基于核心素養的問題串驅動教學
——以“函數的單調性與導數”為例

廣東 李 虎

1.基本情況

1.1背景

課堂教學越來越強調充分發揮學生的主體性，傳統教學先學習理論知識再解決問題的弊端日益凸顯.問題驅動教學法漸漸受到師生的歡迎，教師在此過程中的角色是問題的提出者、課程的設計者以及結果的評估者.筆者有幸在中山市第四屆教育教學研討會——高效課堂與教師專業發展會上開設了一節同課異構課，課題為“函數的單調性與導數”(選用的是人教A版教材選修2-2的1.3.1節內容).筆者以建構主義理論為指導，采用問題驅動教學法來設計這堂課，課堂以數和形兩條線交織組織教學，滲透直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養，以期提升學生的思維品質.

1.2學情分析

課堂學生為中山市第一中學高二年級實驗班的學生，學生基礎普遍比較好，但學習單調性的概念是在高一第一學期，因此學生對于單調性概念的理解不夠準確，同時導數是高中學生新接觸的概念，如何將導數與函數的單調性聯系起來是一個難點.

在本節課之前學生已經學習了導數的概念、導數的幾何意義和導數的四則運算，初步接觸了導數在幾何中的簡單應用，但對導數的應用還僅停留在表面上.本節課著重讓學生通過探究來研究利用導數判斷函數的單調性.

1.3教法分析

本節課借助幾何直觀，通過實例探索并了解函數的單調性與導數的關系，進而從單調性的定義和導數的定義出發,挖掘單調性和導數的本質聯系.理解并掌握利用導數判斷函數的單調性的方法，會用導數求函數的單調區間；通過對比練習體現導數判斷單調性的一般性和有效性；同時讓學生感受數學自身發展的一般規律.突破策略主要有“自主，合作，探究”.

教學目標：(1)探索函數的單調性與導數的關系;(2)會利用導數判斷函數的單調性并求出函數的單調區間;(3)在“分析、實驗、討論、總結”的探究過程中,發展學生的自主學習能力和探究精神；(4)強化數形結合思想.

教學重點:利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間.

教學難點:探究函數的單調性與導數的關系.

2.教學過程

2.1創設情境，引入新課

【問題1】研究函數f(x)=x-ex的單調性.

生1：描點作圖，觀察圖象，寫出單調區間.

教師：未知圖象形狀，手工描點作圖不精確.

生2：對?x1,x2∈R,當x1

教師：這個問題，從形和數兩個角度都無法進行下去，下面我們尋求新的方法研究函數的單調性.

設計意圖：創設情境，引發學生的認知沖突，激發探究新方法的熱情，引入新課.

2.2探究新知

【問題2】觀察高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象、高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5的圖象.運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？

學生觀察兩個函數圖象.

生3：運動員起跳到最高點，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，這個過程中v(t)=h′(t)>0.從最高點到入水，運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減小，這個過程v(t)=h′(t)<0.

眾生：歸納觀察到的結論可知，f(x)在某個區間(a,b)內可導,

f(x)在(a,b)內單調遞增?對?x∈(a,b),有f′(x)>0;

f(x)在(a,b)內單調遞減?對?x∈(a,b)，有f′(x)<0.

設計意圖：培養學生觀察，看圖，分析，概括，總結能力.讓學生觀察高度隨時間變化和瞬時速度隨時間變化的圖象，體會這二者的關系,體會數形結合的思想.

【問題3】這種情況是否具有一般性呢？

實驗：用筆或直尺代表切線，觀察總結出可導函數在某區間上單調時導數的情況，并小組討論，總結,驗證剛才的猜想.

生4：f(x)在某個區間(a,b)內可導,

f(x)在(a,b)內單調遞增?對?x∈(a,b),有f′(x)≥0；

f(x)在(a,b)內單調遞減?對?x∈(a,b),有f′(x)≤0.

教師：對上述幾個函數求導，從數的角度驗證上述猜想的結論是否成立？

眾生：成立.

設計意圖：引導學生尋找實例支持.從中不僅驗證單調性與函數的關系，更培養學生如何發現規律.體會從特殊到一般的研究問題的思想方法.

【問題4】單調性和導數這種聯系的本質是什么呢？

以f(x)在(a,b)上單調遞增為例，由單調性的定義,其中“x1

教師：它的幾何意義表示什么？

生5：平均變化率，割線的斜率.

設計意圖：啟發學生從單調性的定義和導數的定義中尋找兩者的聯系.發掘事物背后的內在聯系，嘗試讓學生在原有認知的基礎上建構新知.

【問題5】上面的研究，我們可以看到，對可導函數來說，由單調性可以得到導函數的符號，反過來，已知導函數在某區間上的符號可以得到單調性嗎？

教師：回到跳水的例子，瞬時速度大于零，可以得到高度隨時間在增大嗎？瞬時速度小于零，可以得到高度隨時間在減小嗎？

眾生：可以.

教師：剛才我們研究過的幾個冪函數是否也滿足這一情況？對于指數函數，對數函數請驗證你的猜想，并歸納.

