(tài)向量：

(26)

則式(25)可寫成矩陣形式：

η′i(xi,s)=Fi(s)ηi(xi,s)

(27)

其中，

(28)

根據(jù)分布傳遞函數(shù)理論，有：

ηi(xi,s)=exp(Fi(s)xi)ηi(0,s)

(29)

1.3 條帶式太陽帆的熱-結(jié)構(gòu)動力學方程

圖2所示的條帶式太陽帆可看作是由n個桅桿-膜帶組件依次連接而成，其中第i個桅桿-膜帶組件包含第i個小桅桿段和上下對稱的兩個第i條膜帶。在第i個桅桿-膜帶組件和第i+1個桅桿-膜帶組件的連接處應滿足位移連續(xù)條件和力平衡條件。其中，位移連續(xù)條件為：

(30)

力平衡條件為：

(31)

式(30)中的fi(s)為單根膜帶作用在組件連接處的橫向力，根據(jù)弦振動理論，可由式(17)和式(22)求得：

(32)

其中，

(33a)

(33b)

將式(30)和式(31)表示為矩陣形式：

Ciηi(l,s)+Pi(s)=Diηi+1(0,s)

(34)

式中：

(35a)

(35b)

(35c)

根據(jù)式(29)、式(34)可變形為：

(36)

重復使用式(36)有：

(37)

式中：

(38a)

(38b)

Hn-1=I

(38c)

在太陽帆中心施加固定邊界條件：

(39)

考慮熱應力載荷，桅桿自由端應滿足的力邊界條件為：

(40)

(41)

式中：αT為桅桿的熱膨脹系數(shù)。

將式(39)和式(40)表示為矩陣形式：

Lη1(0,s)+Rηn(l,s)+Pn=0

(42)

式中：

(43a)

(43b)

(43c)

根據(jù)式(29)、式(37)和式(42)有：

(44)

則在熱彎矩載荷和光壓載荷作用下太陽帆桅桿自由端的幅頻響應可由式(44)求得：

(45)

2 算例分析和討論

采用本文提出的方法，對邊長20 m的條帶式太陽帆進行熱致結(jié)構(gòu)動力學響應分析，太陽帆的結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)見表1。

表1 結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)[23]Table 1 Dimensions and material properties[23]

2.1 熱致結(jié)構(gòu)動力學響應分析

設太陽帆在近地軌道繞地球飛行，以姿態(tài)角θ0=0°由地球陰影區(qū)進入光照區(qū)，受到突加光壓P0=9.126×10-6Pa和突加太陽熱輻射S0=1360 W/m2的作用，其桅桿自由端的頻率響應可根據(jù)式(45)求得。

圖4 僅光壓作用下桅桿端部的幅頻響應Fig.4 Frequency response of boom tip subjected to P0

圖4給出了僅在光壓作用下，太陽帆桅桿自由端的穩(wěn)態(tài)振幅頻譜圖。由圖4可知，僅在光壓作用下：太陽帆桅桿的準靜態(tài)位移為1.60×10-5m；太陽帆桅桿的動態(tài)響應振幅很小，最大振幅僅有4.52×10-5m。共振峰處的頻率對應于各膜帶的自振頻率，其中最大共振峰的頻率對應于最外側(cè)膜帶的自振頻率0.33 rad/s。

圖5 熱彎矩和光壓作用下桅桿端部的幅頻響應Fig.5 Frequency response of boom tip

圖5給出了在太陽光壓載荷和熱輻射共同作用下，太陽帆桅桿自由端的穩(wěn)態(tài)振動幅頻圖。由圖5可知，熱彎矩引起的結(jié)構(gòu)動態(tài)響應占主導地位。太陽帆發(fā)生了頻率成分復雜的熱致結(jié)構(gòu)振動。

2.2 熱致結(jié)構(gòu)動力學響應的影響因素分析

由第2.1節(jié)可知，熱輻射沖擊引起了太陽帆結(jié)構(gòu)明顯的熱誘發(fā)振動響應，這將會影響太陽帆航天器的推進效率、姿態(tài)和軌道控制等性能。本節(jié)從結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)兩方面探討影響太陽帆熱致結(jié)構(gòu)動力學響應的因素。

