導(dǎo)彈發(fā)射包線(xiàn)指數(shù)優(yōu)化搜索仿真分析

胡東愿，劉會(huì)亮，岳龍飛，楊任農(nóng),左家亮

(空軍工程大學(xué)空管領(lǐng)航學(xué)院,西安 710051)

0 引 言

導(dǎo)彈發(fā)射包線(xiàn)是評(píng)估導(dǎo)彈性能[1]和裝備作戰(zhàn)能力[2]的一個(gè)重要指標(biāo)，也是飛行員控制戰(zhàn)斗機(jī)隱蔽接敵[3-4]、機(jī)動(dòng)決策[5]和目標(biāo)攔截[6-7]的重要參考。在空戰(zhàn)敵我態(tài)勢(shì)快速變化的情況下，導(dǎo)彈發(fā)射包線(xiàn)也為飛行員及時(shí)掌握戰(zhàn)場(chǎng)情況、預(yù)判空戰(zhàn)結(jié)果、占據(jù)有利位置提供有效依據(jù)。因此對(duì)導(dǎo)彈發(fā)射包線(xiàn)解算的精度和實(shí)效性提出了更高的要求。

導(dǎo)彈發(fā)射包線(xiàn)即為導(dǎo)彈攻擊區(qū)，是以敵機(jī)為中心，載機(jī)可以發(fā)射導(dǎo)彈的區(qū)域，主要由遠(yuǎn)邊界和近邊界構(gòu)成。目前計(jì)算邊界的主要方法有運(yùn)動(dòng)模擬法[8-10]、多項(xiàng)式擬合法[11]和查表插值法[7, 12]。

運(yùn)動(dòng)模擬法是其他攻擊區(qū)解算方法的基礎(chǔ)，通過(guò)彈道模型、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型和相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型仿真計(jì)算得到。在邊界值搜索時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)、精度低等問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]將導(dǎo)彈模型簡(jiǎn)化為二維模型，利用二分法搜索包線(xiàn)值，計(jì)算速度有很大的提高，但與真實(shí)三維情況相差較大。文獻(xiàn)[14]提出了近似式的快速生成方法，改進(jìn)搜索初始值的選取，在一定程度上減小了搜索空間。但近似式中僅考慮起始方位角和初始高度，對(duì)其他影響攻擊區(qū)的元素并沒(méi)有考慮，使其搜索空間依然較大。文獻(xiàn)[9, 15]提出自適應(yīng)調(diào)整仿真計(jì)算步長(zhǎng)，減少仿真計(jì)算次數(shù)，從而減小總體計(jì)算時(shí)間。但在每一個(gè)仿真步長(zhǎng)中都使用簡(jiǎn)單的二分法或黃金分割法，每次搜索所需迭代次數(shù)和迭代時(shí)間并未改變。

為解決攻擊區(qū)仿真解算中迭代次數(shù)多、計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)問(wèn)題，在前人研究基礎(chǔ)上，本文首先建立導(dǎo)彈和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，利用simulink搭建仿真模型；在邊界值搜索時(shí)，以黃金分割法為基礎(chǔ)，提出指數(shù)優(yōu)化搜索算法，并與黃金分割法進(jìn)行對(duì)比，分析算法性能。最后將算法運(yùn)用到攻擊區(qū)邊界值搜索上，利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)攻擊區(qū)的影響。實(shí)驗(yàn)表明，在給定的誤差范圍內(nèi)，計(jì)算包線(xiàn)邊界值時(shí)所需的迭代次數(shù)更少，在一定程度上減小了搜索時(shí)間。在相同的迭代計(jì)算次數(shù)下，能獲取更高的精度，具有一定的工程價(jià)值。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

1.1 坐標(biāo)系的定義與轉(zhuǎn)換

地面坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz：地面坐標(biāo)系是與地球表面固連的慣性坐標(biāo)系，隨地球的自轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)。Ax軸為航跡面與水平面的交線(xiàn)，指向目標(biāo)。Ay軸沿垂線(xiàn)向上，Az軸與其他兩軸垂直并且構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

