四維超混沌射頻隱身跳頻通信設計方法

楊宇曉，汪德鑫，黃 琪

(南京航空航天大學航天學院，南京 210016)

0 引 言

近年來，隨著傳感器元器件水平的飛速發展，無源探測系統(無源態勢感知、電子情報系統ELINT、信號情報系統SIGINT等)對主動輻射源的探測能力已大大提高，對航天器的在軌安全構成了嚴重威脅[1-2]。為提高航天器的在軌生存能力，航天器搭載的主動輻射源必須進行射頻隱身設計[3-5]。

信號最大不確定性設計是射頻隱身理論的重要策略，利用信號頻域、時域和空間域參數的不確定設計，增加對抗方偵察設備的預估難度，提高信號的抗分選和抗截獲能力。通信信號頻域特征的不確定設計是國內外學者研究的熱點，研究成果主要集中在頻率序列設計，1974年，Lempel和Greenberger建立了跳頻序列最大周期漢明自相關理論界，稱之為Lempel-Greenbeger界[6]，并基于有限域的m序列構造了滿足該理論界的最優跳頻序列。在此基礎上，Peng等[7]提出了構造具有最優最大漢明相關值跳頻序列的一般化構造方法。混沌系統具有強隨機特性，以混沌理論為基礎的跳頻序列設計也得到了研究者的廣泛關注，Liu等[8]提出一種新的基于非穩態Logistic映射的混沌序列發生器，提高了系統的抗截獲性能。Georges[9]提出了一種基于差分混沌移位鍵控的OFDM調制方式，采用重復的混沌參考信號發送擴頻信息，提高頻譜效率的同時減少了能量消耗。

混沌序列由于其不可預測和初值敏感特性，具有復雜的非線性動力學特征和不確定性[10]，其在通信頻率特征的不確定設計中已得到了廣泛應用。然而，隨著研究工作的不斷深入，也出現了一些亟待解決的挑戰。具體表現在：

1)隨著高性能計算的發展，Logistic等低維混沌系統由于維數較低、密鑰參數較少、復雜度有限等缺點，難以抵御高性能計算機和高級計算算法的攻擊，文獻[11-12]等已給出了低維混沌系統被破譯的實例。

2)由于實現混沌系統的計算機、數字電路等計算平臺的運算精度難以無限提高。在有限精度條件下，混沌系統的連續狀態被離散化，系統混沌特性退化，導致輸出序列出現短周期現象，影響了混沌序列的不確定性能。

綜上所述，為解決傳統低維混沌系統的復雜度有限和短周期現象，本文提出了一種基于擾動的四維超混沌系統構建方法，將低維混沌擴展至四維系統，大大提高了系統的解空間，增加了系統復雜度，同時，引入擾動設計，打破原有系統狀態映射中的閉合狀態集，從而消除短周期現象。在此基礎上，利用四維超混沌系統對跳頻信號的頻率特征和周期特征進行聯合設計，提出了基于四維超混沌系統的跳頻通信不確定設計方法。仿真結果表明：根據本文所提方法設計產生的跳頻信號具有較好的抗分選能力，其截獲概率遠低于常規跳頻信號，有效提高了信號射頻隱身能力。

1 四維超混沌構建

超混沌系統具有復雜的相空間特征，其復雜程度較傳統混沌系統顯著提高[13]，可生成具有優異復雜度性能的跳頻圖案，降低破譯風險。

1.1 四維超混沌系統構建

本文以經典的Lorenz三維混沌系統[14]為基礎，引入反饋控制機制和周期性擾動措施，構建四維超混沌系統。Lorenz混沌系統方程如下式(1)所示：

(1)

本文在Lorenz混沌系統基礎上，引入第四維控制器W對原系統進行反饋控制。控制器W由原系統控制器X,Y和Z進行聯合控制，W控制器的輸出信號反饋至原系統控制器X中，形成系統內部的閉環反饋。四維系統方程如式(2)所示：

(2)

為解決傳統低維混沌系統的短周期現象，本文在上述四維系統中引入周期性擾動措施，使系統跳出系統狀態的閉合狀態集，解決有限精度帶來的短周期現象。由文獻[15]可知，擾動信號需滿足以下三個原則：

1)均勻性原則。擾動信號幅值應在一定區間內分布均勻；

2)高信噪比原則。原信號與擾動信號信噪比應遠大于1，擾動信號對原信號幅值不產生明顯影響，擾動信噪比Ssnr如下式(3)所示：

(3)