圖6 阻尼對桅桿端部幅頻響應的影響Fig.6 Effect of damping on frequency response of boom tip

圖6給出了阻尼改變對桅桿端部幅頻的影響。由圖6可知，阻尼改變對桅桿的熱致準靜態(tài)變形沒有影響；隨著阻尼增大，桅桿振動的一階振幅明顯減小；當桅桿阻尼系數(shù)增大至0.3時，振幅的共振峰消失，桅桿響應由熱致振動變?yōu)闊嶂陆Y(jié)構(gòu)變形；阻尼系數(shù)的增大，造成了共振頻率的微小降低。

圖7給出了桅桿壁厚改變對桅桿端部振幅頻譜的影響。由圖7可知，壁厚改變對桅桿的熱致準靜態(tài)變形和動態(tài)振幅都沒有影響；壁厚改變對響應頻率的影響也很小。這是由于熱應力載荷不是真正的力載荷，而是等效的溫度荷載，由式(41)可知，它隨著桅桿壁厚的增大同步增大。這表明，通過增大桅桿壁厚來抑制熱致結(jié)構(gòu)響應的途徑不可行。

圖7 壁厚對桅桿端部幅頻響應的影響Fig.7 Effect of boom thickness on frequency response of boom tip

圖8給出了桅桿熱膨脹系數(shù)改變對桅桿端部幅頻的影響。由圖8可知，熱膨脹系數(shù)的減小顯著降低了桅桿的熱致準靜態(tài)變形和穩(wěn)態(tài)振動的振幅；熱膨脹系數(shù)不改變結(jié)構(gòu)的響應頻率。這表明，熱膨脹系數(shù)是影響太陽帆結(jié)構(gòu)熱致響應振幅的關鍵因素，盡量降低桅桿的熱膨脹系數(shù)是桅桿設計的重要指標；熱膨脹系數(shù)小的復合材料將是太陽帆桅桿設計要考慮的重點對象。

圖8 熱膨脹系數(shù)對桅桿端部幅頻響應的影響Fig.8 Effect of thermal expansion on frequency response of boom tip

圖9給出了太陽帆桅桿長度變大對桅桿端部幅頻的影響。由圖9可知，隨著太陽帆桅桿尺寸的增大，桅桿的熱致準靜態(tài)變形和穩(wěn)態(tài)振動振幅都顯著增大；結(jié)構(gòu)的響應頻率隨著尺寸的增大而降低。這表明，太陽帆的熱致結(jié)構(gòu)動態(tài)響應是設計大尺寸近地軌道太陽帆必須解決的問題。

圖9 桅桿長度對桅桿端部幅頻響應的影響Fig.9 Effect of boom length on frequency response of boom tip

3 結(jié) 論

隨著近地軌道太陽帆任務的提出，本文對條帶式太陽帆在近地軌道運行必將面臨的熱致結(jié)構(gòu)動力學響應問題進行研究。推導了太陽熱輻射和光壓共同作用下的太陽帆結(jié)構(gòu)動力學方程，給出了太陽帆結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)振動幅頻響應的計算方法。算例結(jié)果表明：熱輻射沖擊是引起近地軌道太陽帆結(jié)構(gòu)動態(tài)響應的主要原因，光壓引起的結(jié)構(gòu)響應可忽略不計；增加桅桿壁厚不能有效抑制太陽帆的熱致結(jié)構(gòu)動態(tài)響應；增大阻尼，減小結(jié)構(gòu)的熱膨脹系數(shù)能夠降低太陽帆熱致結(jié)構(gòu)響應的振幅；桅桿長度的增加將顯著增大桅桿的熱致準靜態(tài)變形和穩(wěn)態(tài)振動振幅，因此，熱致結(jié)構(gòu)動態(tài)響應是設計大尺寸近地軌道太陽帆必須解決的問題。