三個(gè)“一”引領(lǐng)二輪復(fù)習(xí) 例題教學(xué)落地核心素養(yǎng)

陜西 張教訓(xùn) 韓紅軍

(作者單位:陜西省麟游縣中學(xué))

美國數(shù)學(xué)家波利亞指出:“拿一個(gè)有意義又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過這個(gè)題目就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域.”在教學(xué)實(shí)踐中,特別是高三二輪復(fù)習(xí)階段，對一個(gè)典型問題要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析理解，探索不同的解決方法，努力做到一題多解；對一個(gè)有意義的問題不僅要滿足得出答案，同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行深入挖掘，適當(dāng)變式、拓展，特殊化或一般化，從而獲得“一題多思”“一題多變”“一題多得”的效果；引導(dǎo)學(xué)生對一些“相似、相像、相近”的問題進(jìn)行梳理、歸類，抓住問題的內(nèi)在聯(lián)系與主要矛盾，減少機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練，爭取達(dá)到多題歸一的境界.在二輪復(fù)習(xí)中，課堂教學(xué)做到這三點(diǎn)，高考復(fù)習(xí)效率就會大大提高，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.

一、一題多解

一題多解，能夠使學(xué)生開闊思路，把學(xué)過的知識和方法融會貫通，使用自如，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生靈活、敏捷的思維能力，讓學(xué)生學(xué)會對問題進(jìn)行多角度、多層次的分析，達(dá)到對問題的全面理解，進(jìn)而迅速準(zhǔn)確的解決問題.通過一題多解的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力，學(xué)會用不同的知識解決同一個(gè)問題，達(dá)到對多種知識的融會貫通.

(1)求角C的大小；

法2:(余弦定理法)在△CAD中，由余弦定理得CA2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC①，在△CBD中，由余弦定理得CB2=CD2+BD2-2CD·BD·cos∠BDC②，

法3:(補(bǔ)形法)如圖，將三角形補(bǔ)形成平行四邊形，在△CAE中，由余弦定理得CE2=CA2+AE2-2CA·AE·cos∠CAE?b2+a2+ab=28①，

在△ABC中，由余弦定理得a2+b2-ab=12②，

評注:這是一道比較典型的解三角形問題，大部分學(xué)生能夠把它解出來.如果我們僅僅滿足于此，顯然就淡化了例題教學(xué)的價(jià)值.在高三二輪復(fù)習(xí)中，如何把一道典型試題的教學(xué)效果最大化，發(fā)揮典型例題的引領(lǐng)作用，是我們每個(gè)老師在備考階段需要深思的問題，也是備課組需要研討的問題.

二、一題多變

波利亞曾指出:“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個(gè)后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個(gè).”在解題教學(xué)活動過程中要學(xué)會采“蘑菇”，善于引導(dǎo)學(xué)生對一個(gè)好問題進(jìn)行變式改造，如改變題目的條件、結(jié)論、圖形、敘述方式等，進(jìn)而對問題進(jìn)行更深層次的探索，這樣靈活的運(yùn)用變式教學(xué)，既可以免于搞題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，做到深入淺出，以點(diǎn)帶面，以少勝多，又能較好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，克服思維定式，提高學(xué)生的解題能力及應(yīng)變能力，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)積極性.

【例2】(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1，證明:當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

變式1:已知函數(shù)f(x)=ex-ax2，若f(x)≥1在區(qū)間[0，+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

變式2:討論函數(shù)f(x)=ex-ax2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

變式3:討論函數(shù)f(x)=ex-ax2(a≥0)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

變式4:若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(0

變式5:若函數(shù)g(x)=x-ln(ax2+1)(a>0，x≥0)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1

圖書館的服務(wù)不僅服務(wù)資源建設(shè)，更主要的是服務(wù)于人的發(fā)展。在圖書館的主頁上，鏈接導(dǎo)師服務(wù)，或者組成學(xué)習(xí)小組或團(tuán)隊(duì)。在網(wǎng)絡(luò)資源的學(xué)習(xí)過程中，注重對學(xué)生的學(xué)習(xí)支持、圖書館員作為參與者加入課程的輔導(dǎo)教師隊(duì)伍中，比如發(fā)布公告和郵件通知、對學(xué)生適時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)路徑的導(dǎo)航，通過線上、線下的參考咨詢或者討論組解答學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的問題，幫助他們拓展相關(guān)的領(lǐng)域知識。這種做法能夠充分體現(xiàn)圖書館的教育功能：連接與合作、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí)、融入課程、分享經(jīng)驗(yàn)等特點(diǎn)。

評注:全國卷Ⅱ摒棄偏題、難題、怪題，注重主干知識，關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的考查，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸課堂，重視教材.其試題設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)基礎(chǔ)性、層次性、實(shí)踐性.當(dāng)然對于高三復(fù)習(xí)備考而言，我們可以對試題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪健⑼卣梗貙拰W(xué)生的視野，提升學(xué)生的思維能力，提高復(fù)習(xí)的效益.