式中：Vc是原信號的最大幅值，Vr為擾動信號的最大幅度。

3)短間隔原則。擾動信號的時間間隔應遠小于系統的運行時間。

依據以上設計原則，本文在第四維控制器W后端增加擾動信號rs，擾動信號由擾動因子r和符號函數sgn生成，并最終周期性耦合至控制器Y中。擾動信號rs如下式(4)所示：

rs=h·sgn(w)

(4)

式中:h為擾動信號幅度，用以滿足擾動信號設計的高信噪比原則；符號函數sgn(w)作為擾動信號驅動，通過控制器W的取值來保證其均勻性。

由上述可知，引入擾動設計的四維超混沌系統方程如下式(5)所示：

(5)

四維超混沌系統的組成框圖如圖1所示。

圖1 四維超混沌系統組成框圖Fig.1 Block diagram of four-dimensional hyperchaotic system

1.2 超混沌參數設計

針對1.1節構建的四維系統，通過系統參數設置，可以實現系統處于超混沌狀態。超混沌系統的狀態判定主要利用Lyapunov指數法，對于四維系統，Lyapunov指數與系統狀態之間的對應關系[16]為：

1)若系統Lyapunov指數存在一個零值和三個負值，則處于周期狀態；

2)若系統Lyapunov指數存在一個正值，一個零值和兩個負值，則處于混沌狀態；

3)若系統Lyapunov指數存在兩個正值，一個零值和一個負值，則處于超混沌狀態。

若四維離散混沌系統迭代方程為：

(6)

則(xn+δxn,yn+δyn,zn+δzn,wn+δwn)點狀態，由式(7)計算可得：

(7)

(δxn,δyn,δzn,δwn)可轉換為：

(8)

式中:Jn-1，Jn-2，……，J0為n-1，n-2，……，0階雅克比行列式。

則四維系統的Lyapunov指數λ1,λ2,λ3和λ4為：

(9)

通過對系統控制參數a,b,c,h和擾動因子r進行設置，可以實現四維系統的超混沌狀態。控制參數a,b,c按照Lorenz混沌系統進行設置[14]，a=10,b=8/3,c=28。考慮到擾動信號不能對原信號幅值產生明顯影響，且擾動間隔應盡可能短，設置擾動信號幅值為0.01，擾動周期Nr=1000，則擾動信號幅度h定義為：

(10)

式中：n為系統迭代次數，f1(x,y)為取余函數。

擾動因子r是第四維控制器的重要參數，對四維系統的混沌特性具有顯著影響，本節根據Lyapunov指數計算方法，分析了不同擾動因子r值條件下的Lyapunov指數分布情況。

由圖2(a)λ1，λ2，λ3和λ4仿真數據可知，在r∈[0, 4]范圍內，λ4<0。圖2(b)的仿真局部數據則清晰反映了另外三個Lyapunov指數λ1，λ2和λ3的取值。根據Lyapunov指數與系統狀態之間的對應關系，四維系統狀態可分為三個部分：當r∈[0, 1.52]時，系統處于超混沌狀態；當r∈(1.52, 3.18]時，系統處于周期狀態；當r∈(3.18, 4.00]時，系統處于混沌狀態。針對三種系統狀態，本節進一步對Lyapunov指數的具體數值進行了詳細分析，分析結果如表1所示。

圖2 不同擾動因子條件下的Lyapunov指數Fig.2 Lyapunov exponent under different disturbance factors

表1 四維超混沌系統Lyapunov指數Table 1 Lyapunov exponent of four-dimensional hyperchaotic system

1.3 復雜度評估

序列的復雜度可以采用近似熵[17]來進行度量，其思想是檢測序列中新序列的產生概率，近似熵越大，序列的復雜度越高。若已知N維序列x(i)，近似熵的計算方法如下：

1)將序列x(i)重構為m維向量α(i)：

α(i)=[x(i),x(i+1),…,x(i+m-1)]

(11)

式中：i=1,2,…,N-m+1。

2)將α(i)與α(j)的對應元素最大差值記作d[α(i),α(j)]，則：

(12)

(13)

(14)

5)則序列的近似熵E(m,s,N)可定義為：

E(m,s,N)=Φm(s)-Φm+1(s),m≥2

(15)

1.4 周期性評估

為計算超混沌系統的周期，本節提出了一種序列周期快速搜索算法，算法實現步驟如下：

1)若混沌系統初值為{x0,y0,z0,w0}，按照混沌系統方程迭代生成混沌序列；

2)設置迭代步進長度n和當前比較序列{xk,yk,zk,wk}，其中k=n；

3)從第k+i次迭代開始，分別判斷xk+i=xk，yk+i=yk，zk+i=zk，wk+i=wk是否成立，其中i=1,2,…,n；

4)若對于i，滿足xk+i=xk，yk+i=yk，zk+i=zk，wk+i=wk條件，則記錄周期T為i，并更新當前比較序列為{xk+i,yk+i,zk+i,wk+i}，重復步驟3)；