導(dǎo)彈坐標(biāo)系O-x2y2z2：彈道坐標(biāo)系是原點(diǎn)取在導(dǎo)彈瞬時(shí)質(zhì)心的動(dòng)坐標(biāo)系，隨著導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。Ox2與導(dǎo)彈的速度矢量v重合，Oy2為包含v的鉛錘面內(nèi)并垂直于Ox2指向上，Oz2軸與其他兩軸垂直并且構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

兩個(gè)坐標(biāo)系可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)互換得到，如圖1所示，旋轉(zhuǎn)的角度θ為彈道傾角，即導(dǎo)彈的速度矢量(Ox2)與水平面Axz的夾角。ψV為彈道偏角，即導(dǎo)彈速度矢量在水平面內(nèi)投影與Ax軸的夾角。

圖1 地面坐標(biāo)系與導(dǎo)彈坐標(biāo)系示意圖Fig.1 The earth and missile coordinate system

旋轉(zhuǎn)矩陣如下：

1.2 導(dǎo)彈模型構(gòu)建

導(dǎo)彈模型主要有三自由度[8, 16]和六自由度[17-18]兩種，文獻(xiàn)[16]表明三自由度模型解算的時(shí)間代價(jià)比六自由度模型小，但三自由度模型中，每一時(shí)刻的導(dǎo)彈都會(huì)有較大的偏差。文獻(xiàn)[13]將快速計(jì)算法、三自由度和六自由度進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明六自由度模型在導(dǎo)彈命中概率上更為準(zhǔn)確。考慮到目標(biāo)機(jī)做大過(guò)載強(qiáng)機(jī)動(dòng)飛行，導(dǎo)彈在跟蹤過(guò)程中姿態(tài)角將會(huì)受到很大的影響，為盡可能減小命中誤差，文中構(gòu)建導(dǎo)彈六自由度模型。

構(gòu)建導(dǎo)彈六自由度運(yùn)動(dòng)模型前，首先做出如下假設(shè)：

1)忽略導(dǎo)彈飛行時(shí)的次要因素對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，如彈體結(jié)構(gòu)變形。導(dǎo)彈在高速飛行時(shí)，可以看作是薄翼的細(xì)長(zhǎng)體的彈性結(jié)構(gòu)，在氣動(dòng)力和結(jié)構(gòu)彈性的作用下，會(huì)產(chǎn)生彈體微小的彈性和塑性變形。但對(duì)于彈道運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究來(lái)說(shuō)，這些產(chǎn)生微小變形的力相比較導(dǎo)彈的重力和推力可以忽略不計(jì)，對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡不產(chǎn)生影響。

2)將導(dǎo)彈看作一個(gè)剛體時(shí)，可以將剛體的運(yùn)動(dòng)分解為質(zhì)心的平移運(yùn)動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。計(jì)算軌跡只需關(guān)注質(zhì)心瞬時(shí)位置的三個(gè)自由度和剛體瞬時(shí)姿態(tài)的三個(gè)自由度。導(dǎo)彈的速度矢量方向與導(dǎo)彈軸近似重合，不考慮導(dǎo)彈的迎角和側(cè)滑角。

3)飛行過(guò)程中，燃料不斷消耗，導(dǎo)彈質(zhì)量減小，假設(shè)在質(zhì)量變化的過(guò)程中導(dǎo)彈的重心位置不變。根據(jù)“固化原理”，將導(dǎo)彈質(zhì)量和燃?xì)赓|(zhì)量近似為一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化成一個(gè)常質(zhì)量系。瞬時(shí)變質(zhì)量系的導(dǎo)彈力學(xué)方程可以寫(xiě)成常質(zhì)量的形式，因此任意時(shí)刻的質(zhì)心可以用初始時(shí)刻的質(zhì)心近似代替。

1.2.1導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型

工程實(shí)踐表明：以導(dǎo)彈坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，對(duì)與研究導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，方程的形式最為簡(jiǎn)單，便于分析運(yùn)動(dòng)特征。

導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

式中：α為攻角，β為側(cè)滑角，ψV為彈道偏角，γV為速度傾斜角，X,Y,Z分別為阻力，升力和側(cè)向力，P為推力。

導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(2)

式中：Jx1，Jy1，Jz1分別為導(dǎo)彈各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωx1，ωy1，ωz1為轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在彈體坐標(biāo)系上各軸的分量；Mx1，My1，Mz1為作用在質(zhì)心上的力對(duì)質(zhì)心的力矩在彈體坐標(biāo)系各軸上的分量。