三、多題歸一

在海量的數(shù)學(xué)試題中，很多問題其實(shí)大同小異，形異而神似，即所謂的同一“題型”.在教學(xué)過程中，我們要引導(dǎo)學(xué)生對它們從知識角度或解法角度進(jìn)行歸納類比，梳理小結(jié)，提高學(xué)生對問題的理解與認(rèn)識水平，強(qiáng)化他們對相關(guān)知識、方法的熟練與規(guī)范應(yīng)用，力求做到舉一反三，觸類旁通，提升復(fù)習(xí)的效率與應(yīng)對考試的能力.

1.題型歸一

【例3.1】在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a,b,c，若m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b)，且m⊥n.

(1)求角B的大小；

(1)求角A的值；

(1)求A；

(1)求角A的大小；

(2)若a=2，求△ABC的周長的取值范圍.

評注:四道試題大同小異，其實(shí)為“同一個(gè)”問題.考查了解三角形中的三角恒等變換，利用正、余弦定理，通過邊、角互化，求已知三角形的角和邊；利用三角形的面積公式、三邊之間的關(guān)系，三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合均值不等式等，可求已知三角形的周長或面積的取值范圍.解三角形試題難度不大，解題時(shí)要注重?cái)?shù)形結(jié)合、注重分析、重視運(yùn)算.

2.解法歸一

( )

分析:曲線g(x)=f(x)-ax與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),即函數(shù)g(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)?方程f(x)=ax有三個(gè)不同的解?曲線y=f(x)與直線y=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn).

評注:已知函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，相當(dāng)于已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或相應(yīng)的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，目的是考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)與方程的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、轉(zhuǎn)化問題與解決問題的能力.

【例4.2】已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=lnx,a∈R.若在[1，+∞)上不等式xf(x-1)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

法2：不等式xf(x-1)≥g(x)即ax(x-1)≥lnx，令h(x)=ax(x-1)，則命題等價(jià)于在區(qū)間[1，+∞)內(nèi)，曲線y=h(x)恒在曲線y=g(x)的上方(可以有公共點(diǎn))，如圖.

評注:很多含參不等式成立問題的原始背景就是直線與曲線的位置關(guān)系，從這個(gè)層面理解直觀想象素養(yǎng)，就是讓我們清晰地追溯到題目的源泉，站在更高的層面理解不等式問題的本質(zhì).并且我們還可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)參數(shù)恰為一次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，這個(gè)參數(shù)往往具備了斜率的幾何意義，這就是將不等式轉(zhuǎn)化為直線與曲線位置關(guān)系的核心所在.

評注:試題4.1是已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍；試題4.2是已知函數(shù)不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍；試題4.3通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，化歸為直線AP的傾斜角α(α為銳角)的正弦值.因?yàn)樗髤?shù)有明確的幾何意義，比如直線的斜率(傾斜角)，二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)，而參數(shù)的“臨界值”恰好是切線斜率，那么我們求解的策略就是巧用相切，化難為易.

將大量的“同類”問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亍罢稀敝螅龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、比較、思考與探究、實(shí)踐與體會，有利于學(xué)生從不同的角度審視問題，促進(jìn)學(xué)生深入問題的內(nèi)部，排除細(xì)枝末節(jié)的干擾，透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，把問題弄清看透，從而提高學(xué)生分析問題的能力；有利于學(xué)生整體把握問題，形成對該類問題的一個(gè)合理成熟的算法，避免求解此類問題時(shí)走彎路甚至走死路，達(dá)到快捷準(zhǔn)確的解題效果，從而提高學(xué)生解題的效率與解決問題的能力；也有利于淡化老師搞“題海”戰(zhàn)術(shù)，避免重復(fù)機(jī)械訓(xùn)練，耗費(fèi)學(xué)生寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間.