5)若對所有i=1,2,…,n，均不滿足xk+i=xk，yk+i=yk，zk+i=zk，wk+i=wk條件，則當前序列設為{xk+n,yk+n,zk+n,wk+n}，重復步驟3)；

6)判斷多次記錄的T值是否相等，若相等則系統周期為T，否則不存在周期。

序列周期快速搜索算法流程圖如圖3所示：

圖3 序列周期快速搜索算法流程圖Fig.3 Flowchart of sequence period fast search algorithm

2 基于四維超混沌系統的跳頻通信系統

傳統跳頻通信系統主要通過頻率特征的不確定性設計提高跳頻信號的抗截獲性能，但傳統跳頻系統的跳頻周期多為固定值，對抗偵察方仍可通過跳頻頻率集、跳頻速率等參數估計，實現信號分選識別。本文利用四維超混沌系統，將跳頻系統的跳頻頻率和跳頻周期作為優化對象，提出了一種基于四維超混沌系統的跳頻頻率和跳頻周期聯合設計方法。

2.1 四維超混沌系列量化

由1.1節構建的四維超混沌系統可以產生具有強隨機特性的實值序列，為利用超混沌序列生成跳頻圖案，首先需要將超混沌實值序列進行量化處理，分別生成頻率編號序列和周期編號序列。

量化過程應重點考慮四維超混沌序列的動力學特性不受影響，因此，量化方法的選擇至關重要。本文采用擴大取模法對超混沌序列進行量化處理，該方法首先去除實值序列整數部分，并將其小數部分擴大10n倍，進而根據量化級數進行取模運算，量化后序列q如式(16)所示：

q=f1(f2((|xi-f2(xi)|×10n)),K)+1

(16)

式中：xi，i=0,1,2,…為超混沌實值序列，K為量化級數，n為擴大級數，f1(x,y)為取余函數，f2(x)為向下取整函數。

2.2 哈希映射

經擴大取模法[18]量化處理后的整數序列為頻率編號序列或周期編號序列，編號序列通過哈希映射表生成跳頻圖案對跳頻系統的頻率特征和周期特征進行控制。因此，需要建立編號序列與跳頻圖案間的哈希映射關系。

本文參考美國Link16數據鏈的跳頻圖案指標[19]，構建具有48種跳頻頻率，最小跳頻間隔為3MHz的跳頻頻率哈希映射表，頻率編號與跳頻頻率映射關系如表2所示。

表2 跳頻頻率哈希映射表Table 2 Table of hopping frequency hash map

考慮到實際應用場景中的計算平臺性能，本文構建具有8種跳頻周期的哈希映射表，周期編號與跳頻周期映射關系如表3所示。

表3 跳頻周期哈希映射表Table 3 Table of hopping period hash map

2.3 跳頻頻率和跳頻周期聯合設計

根據1.1節構建的四維超混沌系統，生成兩組超混沌實值序列xk和yk，將這兩組實值序列分別經過擴大取模量化處理后，生成頻率編號序列和周期編號序列，進而按照2.2節中表2和表3所示的哈希映射表，產生跳頻頻率序列和跳頻周期序列，實現對跳頻信號跳頻頻率和跳頻周期的聯合設計。聯合設計流程圖如圖4所示。

圖4 跳頻頻率和跳頻周期聯合設計流程圖Fig.4 Joint design flowchart of hopping frequency and hopping period

3 仿真結果與分析

3.1 四維超混沌系統仿真

為驗證四維超混沌系統的有效性，本節將該系統與Logistic、Lorenz混沌系統進行了復雜度和周期性的對比仿真。

根據1.2節分析，四維超混沌系統初值為：x0=10，y0=10，z0=10，w0=10。控制參數設置為：a=10，b=8/3，c=28，h=0.01，r=0.75。Lorenz混沌系統初值為：x0=10，y0=10，z0=10。控制參數設置為：a=10，b=8/3，c=28。Logistic混沌系統初值為：x0=0.3，控制參數設置為：μ=4。

仿真1：復雜度比較

根據1.3節內容，本節以近似熵為復雜度的衡量指標，分別計算四維超混沌系統與Logistic、Lorenz混沌系統輸出序列的近似熵。相似容限s參考文獻[20]，設置為序列標準差的1/10，重構向量維數m分別為2和3，經100次蒙特卡洛實驗，三種系統輸出序列的近似熵如圖1所示。