1.2.2導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

以地面坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，根據(jù)導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡，建立導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

(3)

式中：(x,y,z)為導(dǎo)彈在地面坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)，V為導(dǎo)彈的速度，θ為彈道傾角，ψV為彈道偏角。

根據(jù)地面坐標(biāo)系與彈體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可知：

(4)

式中：ψ為偏航角，?為導(dǎo)彈俯仰角，γ為傾斜角，三者構(gòu)成導(dǎo)彈的姿態(tài)角。

導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)方程為：

(5)

1.2.3質(zhì)量變化方程

導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中，由于發(fā)動(dòng)機(jī)不斷地消耗燃料，導(dǎo)彈質(zhì)量不斷減小，其變化可以簡(jiǎn)化如下：

(6)

(7)

式中：mc為燃料質(zhì)量秒流量，即導(dǎo)彈單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量消耗量;m0為導(dǎo)彈的初始質(zhì)量。

1.2.4導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)過(guò)載方程

導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)性能是導(dǎo)彈飛行性能的重要參考指標(biāo)，與導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)有密切的聯(lián)系，也是影響導(dǎo)彈攻擊區(qū)的重要因素。導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中的作用力以及加速度的變化情況可以用過(guò)載來(lái)衡量。

將過(guò)載矢量n向彈道坐標(biāo)系上投影得各分量nx2，ny2，nz2如下：

(8)

由式(8)可推斷在特殊情況下的過(guò)載，如導(dǎo)彈在鉛錘平面內(nèi)飛行時(shí)，nz2=0；在水平面內(nèi)飛行時(shí)，ny2= 1；做直線(xiàn)飛行時(shí)，ny2= cosθ為常數(shù)，nz2=0；做等速直線(xiàn)飛行時(shí)，nx2= sinθ為常數(shù)，ny2= cosθ為常數(shù)，nz2=0；做水平直線(xiàn)飛行時(shí)，ny2= 1，nz2=0；做等速水平直線(xiàn)飛行時(shí)，nx2= 0，ny2=1，nz2=0。

1.3 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程

以地面坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程如下：

(9)

(10)

式(9)中：(xt，yt，zt)為目標(biāo)在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，vt，θt，φt為目標(biāo)速度，航跡俯仰角，航跡偏轉(zhuǎn)角。式(10)中:ntx，nty，ntz為目標(biāo)縱向控制過(guò)載，偏航控制過(guò)載和轉(zhuǎn)彎控制過(guò)載。

1.4 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

比例導(dǎo)引法是指導(dǎo)彈速度矢量的旋轉(zhuǎn)角速度與目標(biāo)線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)角速度成比例的一種導(dǎo)引方法。彈道前段較彎曲，能充分利用導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)性能；導(dǎo)彈后段較為平直，使導(dǎo)彈有充裕的機(jī)動(dòng)能力。比例導(dǎo)引法是采用比較廣泛的一種導(dǎo)引方式，其導(dǎo)引方程可表達(dá)為

(11)

式中：K為比例系數(shù)，如圖2所示，式中q為目標(biāo)線(xiàn)方位角，是目標(biāo)線(xiàn)與基準(zhǔn)線(xiàn)之間的夾角，從基準(zhǔn)線(xiàn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)線(xiàn)，則q為正。σ為導(dǎo)彈彈道角，為導(dǎo)彈速度矢量與基準(zhǔn)線(xiàn)之間的夾角。η，ηT為導(dǎo)彈速度前置角和目標(biāo)速度矢量前置角，分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)速度矢量與目標(biāo)線(xiàn)之間的夾角。q，σ，η，ηT從基準(zhǔn)線(xiàn)開(kāi)始，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到相應(yīng)的夾角線(xiàn)上則為正值，反之順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)則取負(fù)值。

導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為：

(12)

圖2 比例導(dǎo)引示意圖Fig.2 Proportion guidance of missile

2 指數(shù)優(yōu)化搜索

2.1 優(yōu)化初始空間的黃金分割邊界搜索法

黃金分割法適用于搜索區(qū)間上的任何函數(shù)求極值問(wèn)題，對(duì)函數(shù)沒(méi)有太多嚴(yán)格要求，適用范圍較廣。該算法通過(guò)選取試探點(diǎn)，使包含極值的空間不斷縮短，直到區(qū)間的長(zhǎng)度和所求值滿(mǎn)足精度要求。