生6：f(x)在某個區間(a,b)內可導,

f′(x)>0?f(x)在(a,b)內單調遞增；

f′(x)<0?f(x)在(a,b)內單調遞減.

教師：借助圖形分析，要證明單調性，相當于證明任意兩點連線的割線斜率大于零，怎樣將割線的斜率與這個區間上的某點的導數聯系起來？借助圖形簡單介紹中值定理.然后穿插數學史，拉格朗日中值定理：

設計意圖：讓學生用數形結合的思想、導數的幾何意義去初步了解結論的正確性.引入中值定理，說明結論的正確性.

【問題6】如果在某個區間(a,b)內恒有f′(x)=0，那么函數f(x)有什么特征？

眾生：常值函數.

設計意圖：特殊情形的處理，拓展學生思維的寬度.

【問題7】在某個區間(a,b)內,f′(x)>0?f(x)在(a,b)內單調遞增.這個命題的條件是否可以改成f′(x)≥0？

生7:不可以.函數f(x)在某個區間(a,b)上，若f′(x)≥0且在(a,b)的任意一個子區間上不恒為0，則f(x)在(a,b)內單調遞增.

設計意圖：不斷的修正完善定理，讓學生自主建構知識體系.

2.3應用舉例

【例1】確定函數f(x)=x2-4x+3的單調區間.

生8：導函數為f′(x)=2x-4，單調遞增區間為(2,+∞)，單調遞減區間為(-∞,2).

教師：有沒有用以前的方法做的？

生9：有，求對稱軸.

設計意圖：讓學生感受導數法的有效性，與原有圖象法，定義法做對比，了解導數的優勢.

【例2】試確定下列函數的單調區間.

(1)f(x)=2x3-6x2+7；(2)f(x)=x-ex；(3)f(x)=xlnx.

教師給出(1)規范的板書，并畫出函數和導函數圖象(略).學生完成(2)和(3),教師找兩份比較有代表性的范例，來強調做題格式，易錯點等.并借助幾何畫板畫出圖象，強化學生的直觀感覺.

設計意圖：應用新知識解決之前不能解決的問題,做到首尾呼應.從中掌握如何具體的應用導數解決函數單調性問題.強調函數問題定義域優先，單調區間的書寫格式等問題.

2.4課堂小結與作業

談談本節課你的收獲？請從下面幾個關鍵詞選一到兩個對本節課小結.關鍵詞：知識點、思想方法、解題步驟、易錯點.

作業：P26練習1,4；P31A組1,2.

設計意圖：開放式的小結，讓學生對本節課學到的知識、思想方法、易錯點等進行梳理.培養學生“學習——總結——反思”的良好習慣，使思維層次更上一個臺階.

3.啟示與反思

3.1教學設計的立意

本設計中，筆者通過激發學生認知沖突，引出問題，觀察本章自始至終用到的高臺跳水的例子，初步發現單調性與導數之間的關系，然后舉出一些冪函數的實例，來歸納出結論，接著對結論進一步研究，它們的本質聯系是什么呢？通過探究單調性定義和導數定義，抓住兩者都和割線的斜率有聯系，通過這一橋梁溝通了兩者的聯系.為了幫助學生自主建構認知，教學過程始終形與數交織在一起，從直觀和抽象兩個角度不斷進行論證，讓觀察猜想——歸納結論——論證結論——應用結論這一邏輯鏈條盡可能完善.

3.2教學反思

本節課上完后，得到專家以及各位同行的一致好評，但是也有很多不足之處.本節課問題的設計做到了層層遞進，但是問題的設計不夠精練；課堂氛圍比較活躍，但是學生活動環節較少，學生討論較少.歸納結論階段舉例的函數都是冪函數，這樣顯得單一，可以舉一些指數函數、對數函數、或者讓學生自己舉一些初等函數出來，進而歸納出單調性與導數的關系，這樣更有說服力一點.課堂上，對學生回答問題后缺少表揚鼓勵的環節，這樣學生無法獲得成就感，對學生的成長不利.本節課多處用到數形結合，從形到數，從數到形之間的切換有時過快，沒有給學生留足夠的時間.隨著時代的發展，學生獲得知識的渠道越來越多，知識本身的價值越來越低，但是怎樣教會學生去發現問題、提出問題、研究問題、解決問題，并進行反復檢驗修正自己的認知，變得越來越重要.

本節課在教學中也有很多突發情況，比如有學生在歸納導數與函數單調性時歸納錯了，筆者并沒有馬上指出錯誤，而是讓學生們再想一想，讓其他學生來修正這個結論，一步一步地完善.在由跳水瞬時速度圖象觀察發現位移隨時間的變化時，筆者根據導數的物理意義，在位移隨時間變化的圖象上做出了此處的切線，并根據導數的大小，做出一個向量，利用這個向量表示此時的瞬時速度，利用向量知識和物理里面速度的分解幫助學生思考并收到良好效果，而這個處理方式是在備課時沒有準備的，課堂上學生這里反應不好，靈機一動想到的.