圖5 近似熵仿真結果對比Fig.5 Comparison of approximate entropy simulation results

對圖5近似熵仿真數據進行平均處理，獲得三種系統的近似熵均值，如表4所示。

表4 三種系統近似熵均值Table 4 Approximate entropy of three systems

由圖5和表4仿真數據可知，四維超混沌系統近似熵最大，輸出序列復雜度最高；Lorenz系統復雜度低于四維超混沌系統，Logistic系統近似熵最小，序列復雜度最低。

仿真2周期性比較

本文所提四維超混沌系統通過引入周期性擾動措施，使超混沌系統跳出系統的閉合狀態集，解決短周期現象。為驗證所提方法的有效性，本節采用1.4節的周期快速搜索算法，分別計算四維超混沌系統與Lorenz混沌系統的周期。

四維超混沌系統與Lorenz混沌系統的設置參數與前文相同，在有限精度分別為P=8和P=9時，利用周期搜索算法各計算10組T值，仿真結果如圖6所示。

圖6 周期搜索結果Fig.6 Results of period search

由圖6仿真數據可知，Lorenz系統在兩種有限精度條件下，輸出序列均具有固定周期T，具有顯著的短周期特征。而本文所提四維超混沌系統在相同的有限精度條件下，計算得到的輸出序列T值均不相同，系統的不具有周期性。因此，四維超混沌系統有效消除了系統的短周期現象。

3.2 基于四維超混沌的跳頻通信系統仿真

跳頻系統的射頻隱身性能可以用截獲概率[20]來進行度量，截獲概率越低，射頻隱身性能越好。為驗證基于四維超混沌的跳頻通信系統的射頻隱身性能，本節對該系統與常規跳頻系統的截獲概率進行對比仿真。

文獻[21]給出了單個時間片內每個傳感器的截獲概率Ψ的計算公式：

Ψ≈M(2Pi/PI)CoDI(TOT/TI)(NF/FI)

(17)

式中：M為主瓣3 dB波束覆蓋面積，Pi為截獲接收機收到的功率，PI為截獲接收機檢測門限，DI為截獲接收機密度，TOT為輻射信號駐留時間，TI為截獲接收機掃描時間，NI為輻射信號的頻率跳變次數，NF為處于瞬時掃描帶寬中輻射信號頻率跳變次數，C0為覆蓋區/靈敏度比例因素。

仿真3截獲概率比較

初始參數設置為M=11.2m2，PI=-113dBW，DI=0.001，TI=4s，C0=0.477。輻射源和截獲接收機一直處于工作狀態，輻射信號駐留時間TOT=TI。則常規跳頻信號和四維超混沌信號在不同距離的截獲概率對比曲線如圖7所示。

圖7 截獲概率對比Fig.7 Comparison of intercept probability

根據圖7仿真數據，計算四維超混沌信號截獲概率ψr，相比于常規跳頻信號截獲概率ψc的降低比例，公式如式5所示。

(18)

四維超混沌信號和常規跳頻信號在不同距離的截獲概率數值如下表5所示。

由圖7和表5仿真數據可知，四維超混沌系統在不同距離下的截獲概率始終低于常規跳頻信號，且其截獲概率優于常規跳頻信號30%以上。因此，本文所提的四維超混沌跳頻信號具有較好的抗截獲能力。

表5 兩種系統在不同距離下的截獲概率Table 5 Intercept probability of two systems at different distances

4 結論

本文從提高跳頻通信系統頻率特征不確定性入手，構建四維超混沌系統以解決傳統混沌系統的復雜性有限和短周期問題。四維超混沌系統擴展了系統解空間，有效增加了系統復雜度，并通過引入周期性擾動措施，使原系統跳出系統狀態的閉合狀態集，解決了傳統混沌系統的短周期現象。最后，在四維超混沌系統的基礎上，提出了跳頻系統頻率序列和周期序列的聯合不確定設計方法。仿真結果表明，本文構建的四維超混沌系統與Logistic、Lorenz混沌系統相比，具有最大近似熵值，復雜度性能最優；四維超混沌系統與Lorenz混沌系統相比，在相同有限精度條件下，周期性能明顯減弱，有效消除了系統的短周期現象。基于四維超混沌的跳頻系統與常規跳頻系統相比，不同距離下的截獲概率均可提高30%以上，具有較好的射頻隱身性能，可以有效提高飛行器平臺的生存能力。