本文以黃金分割法為基礎(chǔ)，仿真計(jì)算導(dǎo)彈軌跡，試探搜索攻擊區(qū)的遠(yuǎn)邊界。在算法的開(kāi)始最主要是選擇含有極值點(diǎn)的初始搜索空間，搜索空間距離太大會(huì)增加算法的計(jì)算次數(shù)，選擇的空間太小則很容易錯(cuò)過(guò)極值點(diǎn)。利用導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)參數(shù)性能值，近似估計(jì)導(dǎo)彈包線(xiàn)邊界的可能范圍，為搜索的初始化提供啟發(fā)式信息，可以有效避免搜索初始空間的隨機(jī)性。

導(dǎo)彈能否追蹤到目標(biāo)并將其截獲命中主要由兩種因素決定，靜態(tài)因素和動(dòng)態(tài)因素。靜態(tài)因素主要反映導(dǎo)彈的固有性能，如導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)性能，攜帶燃料能支持的最大飛行時(shí)間，最大航程等。當(dāng)目標(biāo)發(fā)現(xiàn)被導(dǎo)彈跟蹤時(shí)，會(huì)采取轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)的方式進(jìn)行規(guī)避，機(jī)動(dòng)性能決定了導(dǎo)彈能否及時(shí)調(diào)整前置角跟隨目標(biāo)轉(zhuǎn)彎。目標(biāo)轉(zhuǎn)彎逃離時(shí)，最大飛行時(shí)間決定了導(dǎo)彈可跟蹤目標(biāo)的航程，在跟蹤末端，因燃料的消耗而失去動(dòng)能。若此時(shí)的彈目距離仍不在殺傷范圍內(nèi)，導(dǎo)彈將會(huì)丟失目標(biāo)。導(dǎo)彈的固有性能隨其生產(chǎn)而確定，變化不大。可用最大過(guò)載、導(dǎo)引頭最大偏角、導(dǎo)引頭最大跟蹤角速度、導(dǎo)彈最大可控飛行時(shí)間來(lái)量化衡量。

動(dòng)態(tài)因素主要反映當(dāng)前兩機(jī)所處的態(tài)勢(shì)。文獻(xiàn)[18]中主要根據(jù)兩機(jī)的速度、相對(duì)距離、高度、進(jìn)入角等參數(shù)將態(tài)勢(shì)劃分為4類(lèi)：我機(jī)優(yōu)勢(shì)、敵機(jī)優(yōu)勢(shì)、雙方中立、雙方均勢(shì)。雙機(jī)的戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)形成的主要原因在于敵方與我方導(dǎo)彈攻擊區(qū)的空間關(guān)系，也可看作是導(dǎo)彈攻擊區(qū)的一種表現(xiàn)形式。兩機(jī)的速度和高度通過(guò)影響攻擊區(qū)的包線(xiàn)從而決定了態(tài)勢(shì)的變化。

靜態(tài)因素和動(dòng)態(tài)因素共同決定了導(dǎo)彈可攻擊區(qū)的形狀和大小。利用導(dǎo)彈最大過(guò)載、導(dǎo)引頭最大跟蹤角速度、導(dǎo)引頭最大偏角、導(dǎo)彈最大可控飛行時(shí)間、進(jìn)入角、初始速度、初始高度、兩機(jī)相對(duì)速度、相對(duì)高度8個(gè)變量來(lái)近似擬合包線(xiàn)的搜索空間，初始化搜索值，減少盲目性。利用八元組Λ=[nmax,ωmax,tmax,ψ,v0,H0,ΔH,Δv]建立多項(xiàng)式：

R(pi)=(vmax·tmax·sinψ)p1+(H0·cosψ+

ΔH·nmax)p2+(ωmax·H0·tmax+Δv·tmax)p3

式中：nmax為導(dǎo)彈可用最大過(guò)載，ωmax為導(dǎo)引頭最大偏角，tmax為導(dǎo)彈最大可控飛行時(shí)間，ψ為初始進(jìn)入角，v0為導(dǎo)彈初始速度，H0為導(dǎo)彈初始飛行高度，ΔH為導(dǎo)彈目標(biāo)的相對(duì)高度，Δv為導(dǎo)彈目標(biāo)的相對(duì)速度。

根據(jù)每次搜索的結(jié)果對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，充分利用計(jì)算值，優(yōu)化下一組初始的搜索空間。算法的步驟如下：

(1)利用八元組確定擬合多項(xiàng)式，確定初始搜索空間[a1,b1]。

(2)計(jì)算試探點(diǎn)λ1，μ1，在指定空間的0.382和0.618處取值，λ1=a1+0.382(b1-a1)，μ1=a1+0.618(b1-a1)，仿真計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)彈軌跡。

(3)判斷是否滿(mǎn)足擊中條件，若λ1滿(mǎn)足，μ1也滿(mǎn)足，轉(zhuǎn)到(4);若λ1滿(mǎn)足，μ1不滿(mǎn)足，轉(zhuǎn)到(5)；若λ1不滿(mǎn)足，轉(zhuǎn)到(6)。

(4)a1=μ1，b1不變，代替原搜索空間。

(5)a1=λ1，b1=μ1，代替原搜索空間。

(6)a1不變，b1=λ1，代替原搜索空間。

(7)判斷該搜索空間是否滿(mǎn)足精度要求，若滿(mǎn)足，結(jié)束;若不滿(mǎn)足，轉(zhuǎn)到(2)。

2.2 指數(shù)優(yōu)化邊界值搜索

傳統(tǒng)黃金分割法的區(qū)間長(zhǎng)度縮短比率為常數(shù)，故其收斂速度較慢，需要計(jì)算的函數(shù)值也較多。考慮到實(shí)時(shí)性的要求，通過(guò)改變以指數(shù)收斂的區(qū)間長(zhǎng)度縮短比率得到一種新的一維搜索指數(shù)優(yōu)化算法。指數(shù)優(yōu)化法和黃金分割法同樣也只適用于單峰函數(shù)。在計(jì)算過(guò)程中，第一次迭代需要計(jì)算兩個(gè)試探點(diǎn)，以后每次迭代只需要計(jì)算一點(diǎn)，另一點(diǎn)取自上次迭代，其與黃金分割法的主要區(qū)別在于區(qū)間的長(zhǎng)度縮短比率不是以常數(shù)進(jìn)行收斂，而是計(jì)算兩次區(qū)間差的指數(shù)進(jìn)行收斂，由于指數(shù)函數(shù)的引用，因此構(gòu)造出一個(gè)具有更加光滑的收斂趨勢(shì)并且更快收斂速度的指數(shù)優(yōu)化函數(shù)。

指數(shù)優(yōu)化搜索主要有以下步驟：

(1)給定初始區(qū)間[a1,b1]及精度要求ε>0，計(jì)算試探點(diǎn)λ1，μ1，有λ1=a1+0.382(b1-a1)，μ1=a1+0.618(b1-a1)。然后，計(jì)算λ1，μ1是否滿(mǎn)足命中條件，置y1=b1-a1,e1=0，并令k=1。

(2)若bk-ak<ε，停止計(jì)算；否則當(dāng)λ1滿(mǎn)足時(shí)，轉(zhuǎn)入(3)；當(dāng)μ1滿(mǎn)足時(shí)，轉(zhuǎn)入(4)。

(3)置ak+1=λ，bk+1=bk，λk+1=μk，yk+1=bk+1-ak+1，ek+1=yk+1-yk，并判斷ek+1大小，如果ek+1<0.694，有μk+1=ak+1+exp(-1.9ek+1)(bk+1-ak+1)，否則有μk+1=ak+1+(1-exp(-ek+1))(bk+1-ak+1)，并計(jì)算μk+1處的彈道軌跡，轉(zhuǎn)(5)。

(4)置ak+1=ak，bk+1=μk，μk+1=λk，yk+1=bk+1-ak+1，ek+1=yk+1-yk，并判斷ek+1大小，如果ek+1<0.694，有λk+1=ak+1+(1-exp(-1.9ek+1))(bk+1-ak+1);否則，有λk+1=ak+1+exp(-ek+1)(bk+1-ak+1)，然后計(jì)算μk+1處的彈道軌跡，轉(zhuǎn)(5)。

(5)置k=k+1，返回(2)。

2.3 算法分析與對(duì)比

為驗(yàn)證兩種算法的優(yōu)劣性，首先以單峰函數(shù)求解極值為例，比較兩算法的收斂速度和精度，構(gòu)建函數(shù)如下：

(13)

式中：x∈[-1,1]。

圖3 指數(shù)優(yōu)化算法流程圖Fig.3 Flow chart of exponential optimization search

圖4 邊界計(jì)算流程示意圖Fig.4 Flow chart of boundary calculation

圖5 求解極值函數(shù)示意圖Fig.5 Schematic diagram of extreme value

圖5為所求極值函數(shù)示意圖，對(duì)兩種算法的初始空間都取為[-1,1],給定初始精度，以迭代過(guò)程中的空間誤差和函數(shù)值誤差以及計(jì)算時(shí)間來(lái)比較兩種算法的優(yōu)劣性。空間誤差即為相鄰兩次迭代搜索空間的距離變化量，函數(shù)值誤差為相鄰兩次搜索極值的變化量。

圖6顯示指數(shù)優(yōu)化算法比黃金分割法空間誤差下降快，特別是在迭代前期，曲線(xiàn)下降速率較大，搜索區(qū)間的變化較明顯。圖7顯示兩種算法的函數(shù)值誤差變化曲線(xiàn)，兩者在迭代前期函數(shù)值誤差變化差別不大，幾乎相同，后期下降速度逐漸加快。

圖6 空間誤差變化曲線(xiàn)Fig.6 The lose change of zone with iteration

綜合圖5、圖6可知，雖然指數(shù)優(yōu)化算法在誤差和迭代次數(shù)上有一定的優(yōu)勢(shì)，但兩者的性能差距并未充分展現(xiàn)出來(lái)。主要原因在于測(cè)試的函數(shù)比較簡(jiǎn)單，函數(shù)斜率變化單一，函數(shù)值域區(qū)間較小，待搜索空間長(zhǎng)度不大，因此兩種算法的誤差收斂值相似，而且整體迭代次數(shù)都較小。利用相同的方法，增加兩種不同的函數(shù)(式14和式15)進(jìn)行比較，兩種算法的優(yōu)劣如表1所示。

圖7 函數(shù)值誤差曲線(xiàn)Fig.7 The loss change of function value

|x|)cosx+4ln(15-|x|)sinx

(14)

式中：x∈[-10,10]。

|x|)cosx+3x0.1ln(15-|x|)sinx

(15)

式中：x∈[-10,10]。

表1 算法誤差對(duì)比Table 1 Comparison of algorithm error

表1中函數(shù)2和函數(shù)3的搜索空間均為[-10,10]，后兩個(gè)函數(shù)的斜率變化較函數(shù)1更為復(fù)雜。此時(shí)指數(shù)優(yōu)化分割算法表現(xiàn)出較大的優(yōu)勢(shì)，迭代次數(shù)將近縮短一半，計(jì)算時(shí)間代價(jià)較小，同時(shí)函數(shù)值的誤差也更小。

3 Simulink仿真試驗(yàn)

3.1 仿真結(jié)束條件判定

當(dāng)導(dǎo)彈擊中目標(biāo)或確定導(dǎo)彈脫靶時(shí)都需要停止仿真，根據(jù)彈道脫靶量、工作時(shí)間和導(dǎo)彈末端與目標(biāo)相對(duì)速度等參數(shù)確定仿真終止條件，攻擊失敗的檢測(cè)條件可以簡(jiǎn)化如下：

1)距離限制

導(dǎo)彈脫靶量超過(guò)規(guī)定最小的相對(duì)距離值，dMD≥dMDmax目標(biāo)丟失。

導(dǎo)彈飛行的高度不能高于25 km，不能低于200 m。

2)時(shí)間限制

導(dǎo)彈的彈道飛行時(shí)間大于可控時(shí)間，tD≥tmax，導(dǎo)彈失控。

導(dǎo)彈的飛行時(shí)間不能大于能源可支持的最大時(shí)間。

導(dǎo)彈與目標(biāo)遭遇時(shí)，引信解鎖時(shí)間必須在安全飛行距離之外，若引信未及時(shí)打開(kāi)，目標(biāo)丟失。

3)速度限制

導(dǎo)彈慣性飛行速度小于導(dǎo)彈飛行的最小速度時(shí)，無(wú)法提供足夠的升力。

導(dǎo)彈接近目標(biāo)的相對(duì)速度太大或太小，引信不能正常工作。

3.2 仿真流程

根據(jù)比例導(dǎo)引方式和導(dǎo)彈工作原理，構(gòu)建簡(jiǎn)化的制導(dǎo)系統(tǒng)控制回路，如圖8所示，主要由導(dǎo)引頭回路，控制指令回路，自動(dòng)駕駛儀三部分組成，通過(guò)彈體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程形成閉環(huán)回路。

導(dǎo)引頭持續(xù)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，使天線(xiàn)瞄準(zhǔn)目標(biāo)，產(chǎn)生與目標(biāo)線(xiàn)旋轉(zhuǎn)角速度成正比的控制指令信號(hào)，自動(dòng)駕駛儀對(duì)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)參數(shù)做出調(diào)整，使導(dǎo)彈以既定的程序?qū)б?guī)律接近目標(biāo)。

在該平臺(tái)下，利用Simulink對(duì)彈道運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行仿真求解，計(jì)算導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡，利用黃金分割法搜索邊界值，根據(jù)仿真判定條件確定是否終止計(jì)算還是繼續(xù)下一次循環(huán)。

圖8 比例導(dǎo)引規(guī)律制導(dǎo)回路示意圖Fig.8 Circuit of missile guidance and control system

4 結(jié)果分析及對(duì)比

4.1 算法對(duì)比

以仿真計(jì)算攻擊區(qū)包線(xiàn)遠(yuǎn)邊界值為例，在搜索時(shí)分別使用黃金分割法和指數(shù)優(yōu)化算法，對(duì)比分析兩種算法在迭代次數(shù)、計(jì)算時(shí)間和精度誤差上的優(yōu)劣性。假設(shè)目標(biāo)和載機(jī)高度均為8000 m，初始速度為270 m/s，導(dǎo)彈比例導(dǎo)引系數(shù)K=4，兩種算法的對(duì)比結(jié)果如圖9所示。

圖9 兩種算法誤差對(duì)比Fig.9 The comparison of loss in simutation between two algorithms

兩種算法在迭代初期并未表現(xiàn)出較大的差距，隨著迭代次數(shù)的增加，指數(shù)優(yōu)化算法誤差下降速度更快。指數(shù)優(yōu)化算法在迭代23步時(shí)開(kāi)始收斂，黃金分割法則需要40步。黃金分割法的誤差在90 m左右，指數(shù)優(yōu)化算法誤差可控制在20 m之內(nèi)。現(xiàn)在空空近距格斗彈彈片殺傷范圍可允許誤差在10～20 m之內(nèi)，因此黃金分割對(duì)命中概率會(huì)帶來(lái)更大的誤差。無(wú)法滿(mǎn)足實(shí)戰(zhàn)要求。

4.2 導(dǎo)彈軌跡及參數(shù)變化分析

目標(biāo)在相對(duì)導(dǎo)彈高度為5000 m下做水平勻速運(yùn)動(dòng)，速度為270 m/s,圖10(a)為導(dǎo)彈以比例導(dǎo)引法追蹤目標(biāo)的軌跡，比例系數(shù)K=4，圖11(a)表明在目標(biāo)不做任何機(jī)動(dòng)情況下彈目距離近似成線(xiàn)性變化。圖12(a)顯示在后期導(dǎo)彈前置角變化量減小，彈道在末端比較平直。

假設(shè)目標(biāo)與載機(jī)高度差為4000 m，目標(biāo)做蛇形機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，速度為270 m/s，導(dǎo)彈比例導(dǎo)引系數(shù)K=4，圖10(b)為彈道軌跡三維曲線(xiàn)，圖11(b)表明導(dǎo)彈在前期彈目距離縮短較快，后期彈目距離縮短較平緩，目標(biāo)在過(guò)載機(jī)動(dòng)，導(dǎo)彈也需要一定的機(jī)動(dòng)時(shí)間，圖12(b)表明導(dǎo)彈前置角變化量一直在增大，制導(dǎo)末端導(dǎo)彈迅速調(diào)整姿態(tài)角追蹤目標(biāo)。

圖10 導(dǎo)彈-目標(biāo)三維軌跡示意圖Fig.10 Missile-target 3D trajectory

圖11 導(dǎo)彈-目標(biāo)距離曲線(xiàn)示意圖Fig.11 The change of distance between missile and target

圖12 比例導(dǎo)引前置角變化曲線(xiàn)示意圖Fig.12 The change of lead angle with proportional guidance

4.3 高度對(duì)攻擊區(qū)的影響分析

目標(biāo)和載機(jī)飛行高度同時(shí)在8 km、10 km、12 km，速度均為270 m/s。圖13表明目標(biāo)和載機(jī)在同一高度時(shí)，高度越高，空氣密度減小，空氣阻力對(duì)導(dǎo)彈的影響變小，導(dǎo)彈攻擊區(qū)作用距離會(huì)增大。圖14顯示高度差為2 km和4 km時(shí)攻擊區(qū)的范圍主要受載機(jī)高度的影響，當(dāng)載機(jī)高度比目標(biāo)機(jī)高度大時(shí)，導(dǎo)彈俯沖目標(biāo)，載機(jī)會(huì)形成一定的高度優(yōu)勢(shì)。

圖13 彈目高度差為0時(shí)遠(yuǎn)邊界曲線(xiàn)Fig.13 The max boundary without altitude difference

圖14 不同高度差下攻擊區(qū)示意圖Fig.14 Schematic diagram of launch envelop with different altitude differences

4.4 速度對(duì)攻擊區(qū)的影響分析

當(dāng)載機(jī)發(fā)射時(shí)所處的高度與目標(biāo)同高度時(shí)，導(dǎo)彈的初始速度是影響攻擊區(qū)大小的關(guān)鍵因素。

由圖15可知，當(dāng)導(dǎo)彈的初速度越大時(shí)，攻擊區(qū)的范圍越大，導(dǎo)彈初始速度減小時(shí)，后半球攻擊區(qū)的變化不大，前半球攻擊區(qū)范圍變化較為明顯。

圖15 不同導(dǎo)彈初始速度下攻擊區(qū)Fig.15 Schematic diagram of launch envelop with different initial speeds

5 結(jié) 論

針對(duì)近距空空導(dǎo)彈發(fā)射包線(xiàn)計(jì)算慢，精度差問(wèn)題，簡(jiǎn)化導(dǎo)彈制導(dǎo)回路，建立導(dǎo)彈六自由度飛行模型，利用指數(shù)優(yōu)化算法快速解算攻擊區(qū)邊界值，根據(jù)模型理論分析和仿真試驗(yàn)結(jié)果得出以下結(jié)論。

1) 距離多項(xiàng)式函數(shù)有效估計(jì)了搜索區(qū)間的初始值，減少了仿真計(jì)算的次數(shù)，為發(fā)射包線(xiàn)的解算減少了計(jì)算量。

2) 指數(shù)優(yōu)化搜索算法，與黃金分割法相比收斂速度較快，函數(shù)值的誤差能夠快速滿(mǎn)足精度要求，迭代時(shí)收斂所需的時(shí)間較短。

3) 攻擊區(qū)的發(fā)射包線(xiàn)主要受載機(jī)和目標(biāo)機(jī)的飛行高度、高度差、初始速度以及相對(duì)速度影響。其中載機(jī)發(fā)射時(shí)刻的飛行高度對(duì)攻擊區(qū)的影響較大，導(dǎo)彈初始時(shí)刻的速度越小，攻擊區(qū)范圍會(huì)相應(yīng)減小。

本文的研究重點(diǎn)是簡(jiǎn)化導(dǎo)彈六自由度運(yùn)動(dòng)模型，提出指數(shù)優(yōu)化算法，減少攻擊區(qū)計(jì)算的時(shí)間，對(duì)影響攻擊區(qū)的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行分析，為實(shí)戰(zhàn)中機(jī)動(dòng)占位提供決策依據(jù)。